Vsak študent pri študiju stereometrije v srednji šoli je naletel na stožec. Dve pomembni značilnosti te prostorske figure sta površina in prostornina. V tem članku bomo pokazali, kako najti prostornino okroglega stožca.
Okrogel stožec kot figura vrtenja pravokotnega trikotnika
Preden gremo neposredno na temo članka, je treba stožec opisati z geometrijskega vidika.
Naj je nekaj pravokotnega trikotnika. Če ga zavrtite okoli katere koli noge, bo rezultat tega dejanja želena figura, prikazana na spodnji sliki.
Tukaj je krak AB del osi stožca, njegova dolžina pa ustreza višini figure. Drugi krak (segment CA) bo polmer stožca. Med vrtenjem bo opisal krog, ki omejuje osnovo figure. Hipotenuza BC se imenuje generatrika figure ali njena generatrika. Točka B je edino oglišče stožca.
Glede na lastnosti trikotnika ABC lahko zapišemo razmerje med generatriko g, polmerom r in višino h, kot sledienakost:
g2=h2+ r2
Ta formula je uporabna pri reševanju številnih geometrijskih problemov z zadevno figuro.
formula za volumen stožca
Obseg katere koli prostorske figure je površina prostora, ki je omejena s površinami te figure. Obstajata dve takšni površini za stožec:
- Bočno ali stožčasto. Sestavljajo ga vse generatrike.
- Fundacija. V tem primeru je krog.
Pridobite formulo za določanje prostornine stožca. Da bi to naredili, ga miselno razrežemo na številne plasti, vzporedne z osnovo. Vsaka od plasti ima debelino dx, ki teži k nič. Območje Sx plasti na razdalji x od vrha slike je enako naslednjemu izrazu:
Sx=pir2x2/h 2
Veljavnost tega izraza je mogoče preveriti intuitivno z zamenjavo vrednosti x=0 in x=h. V prvem primeru bomo dobili površino enako nič, v drugem primeru pa bo enako površini okrogle osnove.
Če želite določiti prostornino stožca, morate sešteti majhne "volumne" vsake plasti, to pomeni, da uporabite integralni račun:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Z izračunom tega integrala pridemo do končne formule za okrogli stožec:
V=1/3pir2h
Zanimivo je, da je ta formula popolnoma podobna tisti, ki se uporablja za izračun prostornine poljubne piramide. To naključje ni naključno, saj vsaka piramida postane stožec, ko se število njenih robov poveča na neskončnost.
Problem pri izračunu prostornine
Koristno je navesti primer reševanja problema, ki bo pokazal uporabo izpeljane formule za volumen V.
Dano je okrogel stožec, katerega osnovna površina je 37 cm2, generator figure pa je trikrat večji od polmera. Kolikšen je volumen stožca?
Formulo za prostornino imamo pravico uporabiti, če poznamo dve količini: višino h in polmer r. Poiščimo formule, ki jih določajo v skladu s pogojem problema.
Radij r lahko izračunamo tako, da poznamo površino kroga So, imamo:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
S pomočjo pogoja problema zapišemo enakost za generator g:
g=3r=3√(So/pi)
Poznavanje formule za r in g, izračunaj višino h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Našli smo vse potrebne parametre. Zdaj je čas, da jih vključite v formulo za V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Še vedno zamenjatiosnovna površina So in izračunajte vrednost prostornine: V=119,75 cm3.
