Pri proučevanju lastnosti kvadratne enačbe je bila postavljena omejitev – za diskriminanta, manjšo od nič, ni rešitve. Takoj je bilo določeno, da govorimo o nizu realnih številk. Radovedni um matematika bo zanimal - kaj je skrivnost v klavzuli o realnih vrednostih?
Sčasoma so matematiki uvedli koncept kompleksnih števil, kjer se pogojna vrednost drugega korena iz minus ena vzame kot enota.
Zgodovinsko ozadje
Matematična teorija se razvija zaporedno, od preprostega do zapletenega. Ugotovimo, kako je nastal koncept, imenovan "kompleksno število", in zakaj je potreben.
Od nekdaj je bila osnova matematike običajen račun. Raziskovalci so poznali le naravni nabor vrednot. Seštevanje in odštevanje sta bila enostavna. Ker so gospodarski odnosi postali bolj zapleteni, se je namesto seštevanja istih vrednosti začelo uporabljati množenje. Obstaja obratna operacija zamnoženje - deljenje.
Koncept naravnega števila je omejil uporabo aritmetičnih operacij. Nemogoče je rešiti vse težave z delitvijo na množici celih vrednosti. Delo z ulomki je najprej pripeljalo do koncepta racionalnih vrednosti, nato pa do iracionalnih vrednosti. Če je za racionalno mogoče navesti natančno lokacijo točke na črti, potem za iracionalno takšno točko ni mogoče navesti. Interval lahko le približate. Združenje racionalnih in iracionalnih števil je tvorilo realno množico, ki jo je mogoče predstaviti kot določeno črto z danim merilom. Vsak korak vzdolž črte je naravno število, med njimi pa so racionalne in iracionalne vrednosti.
Začelo se je obdobje teoretične matematike. Razvoj astronomije, mehanike, fizike je zahteval reševanje vedno bolj zapletenih enačb. Na splošno so bili najdeni koreni kvadratne enačbe. Pri reševanju kompleksnejšega kubičnega polinoma so znanstveniki naleteli na protislovje. Koncept kubičnega korena iz negativa je smiseln, toda za kvadratni koren se dobi negotovost. Poleg tega je kvadratna enačba le poseben primer kubične enačbe.
Leta 1545 je Italijan J. Cardano predlagal uvedbo koncepta namišljenega števila.
To število je drugi koren minus ena. Izraz kompleksno število se je dokončno oblikoval šele tristo let pozneje, v delih slavnega matematika Gaussa. Predlagal je formalno razširitev vseh zakonov algebre na imaginarno število. Prava linija je bila razširjena naletala. Svet je večji.
Osnovni koncepti
Prikličite številne funkcije, ki imajo omejitve glede realnega nabora:
- y=arcsin(x), definiran med negativnim in pozitivnim 1.
- y=ln(x), decimalni logaritem je smiseln s pozitivnimi argumenti.
- kvadratni koren y=√x, izračunan samo za x ≧ 0.
Če označujemo i=√(-1), uvedemo tak koncept kot imaginarno število, to bo odstranilo vse omejitve iz domene definicije zgornjih funkcij. Izrazi, kot so y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5), so smiselni v nekem prostoru kompleksnih števil.
Algebraično obliko lahko zapišemo kot izraz z=x + i×y na množici realnih vrednosti x in y in i2 =-1.
Nov koncept odpravlja vse omejitve pri uporabi katere koli algebraične funkcije in je podoben grafu ravne črte v koordinatah realnih in namišljenih vrednosti.
Zapleteno letalo
Geometrijska oblika kompleksnih števil nam omogoča vizualno predstavitev številnih njihovih lastnosti. Na osi Re(z) označimo realne vrednosti x, na Im(z) - imaginarne vrednosti y, nato bo točka z na ravnini prikazala zahtevano kompleksno vrednost.
Definicije:
- Re(z) - realna os.
- Im(z) - pomeni imaginarno os.
- z - pogojna točka kompleksnega števila.
- Kliče se številčna vrednost dolžine vektorja od nič do zmodul.
- Realna in namišljena os delita ravnino na četrtine. S pozitivno vrednostjo koordinat - I četrt. Ko je argument realne osi manjši od 0, imaginarna os pa večja od 0 - II četrtletje. Ko so koordinate negativne - III četrtletje. Zadnje, četrto četrtletje vsebuje veliko pozitivnih realnih vrednosti in negativnih namišljenih vrednosti.
