Preučevanje teorije verjetnosti se začne z reševanjem problemov seštevanja in množenja verjetnosti. Takoj je treba omeniti, da lahko študent pri obvladovanju tega področja znanja naleti na težavo: če je fizične ali kemične procese mogoče vizualno predstaviti in razumeti empirično, je stopnja matematične abstrakcije zelo visoka in razumevanje tukaj pride le z izkušnja.
Vendar je igra vredna sveče, saj se formule – tako obravnavane v tem članku kot tudi bolj zapletene – danes uporabljajo povsod in so lahko uporabne pri delu.
Izvor
Nenavadno, spodbuda za razvoj tega oddelka matematike je bilo … igre na srečo. Dejansko so kocke, metanje kovanca, poker, ruleta tipični primeri, ki uporabljajo seštevanje in množenje verjetnosti. Na primeru nalog v katerem koli učbeniku se to jasno vidi. Ljudi je zanimalo, kako povečati svoje možnosti za zmago, in moram reči, da je nekaterim to uspelo.
Na primer, že v 21. stoletju je ena oseba, katere imena ne bomo razkrili,uporabil to znanje, nakopičeno skozi stoletja, da dobesedno "očisti" igralnico in osvojil nekaj deset milijonov dolarjev na ruleti.
Vendar kljub povečanemu zanimanju za to temo, se je šele v 20. stoletju razvil teoretični okvir, ki je "teorverja" naredil za polnopravno komponento matematike. Danes lahko v skoraj vsaki znanosti najdete izračune z verjetnostnimi metodami.
uporabnost
Pomembna točka pri uporabi formul seštevanja in množenja verjetnosti je pogojna verjetnost izpolnitev osrednjega mejnega izreka. V nasprotnem primeru bodo vsi izračuni, ne glede na to, kako verjetni se zdijo, napačni, čeprav tega študent morda ne bo izvedel.
Da, zelo motiviranega učenca mika, da bi ob vsaki priložnosti uporabil novo znanje. Toda v tem primeru je treba malo upočasniti in natančno opisati obseg uporabnosti.
Teorija verjetnosti se ukvarja z naključnimi dogodki, ki so v empiričnem smislu rezultati eksperimentov: lahko vržemo šeststransko kocko, izvlečemo karto iz krova, napovemo število okvarjenih delov v seriji. Vendar pa je pri nekaterih vprašanjih kategorično nemogoče uporabiti formule iz tega oddelka matematike. O značilnostih upoštevanja verjetnosti dogodka, izrekih seštevanja in množenja dogodkov bomo razpravljali na koncu članka, za zdaj pa se obrnimo na primere.
Osnovni koncepti
Naključni dogodek pomeni nek proces ali rezultat, ki se lahko pojavi ali nekot rezultat eksperimenta. Na primer, vržemo sendvič - lahko pade maslo gor ali maslo dol. Vsak od obeh rezultatov bo naključen in ne vemo vnaprej, kateri od njiju se bo zgodil.
Pri preučevanju seštevanja in množenja verjetnosti potrebujemo še dva koncepta.
Skupni dogodki so tisti dogodki, od katerih nastop enega ne izključuje nastopa drugega. Recimo dve osebi streljata v tarčo hkrati. Če eden od njih sproži uspešen strel, to ne vpliva na sposobnost drugega, da zadene ali zgreši.
Nekonsistentni bodo takšni dogodki, katerih nastop je hkrati nemogoč. Na primer, če iz škatle potegnete samo eno žogo, ne morete dobiti modre in rdeče naenkrat.
Oznaka
Koncept verjetnosti je označen z latinsko veliko začetnico P. Naslednji v oklepaju so argumenti, ki označujejo nekatere dogodke.
V formulah izreka seštevanja, pogojne verjetnosti, izreka množenja boste videli izraze v oklepajih, na primer: A+B, AB ali A|B. Izračunane bodo na različne načine, zdaj se bomo obrnili nanje.
dodatek
Razmislimo o primerih, kjer se uporabljajo formule za seštevanje in množenje.
Za nezdružljive dogodke je pomembna najpreprostejša formula za seštevanje: verjetnost katerega koli od naključnih izidov bo enaka vsoti verjetnosti vsakega od teh izidov.
Predpostavimo, da je škatla z 2 modrima, 3 rdečimi in 5 rumenimi baloni. V škatli je skupaj 10 predmetov. Kolikšen je odstotek resnice trditve, da bomo potegnili modro ali rdečo kroglo? To bo enako 2/10 + 3/10, torej petdeset odstotkov.
V primeru nezdružljivih dogodkov formula postane bolj zapletena, saj je dodan dodaten izraz. K temu se bomo vrnili v enem odstavku, potem ko bomo preučili še eno formulo.
Množenje
Seštevanje in množenje verjetnosti neodvisnih dogodkov se uporabljata v različnih primerih. Če smo glede na pogoj poskusa zadovoljni s katerim koli od dveh možnih izidov, bomo izračunali vsoto; če želimo dobiti dva določena rezultata enega za drugim, bomo uporabili drugo formulo.
