Mnogi, soočeni s konceptom "teorije verjetnosti", so prestrašeni in mislijo, da je to nekaj prepričljivega, zelo zapletenega. A v resnici ni vse tako tragično. Danes bomo obravnavali osnovni koncept teorije verjetnosti, se naučili reševati probleme s posebnimi primeri.
znanost
Kaj preučuje taka veja matematike, kot je "teorija verjetnosti"? Opaža vzorce naključnih dogodkov in količin. Prvič so se znanstveniki za to vprašanje začeli zanimati že v osemnajstem stoletju, ko so preučevali igre na srečo. Osnovni koncept teorije verjetnosti je dogodek. To je vsako dejstvo, ki je potrjeno z izkušnjami ali opazovanjem. Toda kaj je izkušnja? Še en osnovni koncept teorije verjetnosti. Pomeni, da ta sestava okoliščin ni nastala po naključju, ampak z določenim namenom. Kar zadeva opazovanje, tukaj raziskovalec sam ne sodeluje v poskusu, ampak je zgolj priča teh dogodkov, na to, kar se dogaja, nikakor ne vpliva.
Dogodki
Izvedeli smo, da je osnovni koncept teorije verjetnosti dogodek, vendar nismo upoštevali klasifikacije. Vsi so razdeljeni v naslednje kategorije:
- Zanesljivo.
- Nemogoče.
- Naključno.
Ni važnokakšni dogodki so opazovani ali ustvarjeni med izkušnjo, so vsi predmet te klasifikacije. Ponujamo vam, da se seznanite z vsako od vrst posebej.
Določen dogodek
To je okoliščina, pred katero so bili sprejeti potrebni ukrepi. Da bi bolje razumeli bistvo, je bolje navesti nekaj primerov. Temu zakonu veljajo fizika, kemija, ekonomija in višja matematika. Teorija verjetnosti vključuje tako pomemben koncept, kot je določen dogodek. Tukaj je nekaj primerov:
- Delamo in prejemamo plačilo v obliki plače.
- Dobro smo opravili izpite, opravili tekmovanje, za to prejmemo nagrado v obliki sprejema v izobraževalno ustanovo.
- Denar smo vložili v banko, po potrebi ga bomo dobili nazaj.
Takšni dogodki so zanesljivi. Če smo izpolnili vse potrebne pogoje, bomo zagotovo dobili pričakovani rezultat.
Nemogoči dogodki
Zdaj razmišljamo o elementih teorije verjetnosti. Predlagamo, da preidemo na razlago naslednje vrste dogodka, namreč nemogočega. Najprej navedemo najpomembnejše pravilo – verjetnost nemogočega dogodka je nič.
Pri reševanju težav ne morete odstopati od tega besedila. Za pojasnitev, tukaj so primeri takšnih dogodkov:
- Voda je zamrznila pri plus deset (to je nemogoče).
- Pomanjkanje električne energije na noben način ne vpliva na proizvodnjo (prav tako nemogoče kot v prejšnjem primeru).
Več primerovNi ga vredno navajati, saj zgoraj opisani zelo jasno odražajo bistvo te kategorije. Nemogoč dogodek se ne bo nikoli zgodil med izkušnjo pod nobenim pogojem.
Naključni dogodki
Pri preučevanju elementov teorije verjetnosti je treba posebno pozornost nameniti tej posebni vrsti dogodka. To je tisto, kar preučuje znanost. Kot rezultat izkušenj se lahko nekaj zgodi ali pa tudi ne. Poleg tega se lahko test ponovi neomejeno število krat. Živi primeri so:
- Metanje kovanca je izkušnja ali preizkus, smer je dogodek.
- Slepo vlečenje žoge iz vreče je preizkus, rdeča žogica je ujeta je dogodek in tako naprej.
Takih primerov je lahko neomejeno, a na splošno mora biti bistvo jasno. Za povzetek in sistematizacijo pridobljenega znanja o dogodkih je podana tabela. Teorija verjetnosti preučuje samo zadnjo vrsto od vseh predstavljenih.
| naslov | definicija | primer |
| Zanesljivo | Dogodki, ki se zgodijo s 100-odstotno garancijo pod določenimi pogoji. | Vpis v izobraževalno ustanovo z dobrim sprejemnim izpitom. |
| Nemogoče | Dogodki, ki se v nobenem primeru ne bodo zgodili. | Sneži pri temperaturi plus trideset stopinj Celzija. |
| Naključno | Dogodek, ki se lahko zgodi ali pa ne med poskusom/testom. | Zadenite ali zgrešite pri metanju košarkarske žoge v obroč. |
zakoni
Teorija verjetnosti je znanost, ki preučuje možnost nastanka dogodka. Tako kot drugi ima nekaj pravil. Obstajajo naslednji zakoni teorije verjetnosti:
- Konvergenca zaporedij naključnih spremenljivk.
