Malo verjetno je, da marsikdo razmišlja o tem, ali je mogoče izračunati dogodke, ki so bolj ali manj naključni. Preprosto povedano, ali je realno vedeti, katera stran kocke v kocki bo naslednja padla. To vprašanje sta postavila dva velika znanstvenika, ki sta postavila temelje za tako znanost, kot je teorija verjetnosti, v kateri se verjetnost dogodka precej obsežno preučuje.
Izvor
Če poskusite definirati tak pojem kot teorija verjetnosti, dobite naslednje: to je ena od vej matematike, ki preučuje konstantnost naključnih dogodkov. Seveda ta koncept v resnici ne razkriva celotnega bistva, zato ga je treba podrobneje razmisliti.
Rad bi začel z ustvarjalci teorije. Kot že omenjeno, sta bila dva od njih, to sta Pierre Fermat in Blaise Pascal. Prav oni so bili med prvimi, ki so s pomočjo formul in matematičnih izračunov poskušali izračunati izid dogodka. Na splošno so se zametki te znanosti pojavili že lSrednja leta. V tistem času so različni misleci in znanstveniki poskušali analizirati igre na srečo, kot so ruleta, craps itd., s čimer so ugotovili vzorec in odstotek izpada določenega števila. Temelje so postavili v sedemnajstem stoletju prej omenjeni znanstveniki.
Njihovega dela sprva ni bilo mogoče pripisati velikim dosežkom na tem področju, saj so bila vse, kar so počeli, zgolj empirična dejstva, eksperimenti pa so bili postavljeni vizualno, brez uporabe formul. Sčasoma se je izkazalo za odlične rezultate, ki so se pojavili kot posledica opazovanja metanja kocke. Prav to orodje je pomagalo izpeljati prve razumljive formule.
Associates
Nemogoče je ne omeniti takšne osebe, kot je Christian Huygens, v procesu preučevanja teme, imenovane "teorija verjetnosti" (verjetnost dogodka je zajeta prav v tej znanosti). Ta oseba je zelo zanimiva. Tako kot zgoraj predstavljeni znanstveniki je poskušal izpeljati pravilnost naključnih dogodkov v obliki matematičnih formul. Omeniti velja, da tega ni storil skupaj s Pascalom in Fermatom, torej vsa njegova dela se na noben način niso sekala s temi umi. Huygens je izpeljal osnovne koncepte teorije verjetnosti.
Zanimivo dejstvo je, da je njegovo delo izšlo veliko pred rezultati pionirjev, oziroma dvajset let prej. Med označenimi koncepti so najbolj znani:
- koncept verjetnosti kot velikosti naključja;
- pričakovano za diskretnoprimeri;
- teoremi množenja in seštevanja verjetnosti.
Nemogoče je, da se ne spomnimo tudi Jacoba Bernoullija, ki je prav tako pomembno prispeval k preučevanju problematike. Z lastnimi testi, neodvisnimi od kogar koli, mu je uspelo predstaviti dokaz zakona velikih števil. Po drugi strani sta znanstvenika Poisson in Laplace, ki sta delala na začetku devetnajstega stoletja, uspela dokazati prvotne izreke. Od tega trenutka se je teorija verjetnosti začela uporabljati za analizo napak med opazovanjem. Tudi ruski znanstveniki, oziroma Markov, Čebišev in Djapunov, te znanosti niso mogli mimo. Na podlagi dela, ki so ga opravili veliki geniji, so ta predmet določili kot vejo matematike. Te figure so delovale že ob koncu devetnajstega stoletja in zahvaljujoč njihovemu prispevku so se pojavili pojavi, kot so:
- zakon velikih števil;
- Markovska teorija verige;
- centralni mejni izrek.
Torej je z zgodovino rojstva znanosti in z glavnimi ljudmi, ki so vplivali nanjo, vse bolj ali manj jasno. Zdaj je čas, da konkretiziramo vsa dejstva.
Osnovni koncepti
Preden se dotaknemo zakonov in izrekov, je vredno preučiti osnovne koncepte teorije verjetnosti. Dogodek ima pri tem vodilno vlogo. Ta tema je precej obsežna, vendar brez nje ne bo mogoče razumeti vsega drugega.
Dogodek v teoriji verjetnosti je kateri koli niz rezultatov eksperimenta. Konceptov tega pojava ni toliko. Torej, znanstvenik Lotman,dela na tem področju, je dejal, da v tem primeru govorimo o nečem, kar se je "zgodilo, čeprav se morda ne bi zgodilo."
