Navadna šesterokotna piramida. Formule za prostornino in površino. Rešitev geometrijskega problema

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Stereometrija kot veja geometrije v vesolju preučuje lastnosti prizm, valjev, stožcev, kroglic, piramid in drugih tridimenzionalnih figur. Ta članek je posvečen podrobnemu pregledu značilnosti in lastnosti šesterokotne pravilne piramide.

Katera piramida bo preučena

Pravilna šesterokotna piramida je figura v prostoru, ki je omejena z enim enakostraničnim in enakokotnim šesterokotnikom ter šestimi enakimi enakokrakimi trikotniki. Ti trikotniki so lahko pod določenimi pogoji tudi enakostranični. Ta piramida je prikazana spodaj.

Tukaj je prikazana ista slika, le da je v enem primeru obrnjena s stransko stranjo proti čitalniku, v drugem pa s stranskim robom.

Navadna šesterokotna piramida ima 7 obrazov, ki so bili omenjeni zgoraj. Ima tudi 7 oglišč in 12 robov. Za razliko od prizme imajo vse piramide eno posebno oglišče, ki nastane s presečiščem stranskihtrikotniki. Za pravilno piramido igra pomembno vlogo, saj je pravokotnica, spuščena od nje na osnovo figure, višina. Nadalje bo višina označena s črko h.

Prikazana piramida se imenuje pravilna iz dveh razlogov:

• na svoji osnovi je šesterokotnik z enakimi stranicami a in enakimi koti 120o;
• Višina piramide h seka šesterokotnik natančno v njegovem središču (točka preseka leži na enaki razdalji od vseh stranic in od vseh vozlišč šesterokotnika).

površina

Lastnosti pravilne šesterokotne piramide bomo upoštevali iz definicije njene površine. Če želite to narediti, je najprej koristno, da figuro razprete na ravnini. Shematski prikaz tega je prikazan spodaj.

Vidimo, da je površina zamaha in s tem celotna površina obravnavane figure enaka vsoti površin šestih enakih trikotnikov in enega šestkotnika.

Za določitev površine šesterokotnika S_{6 uporabite univerzalno formulo za običajni n-kotnik:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kjer je a dolžina stranice šestkotnika.

Površino trikotnika S₃ bočne strani lahko najdete, če poznate vrednost njegove višine h_b:

S₃=1/2h_ba.

Ker vseh šesttrikotniki so med seboj enaki, potem dobimo delovni izraz za določanje površine šestkotne piramide s pravilno osnovo:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

prostornina piramide

Tako kot površina je prostornina šesterokotne pravilne piramide njena pomembna lastnost. Ta prostornina se izračuna po splošni formuli za vse piramide in stožce. Zapišimo:

V=1/3S_oh.

Tukaj je simbol S_o površina šesterokotne osnove, to je S_o=S _6.

Če v formulo za V nadomestimo zgornji izraz za S_{6, pridemo do končne enakosti za določanje prostornine pravilne šesterokotne piramide:}

V=√3/2a2h.

Primer geometrijske težave

V pravilni šesterokotni piramidi je stranski rob dvakrat daljši od osnovne strani. Ker vemo, da je slednji 7 cm, je treba izračunati površino in prostornino te številke.

Kot morda ugibate, rešitev tega problema vključuje uporabo zgoraj pridobljenih izrazov za S in V. Kljub temu ju ne bo mogoče takoj uporabiti, saj ne poznamo apotema in višina pravilne šesterokotne piramide. Izračunajmo jih.

Apotem h_b lahko določimo z upoštevanjem pravokotnega trikotnika, zgrajenega na stranicah b, a/2 in h_{b. Tukaj je b dolžina stranskega roba. Z uporabo pogoja problema dobimo:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Višino h piramide lahko določimo na popolnoma enak način kot apotem, zdaj pa bi morali razmisliti o trikotniku s stranicami h, b in a, ki se nahajajo znotraj piramide. Višina bo:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Vidi se, da je izračunana vrednost višine manjša od vrednosti apotema, kar velja za vsako piramido.

Zdaj lahko uporabite izraze za prostornino in površino:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Tako, da nedvoumno določite katero koli značilnost pravilne šesterokotne piramide, morate poznati katera koli dva njena linearna parametra.