Pogosto se v življenju soočamo s potrebo po oceni možnosti, da se zgodi dogodek. Ali se splača kupiti srečko ali ne, kakšnega spola bo tretji otrok v družini, ali bo jutri jasno ali bo spet deževalo – takih primerov je nešteto. V najpreprostejšem primeru bi morali število ugodnih izidov deliti s skupnim številom dogodkov. Če je v loteriji 10 zmagovalnih listkov in jih je skupaj 50, so možnosti za nagrado 10/50=0,2, torej 20 proti 100. Kaj pa, če je dogodkov več in so tesno povezani? V tem primeru nas ne bo več zanimala preprosta, ampak pogojna verjetnost. Kakšna je ta vrednost in kako jo je mogoče izračunati - o tem bomo razpravljali v našem članku.
koncept
Pogojna verjetnost je možnost, da se zgodi določen dogodek, glede na to, da se je že zgodil drug povezan dogodek. Razmislite o preprostem primeru zmetanje kovanca. Če še ni bilo žreba, potem bodo možnosti za zmago ali repke enake. Če pa je kovanec petkrat zapored ležal z grbom navzgor, bi bilo nelogično pričakovati 6., 7. in še bolj deseto ponovitev takega izida. Z vsakim ponovljenim naslovom rastejo možnosti za pojav repov in slej ko prej bo izpadel.
Formula pogojne verjetnosti
Ugotovimo, kako se izračuna ta vrednost. Označimo prvi dogodek kot B, drugega pa kot A. Če so možnosti za pojav B različne od nič, bo veljala naslednja enakost:
P (A|B)=P (AB) / P (B), kjer je:
- P (A|B) – pogojna verjetnost izida A;
- P (AB) - verjetnost skupnega nastopa dogodkov A in B;
- P (B) – verjetnost dogodka B.
Rahlo preoblikujemo to razmerje, dobimo P (AB)=P (A|B)P (B). In če uporabimo metodo indukcije, potem lahko izpeljemo formulo izdelka in jo uporabimo za poljubno število dogodkov:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
vaja
Da bi lažje razumeli, kako se izračuna pogojna verjetnost dogodka, si oglejmo nekaj primerov. Recimo, da obstaja vaza, ki vsebuje 8 čokolad in 7 mint. So enake velikosti in naključni.dva od njih se izvlečeta zaporedoma. Kakšne so možnosti, da bosta oba čokoladna? Naj uvedemo notacijo. Naj rezultat A pomeni, da je prvi bonbon čokolada, rezultat B pa drugi čokoladni bonbon. Potem dobite naslednje:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Upoštevajmo še en primer. Recimo, da obstaja družina dveh otrok in vemo, da je vsaj en otrok deklica.
Kolikšna je pogojna verjetnost, da ti starši še nimajo fantov? Kot v prejšnjem primeru, začnemo z zapisom. Naj bo P(B) verjetnost, da je v družini vsaj eno dekle, P(A|B) verjetnost, da je tudi drugi otrok deklica, P(AB) verjetnost, da sta v družini dve deklici. družina. Zdaj pa naredimo izračune. Skupno so lahko 4 različne kombinacije spola otrok in v tem primeru le v enem primeru (ko sta v družini dva fanta) med otroki ne bo deklice. Zato je verjetnost P (B)=3/4 in P (AB)=1/4. Nato po naši formuli dobimo:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Rezultat si lahko razlagamo takole: če ne bi vedeli spola enega od otrok, bi bile možnosti za dve dekleti 25 proti 100. Ker pa vemo, da je en otrok deklica, verjetnost, da družina fantov ne, se poveča na eno tretjino.