Naključni dogodki (teorija verjetnosti jim posveča posebno pozornost) je koncept, ki implicira absolutno vsak pojav, ki se lahko zgodi. Ali, nasprotno, se ta scenarij morda ne zgodi, če je izpolnjenih veliko pogojev. Prav tako je vredno vedeti, da so naključni dogodki tisti, ki zajamejo celoten obseg pojavov, ki so se zgodili. Teorija verjetnosti kaže, da se lahko vsi pogoji nenehno ponavljajo. Njihovo ravnanje se je imenovalo "izkušnja" ali "test".
Določen dogodek je tisti, ki se bo v danem testu zgodil 100 %. V skladu s tem je nemogoč dogodek tisti, ki se ne bo zgodil.
Kombinacija para dejanj (običajno primer A in primer B) je pojav, ki se pojavi hkrati. Označeni so kot AB.
Vsota parov dogodkov A in B je C, z drugimi besedami, če se zgodi vsaj eden od njiju (A ali B), dobimo C. Formula opisanega pojava je zapisana takole: C=A + B.
Disjunktivni dogodki v teoriji verjetnosti pomenijo, da se dva primera medsebojno izključujeta. Nikoli se ne morejo zgoditi hkrati. Skupni dogodki v teoriji verjetnosti so njihov antipod. To pomeni, da če se je zgodilo A, potem to ne moti B.
Nasprotne dogodke (teorija verjetnosti jih zelo podrobno obravnava) je enostavno razumeti. Najbolje se je ukvarjati z njimi v primerjavi. So skoraj enaki kotin nezdružljivih dogodkov v teoriji verjetnosti. Toda njihova razlika je v tem, da se mora eden od mnogih pojavov vseeno zgoditi.
Ekvivalentni dogodki so tista dejanja, katerih možnost je enaka. Da bo bolj jasno, si lahko predstavljamo metanje kovanca: padec ene od njegovih strani je enako verjetno kot padec druge.
Ugoden dogodek je lažje videti s primerom. Recimo, da obstajata epizoda B in epizoda A. Prva je metanje kocke s pojavom lihega števila, druga pa je pojav števila pet na kocki. Potem se izkaže, da A daje prednost B.
Neodvisni dogodki v teoriji verjetnosti so projicirani samo na dva ali več primerov in pomenijo neodvisnost katerega koli dejanja od drugega. Na primer, A je izguba repov, ko se vrže kovanec, B pa vlečenje vložka iz krova. V teoriji verjetnosti so neodvisni dogodki. S tem trenutkom je postalo bolj jasno.
Odvisni dogodki v teoriji verjetnosti so prav tako dopustni samo za njihov niz. Namigujejo na odvisnost enega od drugega, to pomeni, da se fenomen B lahko pojavi le, če se je A že zgodil ali, nasprotno, se ni zgodil, ko je to glavni pogoj za B.
Izid naključnega poskusa, sestavljenega iz ene komponente, so osnovni dogodki. Teorija verjetnosti pojasnjuje, da je to pojav, ki se je zgodil le enkrat.
Osnovne formule
Torej, koncepti "dogodka", "teorije verjetnosti",podana je bila tudi definicija temeljnih izrazov te znanosti. Zdaj je čas, da se neposredno seznanite s pomembnimi formulami. Ti izrazi matematično potrjujejo vse glavne koncepte tako težkega predmeta, kot je teorija verjetnosti. Verjetnost dogodka igra tudi tukaj veliko vlogo.
Bolje začnite z osnovnimi formulami kombinatorike. In preden nadaljujete z njimi, je vredno razmisliti, kaj je.
Kombinatorika je predvsem veja matematike, ukvarja se s preučevanjem ogromnega števila celih števil, pa tudi z različnimi permutacijami tako samih števil kot njihovih elementov, različnih podatkov itd., ki vodijo do pojava številne kombinacije. Poleg teorije verjetnosti je ta veja pomembna za statistiko, računalništvo in kriptografijo.
Zdaj lahko preidemo na predstavitev samih formul in njihovo definiranje.
Prvi bo izraz za število permutacij, izgleda takole:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Enačba velja samo, če se elementi razlikujejo samo po vrstnem redu.
Zdaj bo upoštevana formula za umestitev, izgleda takole:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ta izraz ne velja samo za vrstni red elementa, ampak tudi za njegovo sestavo.
Tretja enačba iz kombinatorike in je tudi zadnja, se imenuje formula za število kombinacij:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinacije so izbire, ki niso urejene oziroma to pravilo velja zanje.