Tako lahko na ravnini s koordinatnimi vrednostmi x in y vedno vizualiziramo točko kompleksnega števila. Znak i je uveden, da loči pravi del od namišljenega.
Lastnosti
- Ko je vrednost imaginarnega argumenta nič, dobimo samo število (z=x), ki se nahaja na realni osi in pripada realnemu nizu.
- Poseben primer, ko vrednost realnega argumenta postane nič, izraz z=i×y ustreza lokaciji točke na imaginarni osi.
- Splošna oblika z=x + i×y bo za vrednosti argumentov, ki niso nič. Označuje lokacijo točke, ki označuje kompleksno število v eni od četrtin.
trigonometrični zapis
Prikličite polarni koordinatni sistem in definicijo trigonometričnih funkcij sin in cos. Očitno je, da je s pomočjo teh funkcij mogoče opisati lokacijo katere koli točke na ravnini. Za to je dovolj vedeti dolžino polarnega žarka in kot naklona na realno os.
Definicija. Vnos v obliki ∣z ∣, pomnožen z vsoto trigonometričnih funkcij cos(ϴ) in imaginarnega dela i ×sin(ϴ), se imenuje trigonometrično kompleksno število. Tukaj je oznaka kot naklona na realno os
ϴ=arg(z) in r=∣z∣, dolžina žarka.
Iz definicije in lastnosti trigonometričnih funkcij sledi zelo pomembna Moivreova formula:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
S to formulo je priročno rešiti številne sisteme enačb, ki vsebujejo trigonometrične funkcije. Še posebej, ko se pojavi problem dviga na moč.
Modul in faza
Za dokončanje opisa kompleksnega niza predlagamo dve pomembni definiciji.
Poznavanje Pitagorejskega izreka je enostavno izračunati dolžino žarka v polarnem koordinatnem sistemu.
r=∣z∣=√(x2 + y2), tak zapis na kompleksnem prostoru se imenuje " modul" in označuje razdaljo od 0 do točke na ravnini.
Kot naklona kompleksnega žarka do realne črte ϴ se običajno imenuje faza.
Definicija kaže, da sta resnični in namišljeni deli opisani s cikličnimi funkcijami. In sicer:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Nasprotno je faza povezana z algebrskimi vrednostmi preko formule:
ϴ=arctan(x / y) + µ, popravek µ je uveden, da se upošteva periodičnost geometrijskih funkcij.
Eulerjeva formula
Matematiki pogosto uporabljajo eksponentno obliko. Kompleksne ravnine so zapisane kot izrazi
z=r × ei×ϴ , kar sledi iz Eulerjeve formule.
Ta zapis se pogosto uporablja za praktično izračun fizičnih veličin. Oblika predstavitve v obrazcuEksponentna kompleksna števila je še posebej priročna za inženirske izračune, kjer je treba izračunati vezja s sinusoidnimi tokovi in je treba poznati vrednost integralov funkcij z dano obdobjem. Sami izračuni služijo kot orodje pri načrtovanju različnih strojev in mehanizmov.
Določite operacije
Kot že omenjeno, vsi algebraični zakoni dela z osnovnimi matematičnimi funkcijami veljajo za kompleksna števila.
Operacija vsote
Pri dodajanju kompleksnih vrednosti se dodajo tudi njihovi resnični in namišljeni deli.
z=z1 + z2, kjer je z1 in z2 - splošna kompleksna števila. S preoblikovanjem izraza, potem ko odpremo oklepaje in poenostavimo zapis, dobimo pravi argument x=(x1 + x2), namišljeni argument y=(y 1 + y2).
Na grafu je videti kot seštevanje dveh vektorjev v skladu z dobro znanim pravilom paralelograma.
operacija odštevanja
Šteje se kot poseben primer seštevanja, ko je eno število pozitivno, drugo negativno, torej se nahaja v zrcalni četrtini. Algebraični zapis je videti kot razlika med resničnimi in namišljenimi deli.
z=z1 - z2 ali, ob upoštevanju vrednosti argumentov, podobno kot pri seštevanju operacijo dobimo za realne vrednosti x=(x1 - x2) in imaginarni y=(y1- y2).
