Revolucijskim figuram v geometriji posvečamo posebno pozornost pri preučevanju njihovih značilnosti in lastnosti. Eden od njih je okrnjen stožec. Ta članek želi odgovoriti na vprašanje, s katero formulo je mogoče izračunati površino okrnjenega stožca.
O kateri številki govorimo?
Preden opišemo območje okrnjenega stožca, je treba dati natančno geometrijsko definicijo te figure. Okrnjen je tak stožec, ki ga dobimo kot rezultat odrezanja vrha navadnega stožca z ravnino. V tej definiciji je treba poudariti številne nianse. Prvič, presečna ravnina mora biti vzporedna z ravnino osnove stožca. Drugič, prvotna figura mora biti krožni stožec. Seveda je lahko eliptična, hiperbolična in druga vrsta figure, vendar se bomo v tem članku omejili na obravnavanje le krožnega stožca. Slednje je prikazano na spodnji sliki.
Lahko je uganiti, da ga je mogoče dobiti ne le s pomočjo prereza z ravnino, ampak tudi s pomočjo operacije vrtenja. ZaČe želite to narediti, morate vzeti trapez, ki ima dva prava kota, in ga zavrteti okoli strani, ki meji na ta prava kota. Posledično bodo osnove trapeza postale polmeri osnov okrnjenega stožca, stranska nagnjena stran trapeza pa bo opisovala stožčasto površino.
Razvoj oblike
Glede na površino okrnjenega stožca je koristno prinesti njegov razvoj, to je podobo površine tridimenzionalne figure na ravnini. Spodaj je pregled preučevane figure s poljubnimi parametri.
Vidimo, da je območje figure sestavljeno iz treh komponent: dveh krogov in enega okrnjenega krožnega segmenta. Očitno je za določitev zahtevane površine potrebno sešteti površine vseh poimenovanih figur. Rešimo to težavo v naslednjem odstavku.
Območje okrnjenega stožca
Za lažje razumevanje naslednjega sklepanja uvajamo naslednji zapis:
- r1, r2 - polmeri velike in male baze;
- h - višina figure;
- g - tvornica stožca (dolžina poševne strani trapeza).
Površino osnov okrnjenega stožca je enostavno izračunati. Zapišimo ustrezne izraze:
So1=pir12;
So2=pir22.
Površino dela krožnega segmenta je nekoliko težje določiti. Če si predstavljamo, da središče tega krožnega sektorja ni izrezano, bo njegov polmer enak vrednosti G. Ni ga težko izračunati, če upoštevamo ustrezenpodobni pravokotni stožčasti trikotniki. Enako je:
G=r1g/(r1-r2).
Takrat bo površina celotnega krožnega sektorja, ki je zgrajena na polmeru G in ki temelji na loku dolžine 2pir1, enaka za:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Sedaj določimo površino majhnega krožnega sektorja S2, ki jo bo treba odšteti od S1. Enako je:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Površina stožčaste prisekane površine Sb je enaka razliki med S1 in S 2. Dobimo:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Kljub nekaterim okornim izračunom smo dobili dokaj preprost izraz za površino stranske površine figure.
S seštevanjem območij baz in Sb pridemo do formule za površino okrnjenega stožca:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Tako morate za izračun vrednosti S preučevane figure poznati njene tri linearne parametre.
Primer težave
Krožni ravni stožecs polmerom 10 cm in višino 15 cm smo odrezali z ravnino, tako da smo dobili pravilen prisekani stožec. Če vemo, da je razdalja med osnovami okrnjene figure 10 cm, je treba najti njeno površino.
Če želite uporabiti formulo za območje okrnjenega stožca, morate najti tri njegove parametre. Eden, ki ga poznamo:
r1=10 cm.
Drugi dve je enostavno izračunati, če upoštevamo podobne pravokotne trikotnike, ki jih dobimo kot rezultat aksialnega prereza stožca. Ob upoštevanju pogoja problema dobimo:
r2=105/15=3,33 cm.
Na koncu bo vodilo okrnjenega stožca g:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Zdaj lahko zamenjate vrednosti r1, r2 in g v formulo za S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Želena površina figure je približno 852 cm2.
