Bočna površina pravilnega in prisekanega stožca. Formule in primer reševanja problema

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Pri obravnavanju figur v prostoru se pogosto pojavijo težave pri določanju njihove površine. Ena takih figur je stožec. V članku razmislite, kakšna je stranska površina stožca z okroglo osnovo, pa tudi okrnjenega stožca.

Stožec z okroglo osnovo

Preden nadaljujemo z obravnavo stranske površine stožca, bomo pokazali, za kakšno figuro gre in kako jo pridobimo z geometrijskimi metodami.

Vzemite pravokoten trikotnik ABC, kjer sta kraki AB in AC. Postavimo ta trikotnik na krak AC in ga zavrtimo okoli kraka AB. Kot rezultat, strani AC in BC opisujeta dve površini spodnje slike.

Šifra, pridobljena z vrtenjem, se imenuje okrogel ravni stožec. Okrogla je, ker je njena osnova krog, in ravna, ker pravokotnica, potegnjena z vrha figure (točka B), seka krog v njenem središču. Dolžina te pravokotnice se imenuje višina. Očitno je enak kraku AB. Višina je običajno označena s črko h.

Poleg višine obravnavani stožec opisujeta še dve linearni značilnosti:

• generiranje ali generatrika (hipotenuza BC);
• osnovni polmer (kraka AC).

Polmer bo označen s črko r, generatorja pa z g. Nato lahko ob upoštevanju Pitagorovega izreka zapišemo enakost, ki je pomembna za obravnavano figuro:

g²=h²+ r²

konična površina

Celota vseh generatric tvori stožčasto ali stransko površino stožca. Po videzu je težko ugotoviti, kateri ploščati figuri ustreza. Slednje je pomembno vedeti pri določanju površine stožčaste površine. Za rešitev tega problema se uporablja metoda pometanja. Sestavljen je iz naslednjega: površina se miselno razreže vzdolž poljubne generatrike, nato pa se razgrne na ravnino. S to metodo pridobivanja zamaha se oblikuje naslednja ploščata številka.

Kot morda ugibate, krog ustreza osnovi, krožni sektor pa je stožčasta površina, katere površina nas zanima. Sektor je omejen z dvema generatrikama in lokom. Dolžina slednjega je natančno enaka obodu (dolžini) oboda osnove. Te značilnosti enolično določajo vse lastnosti krožnega sektorja. Ne bomo dajali vmesnih matematičnih izračunov, ampak takoj zapišite končno formulo, s katero lahko izračunate površino stranske površine stožca. Formula je:

S_b=pigr

Površina stožčaste površine S_b je enaka zmnožku dveh parametrov in Pi.

Okrnjen stožec in njegova površina

Če vzamemo navaden stožec in mu odrežemo vrh z vzporedno ravnino, bo preostala figura okrnjen stožec. Njegova stranska površina je omejena z dvema okroglama osnovama. Njihova polmera označimo z R in r. Višino figure označimo s h, generatriko pa z g. Spodaj je izrez iz papirja za to figuro.

Vidi se, da stranska površina ni več krožni sektor, je manjša po površini, saj je od nje odrezan osrednji del. Razvoj je omejen na štiri črte, dve sta odseki-generatorji ravnih črt, drugi dve sta loki z dolžinami ustreznih krogov osnov prisekanega stožca.

Stranska površina S_bizračunano na naslednji način:

S_b=pig(r + R)

Generatrika, polmer in višina so povezani z naslednjo enakostjo:

g²=h²+ (R - r)²

Problem z enakostjo območij številk

Za stožec z višino 20 cm in polmerom osnove 8 cm je treba najti višino okrnjenega stožca, katerega stranska površina bo imela enako površino kot ta stožec. Okrnjena figura je zgrajena na isti podlagi, polmer zgornje osnove pa je 3 cm.

Najprej zapišimo pogoj enakosti območij stožca in okrnjenega lika. Imamo:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Zdaj napišimo izraze za generatrične oblike vsake oblike:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Zamenjajte g₁ in g₂ v formulo za enake površine in kvadrirajte levo in desno stran, dobimo:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Kje dobimo izraz za h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Te enakosti ne bomo poenostavili, ampak preprosto nadomestili podatke, znane iz pogoja:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

Tako mora imeti okrnjen stožec parametre, da bi izenačil površine stranskih površin figur: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.