Množenje na kompleksni ravnini
S pomočjo pravil za delo s polinomi izpeljemo formulorešiti kompleksna števila.
Upoštevajte splošna algebraična pravila z=z1×z2, opišite vsak argument in navedite podobne. Resnični in namišljeni deli se lahko zapišejo takole:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Izgleda lepše, če uporabimo eksponentna kompleksna števila.
Izraz je videti takole: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Natančneje, moduli se pomnožijo in faze dodajo.
Divizija
Ko upoštevamo operacijo deljenja kot obratno množenje, dobimo preprost izraz v eksponentnem zapisu. Deljenje vrednosti z1 z z2 je rezultat delitve njihovih modulov in fazne razlike. Formalno je pri uporabi eksponentne oblike kompleksnih števil videti takole:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
V obliki algebrskega zapisa je operacija deljenja številk kompleksne ravnine zapisana nekoliko bolj zapleteno:
z=z1 / z2.
Z opisom argumentov in izvajanjem polinomskih transformacij je enostavno pridobiti vrednostix=x1 × x2 + y1 × y2oziroma y=x2 × y1 - x1 × y2 pa je znotraj opisanega prostora ta izraz smiseln, če z2 ≠ 0.
Izvlecite koren
Vse zgoraj našteto je mogoče uporabiti pri definiranju kompleksnejših algebrskih funkcij - dvig na poljubno potenco in obratno nanjo - ekstrahiranje korena.
Z uporabo splošnega koncepta dviga na potenco n dobimo definicijo:
zn =(r × eiϴ).
Z uporabo skupnih lastnosti prepiši kot:
zn =rn × eiϴ.
Dobili smo preprosto formulo za dvig kompleksnega števila na potence.
Iz definicije stopnje dobimo zelo pomembno posledico. Soda moč imaginarne enote je vedno 1. Vsaka liha moč imaginarne enote je vedno -1.
Sedaj pa preučimo inverzno funkcijo - ekstrahiranje korena.
Za lažji zapis vzemimo n=2. Kvadratni koren w kompleksne vrednosti z na kompleksni ravnini C se šteje za izraz z=±, veljaven za kateri koli realni argument, večji ali enak nič. Za w ≦ 0 ni rešitve.
Oglejmo si najpreprostejšo kvadratno enačbo z2 =1. Z uporabo kompleksnih številskih formul prepišite r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Iz zapisa je razvidno, da je r2 =1 in ϴ=0, zato imamo enolično rešitev enako 1. Toda to je v nasprotju s pojmom, da z=-1 ustreza tudi definiciji kvadratnega korena.
Ugotovimo, česa ne upoštevamo. Če se spomnimo trigonometričnega zapisa, potem obnovimo izjavo - s periodično spremembo faze ϴ se kompleksno število ne spremeni. Naj p označuje vrednost obdobja, potem imamo r2 × ei2ϴ =ei(0+p), od koder je 2ϴ=0 + p ali ϴ=p / 2. Zato je ei0 =1 in eip/2 =-1. Dobili smo drugo rešitev, ki ustreza splošnemu razumevanju kvadratnega korena.
Torej, da bi našli poljuben koren kompleksnega števila, bomo sledili postopku.
- Napišite eksponentno obliko w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k je poljubno celo število.
- Želeno število je predstavljeno tudi v Eulerjevi obliki z=r × eiϴ.
- Uporabite splošno definicijo funkcije ekstrakcije korena r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Iz splošnih lastnosti enakosti modulov in argumentov zapišemo rn =∣w∣ in nϴ=arg (w) + p×k.
- Končni zapis korena kompleksnega števila je opisan s formulo z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Opomba. Vrednost ∣w∣ po definicijije pozitivno realno število, zato je koren katere koli stopnje smiseln.
Polje in konjugacija
Za zaključek podajamo dve pomembni definiciji, ki sta malo pomembni za reševanje aplikativnih problemov s kompleksnimi števili, a sta bistveni za nadaljnji razvoj matematične teorije.
Rečeno je, da izrazi za seštevanje in množenje tvorijo polje, če izpolnjujejo aksiome za kateri koli element kompleksne ravnine z:
- Kompleksna vsota se ne spremeni zaradi spreminjanja mest kompleksnih izrazov.
