Krog je glavna figura v geometriji, katere lastnosti se upoštevajo v šoli v 8. razredu. Eden od tipičnih problemov, povezanih s krogom, je najti območje nekega njegovega dela, ki se imenuje krožni sektor. V članku so podane formule za površino sektorja in dolžino njegovega loka ter primer njihove uporabe za reševanje določenega problema.
Koncept kroga in kroga
Preden podamo formulo za površino sektorja kroga, razmislimo, kaj je prikazana številka. Po matematični definiciji se krog razume kot takšna figura na ravnini, katere vse točke so enako oddaljene od neke ene točke (centra).
Ko razmišljamo o krogu, se uporablja naslednja terminologija:
- Radij - segment, ki je narisan od osrednje točke do krivulje kroga. Običajno je označen s črko R.
- Premer je segment, ki povezuje dve točki kroga, vendar poteka tudi skozi središče figure. Običajno je označen s črko D.
- Lok je del ukrivljenega kroga. Meri se v dolžinskih enotah ali z uporabo kotov.
Krog je še ena pomembna geometrijska figura, je zbirka točk, ki je omejena z ukrivljenim krogom.
območje in obseg kroga
Vrednosti, navedene v naslovu predmeta, so izračunane z uporabo dveh preprostih formul. Navedeni so spodaj:
- obseg: L=2piR.
- Površina kroga: S=piR2.
V teh formulah je pi neka konstanta, imenovana Pi. Je iracionalen, to pomeni, da ga ni mogoče natančno izraziti kot preprost ulomek. Pi je približno 3,1416.
Kot lahko vidite iz zgornjih izrazov, je za izračun površine in dolžine dovolj vedeti le polmer kroga.
Območje sektorja kroga in dolžina njegovega loka
Pred obravnavanjem ustreznih formul se spomnimo, da je kot v geometriji običajno izražen na dva glavna načina:
- v šestdesetih stopinjah, polna rotacija okoli njene osi pa je 360o;
- v radianih, izraženo kot ulomki pi in povezani s stopinjami z naslednjo enačbo: 2pi=360o.
Sektor kroga je lik, omejen s tremi črtami: lokom kroga in dvema polmeroma, ki se nahajata na koncih tega loka. Primer krožnega sektorja je prikazan na spodnji fotografiji.
Dobiti predstavo o tem, kaj je sektor za krog, je enostavnorazumeti, kako izračunati njegovo površino in dolžino ustreznega loka. Iz zgornje slike je razvidno, da lok sektorja ustreza kotu θ. Vemo, da polni krog ustreza radianom 2pi, zato bo formula za površino krožnega sektorja imela obliko: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Tu je kot θ izražen v radianih. Podobna formula za območje sektorja, če se kot θ meri v stopinjah, bo videti takole: S1=piθR2 /360.
Dolžina loka, ki tvori sektor, se izračuna po formuli: L1=θ2piR/(2pi)=θR. In če je θ znan v stopinjah, potem: L1=piθR/180.
Primer reševanja problemov
Na primeru preproste težave pokažemo, kako uporabiti formule za površino sektorja kroga in dolžino njegovega loka.
Znano je, da ima kolo 12 naper. Ko kolo naredi en popoln obrat, pokrije razdaljo 1,5 metra. Kakšna je površina med dvema sosednjima naperama kolesa in kakšna je dolžina loka med njima?
Kot lahko vidite iz ustreznih formul, morate za njihovo uporabo poznati dve količini: polmer kroga in kot loka. Polmer je mogoče izračunati iz poznavanja oboda kolesa, saj mu razdalja, ki jo prepotuje v enem obratu, natančno ustreza. Imamo: 2Rpi=1,5, od koder: R=1,5/(2pi)=0,2387 metra. Kot med najbližjimi naperami je mogoče določiti, če poznamo njihovo število. Ob predpostavki, da vseh 12 naper razdeli krog enakomerno na enake sektorje, dobimo 12 enakih sektorjev. V skladu s tem je kotna mera loka med obema naperama: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiana.
Našli smo vse potrebne vrednosti, zdaj jih lahko nadomestimo v formule in izračunamo vrednosti, ki jih zahteva pogoj problema. Dobimo: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, oz. 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m ali 12,5 cm.