Izkazalo se je, da je enostavno ugotoviti formule kombinatorike, zdaj lahko preidemo na klasično definicijo verjetnosti. Ta izraz izgleda takole:
P(A)=m: n.
V tej formuli je m število pogojev, ugodnih za dogodek A, n pa število absolutno vseh enako možnih in elementarnih izidov.
Izrazov je veliko, članek ne bo obravnaval vseh, dotaknili pa se bomo najpomembnejših, kot je na primer verjetnost vsote dogodkov:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ta izrek je za dodajanje samo nezdružljivih dogodkov;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - in ta je za dodajanje samo kompatibilnih.
Verjetnost nastanka dogodkov:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ta izrek je za neodvisne dogodke;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - in ta je za odvisniki.
Formula dogodka konča seznam. Teorija verjetnosti nam govori o Bayesovem izreku, ki izgleda takole:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
V tej formuli je H1, H2, …, H je popolna skupina hipotez.
Ustavimo se tukaj, nato pa bomo obravnavali primere uporabe formul za reševanje specifičnih problemov iz prakse.
Primeri
Če natančno preučite kateri koli odsekmatematike, ne gre brez vaj in vzorčnih rešitev. Prav tako je teorija verjetnosti: dogodki, primeri tukaj so sestavni del, ki potrjuje znanstvene izračune.
Formula za število permutacij
Recimo, da je v kompletu kart trideset kart, začenši z nominalno vrednostjo ena. Naslednje vprašanje. Na koliko načinov je mogoče zložiti krov tako, da karte z nominalno vrednostjo ena in dve niso ena poleg druge?
Naloga je zastavljena, zdaj pa pojdimo k njenemu reševanju. Najprej morate določiti število permutacij tridesetih elementov, za to vzamemo zgornjo formulo, izkaže se, da je P_30=30!.
Na podlagi tega pravila bomo ugotovili, koliko možnosti je, da zložimo krov na različne načine, vendar moramo od njih odšteti tiste, pri katerih sta prva in druga karta naslednji. Če želite to narediti, začnimo z možnostjo, ko je prva nad drugo. Izkazalo se je, da lahko prva karta zavzame devetindvajset mest - od prvega do devetindvajsetega, druga karta pa od druge do tridesete, izkaže se devetindvajset mest za par kart. Po drugi strani lahko ostali zavzamejo osemindvajset mest in v poljubnem vrstnem redu. To pomeni, da za permutacijo osemindvajsetih kart obstaja osemindvajset možnosti P_28=28!
Posledično se izkaže, da če upoštevamo rešitev, ko je prva karta čez drugo, obstaja 29 ⋅ 28 dodatnih možnosti!=29!
Z uporabo iste metode morate izračunati število odvečnih možnosti za primer, ko je prva kartica pod drugo. Izkazalo se je tudi 29 ⋅ 28!=29!
Iz tega sledi, da je na voljo 2 ⋅ 29 dodatnih možnosti!, medtem ko obstaja 30 potrebnih načinov za izdelavo krova! - 2 ⋅ 29!. Ostaja samo še šteti.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Zdaj morate pomnožiti vse številke od ena do devetindvajset skupaj, nato pa na koncu vse pomnožiti z 28. Odgovor je 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Rešitev primera. Formula za številko umestitve
V tej težavi morate ugotoviti, na koliko načinov je mogoče postaviti petnajst zvezkov na eno polico, vendar pod pogojem, da je skupno trideset zvezkov.
Ta problem ima nekoliko lažjo rešitev kot prejšnji. Po že znani formuli je potrebno izračunati skupno število lokacij iz tridesetih zvezkov petnajstih.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2072 06 3072
Odgovor bo 202 843 204 931 727 360 000.
Zdaj se lotimo naloge nekoliko težje. Ugotoviti morate, na koliko načinov je mogoče razporediti trideset knjig na dve knjižni polici, pod pogojem, da je na eni polici lahko le petnajst zvezkov.
Preden začnem z reševanjem, bi rad pojasnil, da se nekatere težave rešujejo na več načinov, tako da sta v tem dva načina, vendar je v obeh uporabljena ista formula.
V tej nalogi lahko vzamete odgovor iz prejšnjega, saj smo tam izračunali, kolikokrat lahko napolnite polico s petnajstimi knjigami za-drugače. Izkazalo se je A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Drugo polico bomo izračunali po permutacijski formuli, ker je vanjo postavljenih petnajst knjig, ostane pa le še petnajst. Uporabite formulo P_15=15!.
