Teorija verjetnosti deluje z naključnimi spremenljivkami. Za naključne spremenljivke obstajajo tako imenovani zakoni distribucije. Tak zakon opisuje svojo naključno spremenljivko z absolutno popolnostjo. Vendar pa je pri delu z resničnimi nizi naključnih spremenljivk pogosto zelo težko takoj vzpostaviti zakon njihove porazdelitve in so omejeni na določen niz numeričnih značilnosti. Na primer, izračun srednje vrednosti in variance naključne spremenljivke je pogosto zelo koristen.
Zakaj je to potrebno
Če je bistvo matematičnega pričakovanja blizu srednji vrednosti količine, potem v tem primeru disperzija pove, kako so vrednosti naše količine raztresene okoli tega matematičnega pričakovanja. Če smo na primer izmerili IQ skupine ljudi in želimo preučiti rezultate meritev (vzorec), bo matematično pričakovanje pokazalo približno povprečno vrednost kvocienta inteligence za to skupino ljudi, če pa izračunamo vzorčno varianco, bomo ugotovili, kako so rezultati združeni okoli matematičnega pričakovanja: kup blizu njega (majhna variacija IQ) ali bolj enakomerno v celotnem razponu od minimalnega do največjega rezultata (velika variacija in nekje na sredini - matematično pričakovanje).
Za izračun variance potrebujete novo karakteristiko naključne spremenljivke – odstopanje vrednosti od matematičnečakam.
Odstopanje
Če želite razumeti, kako izračunati varianco, morate najprej razumeti odstopanje. Njegova definicija je razlika med vrednostjo, ki jo prevzame naključna spremenljivka, in njenim matematičnim pričakovanjem. Grobo rečeno, da bi razumeli, kako je vrednost "razpršena", morate pogledati, kako je porazdeljeno njeno odstopanje. To pomeni, da zamenjamo vrednost vrednosti z vrednostjo njenega odstopanja od mat. pričakovanja in razišči zakon o distribuciji.
Zakon porazdelitve diskretne, torej naključne spremenljivke, ki prevzame posamezne vrednosti, je zapisan v obliki tabele, kjer je vrednost vrednosti povezana z verjetnostjo njenega nastopa. Nato bo v zakonu o porazdelitvi odstopanja naključna spremenljivka zamenjana s svojo formulo, v kateri je vrednost (ki je ohranila svojo verjetnost) in lastna mat. čakam.
Lastnosti zakona porazdelitve odstopanja naključne spremenljivke
Zapisali smo zakon porazdelitve za odstopanje naključne spremenljivke. Iz nje lahko zaenkrat izluščimo le tako značilnost, kot je matematično pričakovanje. Za udobje je bolje vzeti številčni primer.
Naj obstaja zakon porazdelitve neke naključne spremenljivke: X - vrednost, p - verjetnost.
Izračunamo matematično pričakovanje s formulo in takoj odstopanje.
Risanje nove tabele porazdelitve odstopanj.
Tudi tukaj izračunamo pričakovanje.
Izkazalo se je nič. Primer je le en, a tako bo vedno: tega v splošnem primeru ni težko dokazati. Formulo za matematično pričakovanje odstopanja je mogoče razstaviti na razliko med matematičnimi pričakovanji naključne spremenljivke in, ne glede na to, kako krivo se sliši, matematičnim pričakovanjem preproge. pričakovanja (rekurzija), ki so enaka, zato bo njihova razlika nič.
To je pričakovano: navsezadnje so lahko odstopanja v predznaku tako pozitivna kot negativna, zato bi morala v povprečju dati nič.
Kako izračunati varianco diskretnega primera. količine
Če je mat. nesmiselno je izračunati pričakovano odstopanje, iskati je treba nekaj drugega. Lahko preprosto vzamete absolutne vrednosti odstopanj (modulo); pri modulih pa ni vse tako preprosto, zato se odstopanja kvadrirajo, nato pa se izračuna njihovo matematično pričakovanje. Pravzaprav je to mišljeno, ko govorijo o tem, kako izračunati varianco.
To pomeni, da vzamemo odstopanja, jih kvadriramo in naredimo tabelo kvadratov odstopanj in verjetnosti, ki ustrezajo naključnim spremenljivkam. To je nov zakon o distribuciji. Za izračun matematičnega pričakovanja morate sešteti produkte kvadrata odstopanja in verjetnosti.
Lažja formula
Vendar se je članek začel z dejstvom, da zakon porazdelitve začetne naključne spremenljivke pogosto ni znan. Torej je potrebno nekaj lažjega. Pravzaprav obstaja še ena formula, ki vam omogoča izračun variance vzorca samo z uporabo preproge.čakanje:
Disperzija - razlika med mat. pričakovanje kvadrata naključne spremenljivke in, nasprotno, kvadrata njene mat. čakam.
Za to obstaja dokaz, vendar ga tukaj ni smiselno predstavljati, saj nima praktične vrednosti (in moramo izračunati le varianco).
Kako izračunati varianco naključne spremenljivke v variacijskih serijah
V realni statistiki je nemogoče odražati vse naključne spremenljivke (ker jih je, grobo rečeno, praviloma neskončno število). Zato je tisto, kar pride v študijo, tako imenovani reprezentativni vzorec iz neke splošne splošne populacije. In ker se numerične značilnosti katere koli naključne spremenljivke iz takšne splošne populacije izračunajo iz vzorca, se imenujejo vzorec: vzorčna povprečja oziroma vzorčna varianca. Izračunate ga lahko na enak način kot običajno (skozi kvadratne deviacije).
Vendar se takšna disperzija imenuje pristranska. Formula nepristranske variance izgleda nekoliko drugače. Običajno ga je potrebno izračunati.
Majhen dodatek
Še ena številčna značilnost je povezana z disperzijo. Služi tudi za oceno, kako se naključna spremenljivka razprši okoli svoje podloge. pričakovanja. Ni velike razlike pri izračunu variance in standardnega odklona: slednji je kvadratni koren prvega.
