Polinom ali polinom - ena od osnovnih algebrskih struktur, ki jo najdemo v šoli in višji matematiki. Preučevanje polinoma je najpomembnejša tema v tečaju algebre, saj so po eni strani polinomi v primerjavi z drugimi vrstami funkcij precej preprosti, po drugi strani pa se pogosto uporabljajo pri reševanju problemov matematične analize.. Kaj je torej polinom?
Definicija
Definicijo pojma polinom lahko podamo s konceptom monoma ali monoma.
Monom je izraz v obliki cx1i1x2 i2 …x in. Tukaj s je konstanta, x1, x2, … x - spremenljivke, i1, i2, … v - eksponenti spremenljivk. Potem je polinom katera koli končna vsota monomov.
Če želite razumeti, kaj je polinom, si lahko ogledate posebne primere.
Kvadratni trinom, ki je bil podrobno obravnavan v tečaju matematike 8. razreda, je polinom: ax2+bx+c.
Polinom z dvema spremenljivkama bi lahko izgledal takole: x2-xy+y2. Takšnepolinom se imenuje tudi nepopoln kvadrat razlike med x in y.
Polinomske klasifikacije
Polinomska stopnja
Za vsak monom v polinomu poiščite vsoto eksponentov i1+i2+…+in. Največja vsota se imenuje eksponent polinoma, monom, ki ustreza tej vsoti, pa se imenuje najvišji člen.
Mimogrede, vsako konstanto lahko štejemo za polinom stopnje nič.
reducirani in nereducirani polinomi
Če je koeficient c enak 1 za najvišji člen, je polinom podan, sicer pa ne.
Na primer, izraz x2+2x+1 je reduciran polinom, 2x2+2x+1 pa ni reduciran.
Homogeni in nehomogeni polinomi
Če so stopnje vseh članov polinoma enake, pravimo, da je tak polinom homogen. Vsi drugi polinomi veljajo za nehomogene.
Homogeni polinomi: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeno: x+1, x2+y.
Obstajajo posebna imena za polinom dveh in treh členov: binom oziroma trinom.
Polinomi ene spremenljivke so razporejeni v ločeno kategorijo.
Uporaba polinoma ene spremenljivke
Polinomi ene spremenljivke približajo dobro neprekinjene funkcije različne kompleksnosti iz enega argumenta.
Dejstvo je, da lahko takšne polinome obravnavamo kot delne vsote potencialne vrste, neprekinjeno funkcijo pa lahko predstavimo kot vrsto s poljubno majhno napako. Razširitvene vrste funkcije se imenujejo Taylorjeve vrste in njihovedelne vsote v obliki polinomov - Taylorjev polinom.
Grafično preučevanje obnašanja funkcije s približevanjem nekega polinoma je pogosto lažje kot raziskovanje iste funkcije neposredno ali z uporabo serije.
Izvode polinomov je enostavno iskati. Za iskanje korenin polinomov stopnje 4 in nižje obstajajo že pripravljene formule, za delo z višjimi stopnjami pa se uporabljajo zelo natančni približni algoritmi.
Obstaja tudi posplošitev opisanih polinomov za funkcije več spremenljivk.
Newtonov binom
Znani polinomi so Newtonovi polinomi, ki so jih izpeljali znanstveniki, da bi našli koeficiente izraza (x + y).
Dovolj je pogledati prvih nekaj potenk binomske razgradnje, da se prepričamo, da formula ni trivialna:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Za vsak koeficient obstaja izraz, ki vam omogoča, da ga izračunate. Vendar bi bilo pomnjenje okornih formul in vsakokratno izvajanje potrebnih aritmetičnih operacij izjemno neprijetno za tiste matematike, ki pogosto potrebujejo takšne razširitve. Pascalov trikotnik jim je olajšal življenje.
Slika je zgrajena po naslednjem principu. Na vrhu trikotnika je napisana 1, v vsaki naslednji vrstici pa postane še ena številka, na robovih je postavljena 1, sredina vrstice pa je napolnjena z vsoti dveh sosednjih števil iz prejšnje.
Ko pogledaš ilustracijo, postane vse jasno.
Seveda uporaba polinomov v matematiki ni omejena na podane primere, najbolj znane.
