Pri preučevanju obnašanja plinov v fiziki se pogosto pojavijo težave pri določanju energije, shranjene v njih, ki jo teoretično lahko uporabimo za opravljanje koristnega dela. V tem članku bomo obravnavali vprašanje, katere formule je mogoče uporabiti za izračun notranje energije idealnega plina.
Koncept idealnega plina
Jasno razumevanje koncepta idealnega plina je pomembno pri reševanju težav s sistemi v tem stanju agregacije. Vsak plin ima obliko in prostornino posode, v katero je nameščen, vendar ni vsak plin idealen. Na primer, zrak lahko štejemo za mešanico idealnih plinov, medtem ko vodna para ne. Kakšna je temeljna razlika med pravimi plini in njihovim idealnim modelom?
Odgovor na vprašanje bosta naslednji dve značilnosti:
- razmerje med kinetično in potencialno energijo molekul in atomov, ki sestavljajo plin;
- razmerje med linearnimi velikostmi delcevplin in povprečna razdalja med njimi.
Plin velja za idealnega le, če je povprečna kinetična energija njegovih delcev neprimerno večja od vezne energije med njimi. Razlika med tema energijama je tolikšna, da lahko domnevamo, da je interakcija med delci popolnoma odsotna. Za idealen plin je značilna tudi odsotnost dimenzij njegovih delcev, oziroma teh dimenzij je mogoče zanemariti, saj so veliko manjše od povprečnih razdalj med delci.
Dobra empirična merila za določanje idealnosti plinskega sistema so njegove termodinamične značilnosti, kot sta temperatura in tlak. Če je prva večja od 300 K, druga pa manjša od 1 atmosfere, potem lahko kateri koli plin štejemo za idealnega.
Kakšna je notranja energija plina?
Preden zapišete formulo za notranjo energijo idealnega plina, morate to lastnost pobližje spoznati.
V termodinamiki je notranja energija običajno označena z latinsko črko U. V splošnem primeru je določena z naslednjo formulo:
U=H - PV
Kjer je H entalpija sistema, P in V sta tlak in prostornina.
Notranja energija je v svojem fizičnem pomenu sestavljena iz dveh komponent: kinetične in potencialne. Prvi je povezan z različnimi vrstami gibanja delcev sistema, drugi pa z interakcijo sile med njimi. Če to definicijo uporabimo za koncept idealnega plina, ki nima potencialne energije, bo vrednost U v katerem koli stanju sistema natančno enaka njegovi kinetični energiji, to je:
U=Ek.
Izpeljava formule notranje energije
Zgoraj smo ugotovili, da je za določitev sistema z idealnim plinom potrebno izračunati njegovo kinetično energijo. Iz tečaja splošne fizike je znano, da je energija delca mase m, ki se premika naprej v določeni smeri s hitrostjo v, določena s formulo:
Ek1=mv2/2.
Lahko se uporabi tudi za plinske delce (atome in molekule), vendar je treba narediti nekaj pripomb.
Najprej je treba hitrost v razumeti kot neko povprečno vrednost. Dejstvo je, da se plinski delci gibljejo z različnimi hitrostmi glede na Maxwell-Boltzmannovo porazdelitev. Slednje omogoča določitev povprečne hitrosti, ki se sčasoma ne spreminja, če na sistem ni zunanjih vplivov.
Drugič, formula za Ek1 predpostavlja energijo na stopnjo svobode. Delci plina se lahko premikajo v vse tri smeri in se tudi vrtijo glede na njihovo strukturo. Da bi upoštevali stopnjo svobode z, jo je treba pomnožiti z Ek1, t.j.:
Ek1z=z/2mv2.
Kinetična energija celotnega sistema Ek je N-krat večja od Ek1z, kjer je N skupno število plinskih delcev. Potem za U dobimo:
U=z/2Nmv2.
Po tej formuli je sprememba notranje energije plina možna le, če se spremeni število delcev N vsistem ali njihova povprečna hitrost v.
Notranja energija in temperatura
Z uporabo določb molekularne kinetične teorije idealnega plina lahko dobimo naslednjo formulo za razmerje med povprečno kinetično energijo enega delca in absolutno temperaturo:
mv2/2=1/2kBT.
Tukaj je kB Boltzmannova konstanta. Če to enakost nadomestimo s formulo za U, pridobljeno v zgornjem odstavku, pridemo do naslednjega izraza:
U=z/2NkBT.
Ta izraz lahko prepišemo glede na količino snovi n in plinsko konstanto R v naslednji obliki:
U=z/2nR T.
V skladu s to formulo je možna sprememba notranje energije plina, če se spremeni njegova temperatura. Vrednosti U in T sta linearno odvisni druga od druge, to pomeni, da je graf funkcije U(T) ravna črta.
Kako struktura plinskega delca vpliva na notranjo energijo sistema?
Struktura plinskega delca (molekule) se nanaša na število atomov, ki ga sestavljajo. Ima odločilno vlogo pri zamenjavi ustrezne stopnje svobode z v formuli za U. Če je plin enoatomski, je formula za notranjo energijo plina:
U=3/2nRT.
Od kod vrednost z=3? Njegov videz je povezan s samo tremi stopnjami svobode, ki jih ima atom, saj se lahko premika samo v eni od treh prostorskih smeri.
Če je diatomskimolekulo plina, potem je treba notranjo energijo izračunati z naslednjo formulo:
U=5/2nRT.
Kot vidite, ima dvoatomska molekula že 5 svoboščin, od katerih so 3 translacijske in 2 rotacijske (v skladu z geometrijo molekule se lahko vrti okoli dveh medsebojno pravokotnih osi).
Nazadnje, če je plin tri ali več atomov, potem velja naslednji izraz za U:
U=3nRT.
Kompleksne molekule imajo 3 translacijske in 3 rotacijske stopnje svobode.
Primer težave
Pod batom je enoatomski plin pri tlaku 1 atmosfere. Zaradi segrevanja se je plin razširil, tako da se je njegova prostornina povečala z 2 litra na 3. Kako se je spremenila notranja energija plinskega sistema, če je bil proces ekspanzije izobaren.
Za rešitev tega problema formule, podane v članku, niso dovolj. Treba se je spomniti enačbe stanja za idealni plin. Izgleda kot spodaj.
Ker bat zapre cilinder s plinom, ostane količina snovi n med postopkom raztezanja konstantna. Med izobaričnim procesom se temperatura spremeni v premo sorazmerju s prostornino sistema (Charlesov zakon). To pomeni, da bi bila zgornja formula:
PΔV=nRΔT.
Potem bo izraz za notranjo energijo enoatomskega plina imel obliko:
ΔU=3/2PΔV.
Če v to enačbo nadomestimo vrednosti spremembe tlaka in prostornine v enotah SI, dobimo odgovor: ΔU ≈ 152 J.