- Zakon velikih števil.
Pri izračunu možnosti kompleksa lahko uporabite kompleks preprostih dogodkov, da dosežete rezultat na lažji in hitrejši način. Upoštevajte, da je zakone teorije verjetnosti enostavno dokazati s pomočjo nekaterih izrekov. Začnimo s prvim zakonom.
Konvergenca zaporedij naključnih spremenljivk
Upoštevajte, da obstaja več vrst konvergence:
- Zaporedje naključnih spremenljivk se po verjetnosti konvergira.
- Skoraj nemogoče.
- RMS konvergenca.
- Konvergenca v distribuciji.
Torej, na hitro je zelo težko priti do dna. Tukaj je nekaj definicij, ki vam bodo pomagale razumeti to temo. Začnimo s prvim pogledom. Zaporedje se imenuje konvergentno po verjetnosti, če je izpolnjen naslednji pogoj: n teži k neskončnosti, število, h kateremu teži zaporedje, je večje od nič in blizu ena.
Skoraj zagotovo grem na naslednji pogled. To pravijozaporedje skoraj zagotovo konvergira k naključni spremenljivki, pri čemer se n nagiba k neskončnosti, P pa k vrednosti, ki je blizu ena.
Naslednja vrsta je povprečna kvadratna konvergenca. Pri uporabi SC-konvergence se študij vektorskih naključnih procesov zmanjša na preučevanje njihovih koordinatnih naključnih procesov.
Zadnja vrsta ostaja, poglejmo si jo na kratko, da nadaljujemo neposredno k reševanju problemov. Konvergenca distribucije ima drugo ime - "šibka", v nadaljevanju bomo razložili, zakaj. Šibka konvergenca je konvergenca porazdelitvenih funkcij na vseh točkah kontinuitete funkcije mejne porazdelitve.
Prepričajte se, da boste izpolnili obljubo: šibka konvergenca se od vseh zgoraj naštetih razlikuje po tem, da naključna spremenljivka ni definirana na verjetnostnem prostoru. To je mogoče, ker je pogoj oblikovan izključno z uporabo distribucijskih funkcij.
Zakon velikih števil
Odlični pomočniki pri dokazovanju tega zakona bodo izreki teorije verjetnosti, kot so:
- Čebiševa neenakost.
- Čebiševljev izrek.
- Posplošen Čebišev izrek.
- Markovljev izrek.
Če upoštevamo vse te izreke, se lahko to vprašanje zavleče na več deset listov. Naša glavna naloga je uporabiti teorijo verjetnosti v praksi. Vabimo vas, da to storite takoj. Pred tem pa razmislimo o aksiomih teorije verjetnosti, ti bodo glavni pomočniki pri reševanju problemov.
Aksiomi
Prvega smo že spoznali, ko smo govorili o nemogočem dogodku. Zapomnimo si: verjetnost nemogočega dogodka je nič. Navedli smo zelo nazoren in nepozaben primer: snežilo je pri temperaturi zraka trideset stopinj Celzija.
Drugi zveni takole: zgodi se zanesljiv dogodek z verjetnostjo, enako eni. Zdaj pa pokažimo, kako ga napisati z matematičnim jezikom: P(B)=1.
Tretji: naključni dogodek se lahko zgodi ali pa tudi ne, vendar se možnost vedno giblje od nič do ena. Bližja kot je vrednost eni, večja je možnost; če se vrednost približa nič, je verjetnost zelo majhna. Zapišimo to v matematičnem jeziku: 0<Р(С)<1.
Upoštevajmo zadnji, četrti aksiom, ki zveni takole: verjetnost vsote dveh dogodkov je enaka vsoti njunih verjetnosti. Pišemo v matematičnem jeziku: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksiomi teorije verjetnosti so najpreprostejša pravila, ki si jih je enostavno zapomniti. Poskusimo rešiti nekaj težav na podlagi že pridobljenega znanja.
loterija
Najprej razmislite o najpreprostejšem primeru - loteriji. Predstavljajte si, da ste za srečo kupili eno srečko. Kakšna je verjetnost, da boste osvojili vsaj dvajset rubljev? Skupno je v obtoku tisoč vstopnic, od katerih ima ena nagrado petsto rubljev, deset od sto rubljev, petdeset od dvajset rubljev in sto pet. Težave v teoriji verjetnosti temeljijo na iskanju možnostivso srečo. Zdaj bomo skupaj analizirali rešitev zgoraj predstavljene naloge.
Če s črko A označimo dobitek petsto rubljev, bo verjetnost, da dobimo A, 0,001. Kako smo ga dobili? Samo število "srečnih" vstopnic morate deliti z njihovim skupnim številom (v tem primeru: 1/1000).
B je dobitek sto rubljev, verjetnost bo 0,01. Zdaj smo ravnali po enakem principu kot v prejšnji akciji (10/1000)
C - dobitek je enak dvajsetim rubljem. Poiščite verjetnost, enaka je 0,05.