Če se vrnemo na primer iz prejšnjega razdelka, želimo najprej narisati modro kroglo in nato rdečo. Prvo število, ki ga poznamo, je 2/10. Kaj se zgodi potem? Ostalo je še 9 kroglic, rdečih je še enako - trije kosi. Glede na izračune dobite 3/9 ali 1/3. Toda kaj storiti z dvema številkama zdaj? Pravilen odgovor je, da pomnožite, da dobite 2/30.
skupni dogodki
Zdaj lahko ponovno pregledamo formulo vsote za skupne dogodke. Zakaj se oddaljujemo od teme? Da bi izvedeli, kako se verjetnosti množijo. Zdaj bo to znanje prišlo prav.
Že vemo, kakšna bosta prva dva izraza (enako kot v prej obravnavani formuli za seštevanje), zdaj moramo odštetiprodukt verjetnosti, ki smo se ga pravkar naučili izračunati. Zaradi jasnosti napišemo formulo: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Izkazalo se je, da se v enem izrazu uporabljata tako seštevanje kot množenje verjetnosti.
Recimo, da moramo rešiti enega od dveh problemov, da pridobimo kredit. Prvega lahko rešimo z verjetnostjo 0,3, drugega pa 0,6 Rešitev: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Upoštevajte, da preprosto seštevanje številk tukaj ne bo dovolj.
Pogojna verjetnost
Nazadnje je tu še koncept pogojne verjetnosti, katerega argumenti so navedeni v oklepajih in ločeni z navpično črto. Vnos P(A|B) se glasi takole: "verjetnost dogodka A danega dogodka B".
Oglejmo si primer: prijatelj ti da napravo, naj bo to telefon. Lahko je pokvarjen (20%) ali dober (80%). Vsako napravo, ki vam pade v roke, lahko popravite z verjetnostjo 0,4 ali pa tega ne zmorete (0,6). Končno, če je naprava v delujočem stanju, lahko dosežete pravo osebo z verjetnostjo 0,7.
Lahko je videti, kako deluje pogojna verjetnost v tem primeru: ne morete priti do osebe, če je telefon pokvarjen, in če je dober, vam ga ni treba popravljati. Torej, da bi dobili kakršne koli rezultate na "drugi ravni", morate vedeti, kateri dogodek je bil izveden na prvi.
Izračuni
Poglejmo primere reševanja problemov na seštevanje in množenje verjetnosti z uporabo podatkov iz prejšnjega odstavka.
Najprej poiščimo verjetnost, da sipopravite dano napravo. Če želite to narediti, prvič, mora biti pokvarjen, in drugič, spopasti se morate s popravilom. To je tipičen problem množenja: dobimo 0,20,4=0,08.
Kolikšna je verjetnost, da boste takoj prišli do prave osebe? Lažje kot preprosto: 0,80,7=0,56. V tem primeru ste ugotovili, da telefon deluje in ste uspešno opravili klic.
Nazadnje razmislite o tem scenariju: prejeli ste pokvarjen telefon, ga popravili, nato poklicali številko in oseba na nasprotni strani se je oglasila na telefon. Tukaj je že potrebno množenje treh komponent: 0, 20, 40, 7=0, 056.
In kaj, če imate dva nedelujoča telefona hkrati? Kako verjetno je, da boste popravili vsaj enega od njih? To je problem seštevanja in množenja verjetnosti, saj se uporabljajo skupni dogodki. Rešitev: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Previdna uporaba
Kot omenjeno na začetku članka, mora biti uporaba teorije verjetnosti premišljena in zavestna.
Večja kot je serija poskusov, bližje se teoretično predvidena vrednost približuje praktični. Na primer, mečemo kovanec. Teoretično, če vemo za obstoj formul za seštevanje in množenje verjetnosti, lahko predvidimo, kolikokrat bodo glave in repi izpadli, če poskus izvedemo 10-krat. Naredili smo poskus inPo naključju je bilo razmerje padlih strani 3 proti 7. Če pa izvedete serijo 100, 1000 ali več poskusov, se izkaže, da se graf porazdelitve vedno bolj približuje teoretičnemu: 44 proti 56, 482 do 518 in tako naprej.
Sedaj si predstavljajte, da se ta poskus ne izvaja s kovancem, ampak s proizvodnjo neke nove kemične snovi, katere verjetnosti ne poznamo. Izvedli bi 10 poskusov in, če ne bi dobili uspešnega rezultata, bi lahko posplošili: "snovi ni mogoče dobiti." Toda kdo ve, če bi naredili enajsti poskus, ali bi dosegli cilj ali ne?
Torej, če greste v neznano, neraziskano področje, teorija verjetnosti morda ne bo veljala. Vsak nadaljnji poskus v tem primeru je lahko uspešen in posplošitve, kot je "X ne obstaja" ali "X je nemogoče", bodo prezgodnje.
Zaključna beseda
Torej smo si ogledali dve vrsti seštevanja, množenje in pogojne verjetnosti. Z nadaljnjim preučevanjem tega področja se je treba naučiti razlikovati situacije, ko se uporablja vsaka posebna formula. Poleg tega morate razumeti, ali so verjetnostne metode na splošno uporabne za reševanje vaše težave.
Če vadite, boste čez nekaj časa začeli izvajati vse zahtevane operacije izključno v mislih. Za tiste, ki imajo radi igre s kartami, je to spretnost mogoče upoštevatiizjemno dragoceno – občutno boste povečali svoje možnosti za zmago, samo z izračunom verjetnosti, da bo določena karta ali barva izpadla. Vendar pa je pridobljeno znanje enostavno uporabiti na drugih področjih dejavnosti.
