Širok razpon relacij na primeru množic spremlja veliko število konceptov, začenši z njihovimi definicijami in konča z analitično analizo paradoksov. Raznolikost konceptov, obravnavanih v članku o setu, je neskončna. Čeprav, ko govorimo o dvojnih vrstah, to pomeni binarne odnose med več vrednostmi. In tudi med predmeti ali stavki.
Praviloma so binarne relacije označene s simbolom R, torej če je xRx za katero koli vrednost x iz polja R, se takšna lastnost imenuje refleksivna, v kateri sta x in x sprejeta miselna predmeta, in R služi kot znak ali drugačna oblika odnosa med posamezniki. Hkrati, če izrazite xRy® ali yRx, potem to kaže na stanje simetrije, kjer je ® implikacijski znak, podoben združitvi "če … potem … ". In končno, dekodiranje napis (xRy Ùy Rz) ®xRz govori o prehodnem razmerju, znak Ù pa je veznik.
Binarna relacija, ki je refleksivna, simetrična in tranzitivna, se imenuje ekvivalenčna relacija. Relacija f je funkcija in iz Î f in Î f izhaja enakost y=z. Preprosto binarno funkcijo je mogoče enostavno uporabitina dva preprosta argumenta v določenem vrstnem redu in le v tem primeru mu daje pomen, usmerjen na ta dva izraza, vzeta v določenem primeru.
Moramo reči, da f preslika x v y,
če je f funkcija z obsegom x in obsegom y. Vendar, ko f ekstrapolira x na y in y Í z, to povzroči, da f prikaže x v z. Preprost primer: če je f(x)=2x resničen za katero koli celo število x, potem naj bi f preslikal predpisani niz vseh znanih celih števil v nabor istih celih števil, tokrat pa sodi. Kot že omenjeno, so binarne relacije, ki so refleksivne, simetrične in tranzitivne, ekvivalentne relacije.
Na podlagi zgoraj navedenega so ekvivalentna razmerja binarnih odnosov določena z lastnostmi:
- razmerje refleksivnosti (M ~ N);
- simetrije - če je enakost M ~ N, potem bo N ~ M;
- tranzitivnost - če dve enakosti M ~ N in N ~ P, potem kot rezultat M ~ P.
Oglejmo si deklarirane lastnosti binarnih odnosov podrobneje. Refleksivnost je ena od značilnosti določenih povezav, kjer je vsak element preučevane množice v dani enakosti samemu sebi. Na primer, med številkama a=c in a³ c obstajajo refleksivne povezave, saj vedno a=a, c=c, a³ a, c³ c. Hkrati je relacija neenakosti a>c antirefleksivna zaradi nemožnosti obstoja neenakosti a>a. Aksiom te lastnosti je kodiran z znaki: aRc®aRa Ù cRc, tukaj simbol ® pomeni besedo "vključuje" (ali "implicira"), znak Ù pa je zveza "in" (ali veznik). Iz te izjave sledi, da če je sodba aRc resnična, sta resnična tudi izraza aRa in cRc.
Simetrija pomeni prisotnost razmerja, tudi če se mentalni objekti izmenjujejo, to pomeni, da pri simetričnem razmerju preureditev objektov ne vodi v preobrazbo tipa "binarni odnosi". Na primer, razmerje enakosti a=c je simetrično zaradi enakovrednosti razmerja c=a; tudi predlog a¹c je enak, saj ustreza povezavi z¹a.
Tranzitivna množica je lastnost, ki izpolnjuje naslednjo zahtevo: y н x, z н y ® z н x, kjer je ® znak, ki nadomešča besede: "če …, potem …". Formula se verbalno bere takole: "Če je y odvisno od x, z pripada y, potem je z odvisno tudi od x".
