V matematiki so inverzne funkcije medsebojno ustrezni izrazi, ki se spreminjajo drug v drugega. Da bi razumeli, kaj to pomeni, je vredno razmisliti o konkretnem primeru. Recimo, da imamo y=cos(x). Če iz argumenta vzamemo kosinus, potem lahko najdemo vrednost y. Očitno morate za to imeti x. Kaj pa, če je igralec sprva dan? Tu pride do bistva zadeve. Za rešitev problema je potrebna uporaba inverzne funkcije. V našem primeru je to lok kosinus.
Po vseh transformacijah dobimo: x=arccos(y).
To pomeni, da za iskanje funkcije, inverzne dani, je dovolj, da iz nje izrazimo argument. Toda to deluje samo, če bo rezultat imel eno samo vrednost (več o tem kasneje).
Na splošno lahko to dejstvo zapišemo takole: f(x)=y, g(y)=x.
Definicija
Naj je f funkcija, katere domena je množica X, inobseg vrednosti je niz Y. Potem, če obstaja g, katerega domene opravljajo nasprotne naloge, je f reverzibilen.
Poleg tega je v tem primeru g edinstven, kar pomeni, da obstaja točno ena funkcija, ki izpolnjuje to lastnost (ni več, ne manj). Potem se imenuje inverzna funkcija, pisno pa je označena takole: g(x)=f -1(x).
Z drugimi besedami, jih lahko gledamo kot binarno relacijo. Reverzibilnost se zgodi samo, če en element množice ustreza eni vrednosti od druge.
Ne obstaja vedno inverzna funkcija. Za to mora vsak element y є Y ustrezati največ enemu x ê X. Potem se f imenuje ena proti ena ali injekcija. Če f -1 pripada Y, potem mora vsak element tega niza ustrezati nekemu x ∈ X. Funkcije s to lastnostjo se imenujejo surjekcije. Po definiciji velja, če je Y slika f, vendar to ni vedno tako. Da bi bila funkcija inverzna, mora biti tako injekcija kot surjekcija. Takšni izrazi se imenujejo bijekcije.
Primer: kvadratne in korenske funkcije
Funkcija je definirana na [0, ∞) in podana s formulo f (x)=x2.
Potem ni injektiven, ker vsak možen izid Y (razen 0) ustreza dvema različnima X-jema - enemu pozitivnemu in enemu negativnemu, zato ni reverzibilen. V tem primeru iz prejetih podatkov ne bo mogoče pridobiti začetnih podatkov, kar je v nasprotjuteorije. Ne bo injekcijsko.
Če je domena definicije pogojno omejena na nenegativne vrednosti, bo vse delovalo kot prej. Potem je bijektivna in zato inverzibilna. Inverzna funkcija se tukaj imenuje pozitivna.
Opomba ob vpisu
Naj oznaka f -1 (x) lahko osebo zmede, vendar se v nobenem primeru ne sme uporabljati takole: (f (x)) - 1 . Nanaša se na popolnoma drugačen matematični koncept in nima nič opraviti z inverzno funkcijo.
Kot splošno pravilo nekateri avtorji uporabljajo izraze, kot je sin-1 (x).
Vendar drugi matematiki menijo, da lahko to povzroči zmedo. Da bi se izognili takšnim težavam, so inverzne trigonometrične funkcije pogosto označene s predpono "lok" (iz latinskega loka). V našem primeru govorimo o arksinusu. Občasno lahko vidite tudi predpono "ar" ali "inv" za nekatere druge funkcije.