- Izjava je resnična - v kompleksnem izrazu je mogoče katero koli vsoto dveh števil nadomestiti z njihovo vrednostjo.
- Obstaja nevtralna vrednost 0, za katero velja z + 0=0 + z=z.
- Za kateri koli z obstaja nasprotje - z, katerega dodatek daje nič.
- Pri menjavi mest kompleksnih dejavnikov se kompleksni izdelek ne spremeni.
- Množenje poljubnih dveh števil je mogoče zamenjati z njuno vrednostjo.
- Obstaja nevtralna vrednost 1, množenje s katero ne spremeni kompleksnega števila.
- Za vsak z ≠ 0 obstaja inverzna vrednost z-1, ki se pomnoži z 1.
- Množenje vsote dveh števil s tretjino je enakovredno operaciji množenja vsakega od njiju s tem številom in seštevanja rezultatov.
- 0 ≠ 1.
Števili z1 =x + i×y in z2 =x - i×y se imenujejo konjugati.
Izrek. Za konjugacijo velja trditev:
- Konjugacija vsote je enaka vsoti konjugiranih elementov.
- Konjugat izdelka jeprodukt konjugacij.
- Konjugacija konjugacije je enaka številu samemu.
V splošni algebri se takšne lastnosti imenujejo avtomorfizmi polja.
Primeri
Upoštevajoč podana pravila in formule kompleksnih števil, lahko z njimi preprosto delujete.
Upoštevajmo najpreprostejše primere.
Problem 1. Z enačbo 3y +5 x i=15 - 7i določite x in y.
Odločitev. Spomnimo se definicije kompleksnih enakosti, potem je 3y=15, 5x=-7. Zato je x=-7 / 5, y=5.
Naloga 2. Izračunajte vrednosti 2 + i28 in 1 + i135.
Odločitev. Očitno je 28 sodo število, iz posledice definicije kompleksnega števila na potencu imamo i28 =1, kar pomeni, da je izraz 2 + i 28 =3. Druga vrednost, i135 =-1, nato 1 + i135 =0.
Naloga 3. Izračunajte zmnožek vrednosti 2 + 5i in 4 + 3i.
Odločitev. Iz splošnih lastnosti množenja kompleksnih števil dobimo (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nova vrednost bo -7 + 26i.
Naloga 4. Izračunajte korenine enačbe z3 =-i.
Odločitev. Obstaja več načinov za iskanje kompleksnega števila. Razmislimo o enem od možnih. Po definiciji je ∣ - i∣=1, faza za -i je -p / 4. Prvotno enačbo lahko prepišemo kot r3ei3ϴ =e-p/4+pk, od koder je z=e-p / 12 + pk/3, za katero koli celo število k.
Nabor rešitev ima obliko (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Zakaj potrebujemo kompleksna števila
Zgodovina pozna veliko primerov, ko znanstveniki, ki delajo na teoriji, niti ne razmišljajo o praktični uporabi svojih rezultatov. Matematika je najprej igra uma, strogo upoštevanje vzročno-posledičnih odnosov. Skoraj vse matematične konstrukcije so reducirane na reševanje integralnih in diferencialnih enačb, te pa z nekaj približevanja rešujemo z iskanjem korenin polinomov. Tu se prvič srečamo s paradoksom namišljenih števil.
Znanstveniki naravoslovci, ki rešujejo povsem praktične probleme, se zatekajo k rešitvam različnih enačb, odkrivajo matematične paradokse. Razlaga teh paradoksov vodi do popolnoma neverjetnih odkritij. Eden takšnih primerov je dvojna narava elektromagnetnih valov. Kompleksna števila igrajo ključno vlogo pri razumevanju njihovih lastnosti.
To pa je našlo praktično uporabo v optiki, radijski elektroniki, energiji in mnogih drugih tehnoloških področjih. Še en primer, veliko težje razumeti fizične pojave. Antimaterija je bila predvidena na konici peresa. In šele mnogo let pozneje se začnejo poskusi fizične sintetizacije.
Ne mislite, da so samo v fiziki takšne situacije. Nič manj zanimivih odkritij ni v divjih živalih, pri sintezi makromolekul, med študijem umetne inteligence. In vse je po zaslugiširitev naše zavesti, odmik od preprostega seštevanja in odštevanja naravnih vrednosti.