Izkazalo se je, da bo vsota A_30^15 ⋅ P_15 načinov, vendar bo treba poleg tega zmnožek vseh številk od trideset do šestnajst pomnožiti z zmnožkom številk od ena do petnajst, kot rezultat, zmnožek vseh številk od ena do trideset, tako da je odgovor 30!
Toda ta problem je mogoče rešiti na drugačen način - lažje. Če želite to narediti, si lahko predstavljate, da je ena polica za trideset knjig. Vsi so postavljeni na to ravnino, a ker pogoj zahteva, da sta dve polici, eno dolgo prerežemo na pol, izkaže se po dve petnajst. Iz tega se izkaže, da so možnosti umestitve lahko P_30=30!.
Rešitev primera. Formula za kombinacijo števila
Sedaj bomo obravnavali različico tretjega problema iz kombinatorike. Ugotoviti morate, na koliko načinov lahko uredite petnajst knjig, pod pogojem, da morate izbrati med tridesetimi popolnoma enakimi.
Za rešitev bo seveda uporabljena formula za število kombinacij. Iz pogoja postane jasno, da vrstni red enakih petnajstih knjig ni pomemben. Zato morate najprej ugotoviti skupno število kombinacij tridesetih knjig petnajstih.
C_30^15=30!: ((30-15)) !: petnajst!=155 117 520
To je to. S to formulo je bilo to mogoče v najkrajšem možnem časurešite tak problem, je odgovor 155 117 520.
Rešitev primera. Klasična definicija verjetnosti
Z zgornjo formulo lahko najdete odgovor na preprosto težavo. Pomagalo pa bo vizualno videti in slediti poteku dejanj.
V nalogi je podano, da je v žari deset popolnoma enakih kroglic. Od tega so štiri rumene in šest modre. Iz žare se vzame ena kroglica. Ugotoviti morate verjetnost, da boste postali modri.
Za rešitev problema je treba kot dogodek A označiti pridobivanje modre kroglice. Ta izkušnja ima lahko deset izidov, ki so po drugi strani elementarni in enako verjetni. Hkrati je od desetih šest ugodnih za dogodek A. Rešujemo po formuli:
P(A)=6: 10=0, 6
Z uporabo te formule smo ugotovili, da je verjetnost, da dobimo modro kroglico, 0,6.
Rešitev primera. Verjetnost vsote dogodkov
Sedaj bo predstavljena varianta, ki jo rešujemo s formulo za verjetnost vsote dogodkov. Torej, pod pogojem, da sta škatli dve, prva vsebuje eno sivo in pet belih kroglic, druga pa osem sivih in štiri bele kroglice. Posledično je bil eden od njih vzet iz prve in druge škatle. Ugotoviti morate, kakšna je možnost, da bodo kroglice, ki jih dobite, sive in bele.
Če želite rešiti to težavo, morate označiti dogodke.
- Torej, A - vzemite sivo kroglico iz prve škatle: P(A)=1/6.
- A’ – vzemite belo kroglo tudi iz prve škatle: P(A')=5/6.
- B – siva kroglica je bila že vzeta iz drugega polja: P(B)=2/3.
- B’ – vzemite sivo kroglico iz drugega polja: P(B')=1/3.
Glede na pogoj problema se mora zgoditi eden od pojavov: AB' ali A'B. Z uporabo formule dobimo: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Zdaj je bila uporabljena formula za množenje verjetnosti. Nato, če želite izvedeti odgovor, morate uporabiti enačbo za njihovo seštevanje:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Tako lahko s formulo rešite podobne težave.
rezultat
Članek je podal informacije o temi "Teorija verjetnosti", pri kateri ima verjetnost dogodka ključno vlogo. Seveda ni bilo vsega upoštevano, vendar se lahko na podlagi predstavljenega besedila teoretično seznanimo s tem odsekom matematike. Zadevna znanost je lahko uporabna ne le pri strokovnem delu, ampak tudi v vsakdanjem življenju. Z njegovo pomočjo lahko izračunate katero koli možnost katerega koli dogodka.
Besedilo se je dotaknilo tudi pomembnih datumov v zgodovini nastanka teorije verjetnosti kot znanosti in imen ljudi, katerih dela so bila vanjo vložena. Tako je človeška radovednost privedla do dejstva, da so se ljudje naučili izračunati celo naključne dogodke. Nekoč jih je samo zanimalo, danes pa za to že vedo vsi. In nihče ne bo povedal, kaj nas čaka v prihodnosti, kakšna druga briljantna odkritja, povezana z obravnavano teorijo, bodo narejena. Toda eno je gotovo - raziskave ne miruje!
