Ravninske enačbe. Kot med dvema ravninama

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Ravnina, skupaj s točko in ravno črto, je osnovni geometrijski element. Z njegovo uporabo se gradijo številne figure v prostorski geometriji. V tem članku bomo podrobneje obravnavali vprašanje, kako najti kot med dvema ravninama.

koncept

Preden začnete govoriti o kotu med dvema ravninama, morate dobro razumeti, o katerem elementu v geometriji govorimo. Razumimo terminologijo. Ravnina je neskončna zbirka točk v prostoru, s povezovanjem katerih dobimo vektorje. Slednji bo pravokoten na en vektor. Običajno se imenuje normala na ravnino.

Zgornja slika prikazuje ravnino in dva normalna vektorja nanjo. Vidimo, da oba vektorja ležita na isti ravni črti. Kot med njima je 180o.

enačbe

Kot med dvema ravninama je mogoče določiti, če je znana matematična enačba obravnavanega geometrijskega elementa. Obstaja več vrst takšnih enačb,katerih imena so navedena spodaj:

• splošna vrsta;
• vektor;
• v segmentih.

Te tri vrste so najprimernejše za reševanje različnih vrst težav, zato se najpogosteje uporabljajo.

Splošna enačba tipa izgleda takole:

Ax + By + Cz + D=0.

Tukaj so x, y, z koordinate poljubne točke, ki pripada dani ravnini. Parametri A, B, C in D so številke. Priročnost tega zapisa je v tem, da so števila A, B, C koordinate vektorja, normalnega na ravnino.

Vektorsko obliko ravnine lahko predstavimo na naslednji način:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Tukaj (a₂, b₂, c₂) in (a ₁, b₁, c₁) - parametri dveh koordinatnih vektorjev, ki pripadata obravnavani ravnini. Točka (x₀, y₀, z_{0) prav tako leži v tej ravnini. Parametra α in β imata lahko neodvisne in poljubne vrednosti.}

Nazadnje je enačba ravnine v segmentih predstavljena v naslednji matematični obliki:

x/p + y/q + z/l=1.

Tukaj so p, q, l določene številke (vključno z negativnimi). Ta vrsta enačbe je uporabna, kadar je treba ravnino upodobiti v pravokotnem koordinatnem sistemu, saj številke p, q, l prikazujejo presečišča z osmi x, y in zletalo.

Upoštevajte, da lahko vsako vrsto enačbe pretvorite v katero koli drugo z uporabo preprostih matematičnih operacij.

Formula za kot med dvema ravninama

Sedaj upoštevajte naslednji odtenek. V tridimenzionalnem prostoru se lahko dve ravnini nahajata le na dva načina. Ali sekajo ali bodi vzporedna. Med dvema ravninama je kot tisti, ki se nahaja med njunima vodilnima vektorjema (normalno). Sekajoča se 2 vektorja tvorita 2 kota (ostra in topa v splošnem primeru). Kot med ravninama se šteje za akutnega. Razmislite o enačbi.

Formula za kot med dvema ravninama je:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Lahko je uganiti, da je ta izraz neposredna posledica skalarnega produkta normalnih vektorjev n₁¯ in n₂ ¯ za obravnavane ravnine. Modul pik produkta v števcu kaže, da bo kot θ vzel samo vrednosti od 0^o do 90^{o. Zmnožek modulov normalnih vektorjev v imenovalcu pomeni zmnožek njihovih dolžin.}

Upoštevajte, da če je (n₁¯n_{2¯)=0, se ravnine sekata pod pravim kotom.}

Primer težave

Ko smo ugotovili, kaj se imenuje kot med dvema ravninama, bomo rešili naslednji problem. Kot primer. Torej je treba izračunati kot med takšnimi ravninami:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Za rešitev težave morate poznati vektorje smeri ravnin. Za prvo ravnino je normalni vektor: n₁¯=(2, -3, 0). Da bi našli vektor normale druge ravnine, je treba vektorje pomnožiti za parametroma α in β. Rezultat je vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Za določitev kota θ uporabimo formulo iz prejšnjega odstavka. Dobimo:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Izračunani kot v radianih ustreza 31,26^o. Tako se ravnine iz pogoja problema sekajo pod kotom 31, 26^o.