Preostale vstopnice nas ne zanimajo, saj je njihov nagradni sklad manjši od tistega, ki je določen v pogoju. Uporabimo četrti aksiom: verjetnost za zmago vsaj dvajset rubljev je P(A)+P(B)+P(C). Črka P označuje verjetnost nastanka tega dogodka, našli smo jih že v prejšnjih korakih. Ostaja le še dodati potrebne podatke, v odgovoru dobimo 0, 061. Ta številka bo odgovor na vprašanje o nalogi.
Klub kart
Problemi teorije verjetnosti so lahko bolj zapleteni, na primer vzemite naslednjo nalogo. Pred vami je sklop šestintridesetih kart. Vaša naloga je, da izvlečete dve karti zapored brez mešanja kupa, prva in druga karta morata biti asi, barva ni pomembna.
Najprej poiščimo verjetnost, da bo prva karta as, za to štiri delimo s šestintrideset. Odložili so ga. Vzamemo drugo karto, to bo as z verjetnostjo tri petintrideset. Verjetnost drugega dogodka je odvisna od tega, katero karto smo izžrebali prvo, nas zanimaje bil as ali ne. Iz tega sledi, da je dogodek B odvisen od dogodka A.
Naslednji korak je poiskati verjetnost hkratne izvedbe, torej pomnožimo A in B. Njun produkt najdemo na naslednji način: verjetnost enega dogodka se pomnoži s pogojno verjetnostjo drugega, ki ga izračunamo, ob predpostavki, da se je zgodil prvi dogodek, to je, da smo s prvo karto izžrebali asa.
Da bo vse jasno, dajmo oznako takemu elementu kot pogojna verjetnost dogodka. Izračuna se ob predpostavki, da se je zgodil dogodek A. Izračunano na naslednji način: P(B/A).
Nadaljujte z reševanjem naše težave: P(AB)=P(A)P(B/A) ali P (AB)=P(B)P(A/B). Verjetnost je (4/36)((3/35)/(4/36). Izračunajte z zaokroževanjem na stotinke. Imamo: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Verjetnost, da izvlečemo dva asa zapored, je devet stotink Vrednost je zelo majhna, iz tega sledi, da je verjetnost nastanka dogodka izjemno majhna.
pozabljena številka
Predlagamo, da analiziramo še nekaj možnosti za naloge, ki jih preučuje teorija verjetnosti. V tem članku ste že videli primere reševanja nekaterih od njih, poskusimo rešiti naslednjo težavo: fant je pozabil zadnjo številko telefonske številke svojega prijatelja, a ker je bil klic zelo pomemben, je začel klicati vse po vrsti. Izračunati moramo verjetnost, da ne bo poklical več kot trikrat. Rešitev problema je najenostavnejša, če so znana pravila, zakoni in aksiomi teorije verjetnosti.
Pred ogledomrešitev, poskusite rešiti sami. Vemo, da je lahko zadnja številka od nič do devet, torej je skupno deset vrednosti. Verjetnost, da dobite pravega, je 1/10.
Naprej moramo razmisliti o možnostih izvora dogodka, predpostavimo, da je fant uganil prav in takoj dosegel pravega, verjetnost takega dogodka je 1/10. Druga možnost: prvi klic je zgrešen, drugi pa je na cilju. Izračunamo verjetnost takega dogodka: 9/10 pomnožimo z 1/9, kot rezultat dobimo tudi 1/10. Tretja možnost: izkazalo se je, da sta prvi in drugi klic na napačnem naslovu, le s tretjega je fant prišel, kamor je želel. Izračunamo verjetnost takega dogodka: 9/10 pomnožimo z 8/9 in z 1/8, kot rezultat dobimo 1/10. Glede na pogoj problema nas druge možnosti ne zanimajo, zato nam ostane še seštevanje rezultatov, kot rezultat imamo 3/10. Odgovor: Verjetnost, da fant ne pokliče več kot trikrat, je 0,3.
Kartice s številkami
Pred vami je devet kart, na vsaki je napisana številka od ena do devet, številke se ne ponavljajo. Dali so jih v škatlo in temeljito premešali. Izračunati morate verjetnost, da
- se bo pojavilo sodo število;
- dvomestno.
Preden nadaljujemo z rešitvijo, določimo, da je m število uspešnih primerov, n pa skupno število možnosti. Poišči verjetnost, da je število sodo. Ne bo težko izračunati, da so štiri sode številke, to bo naš m, skupno je devet možnosti, to je m=9. Potem verjetnostenako 0, 44 ali 4/9.
Razmislite o drugem primeru: število možnosti je devet in uspešnih izidov sploh ne more biti, to pomeni, da je m enak nič. Verjetnost, da bo izvlečena karta vsebovala dvomestno številko, je prav tako nič.
