Leta 1900 je eden največjih znanstvenikov prejšnjega stoletja David Hilbert sestavil seznam 23 nerešenih problemov v matematiki. Delo na njih je imelo izjemen vpliv na razvoj tega področja človeškega znanja. 100 let pozneje je Clayjev matematični inštitut predstavil seznam 7 problemov, znanih kot problemi tisočletja. Vsakemu od njih je bila ponujena nagrada v višini 1 milijona dolarjev.
Edina težava, ki se je pojavila med obema seznamoma ugank, ki preganjata znanstvenike že več kot eno stoletje, je bila Riemannova hipoteza. Še vedno čaka na svojo odločitev.
Kratek biografski zapis
Georg Friedrich Bernhard Riemann se je rodil leta 1826 v Hannovru v veliki družini revnega župnika in živel le 39 let. Uspelo mu je objaviti 10 del. Vendar je Riemann že za časa svojega življenja veljal za naslednika svojega učitelja Johanna Gaussa. Mladi znanstvenik je pri 25 letih zagovarjal disertacijo "Osnove teorije funkcij kompleksne spremenljivke." Kasneje je oblikovalnjegova slavna hipoteza.
Prva števila
Matematika se je pojavila, ko se je človek naučil šteti. Hkrati so se pojavile prve ideje o številkah, ki so jih kasneje poskušali razvrstiti. Za nekatere od njih je bilo opaženo, da imajo skupne lastnosti. Zlasti med naravnimi števili, torej tistimi, ki so se uporabljala pri štetju (številčenju) ali označevanju števila predmetov, je bila razločena skupina, ki je bila deljiva samo z eno in zase. Imenujejo se preprosti. Eleganten dokaz izreka o neskončnosti množice takšnih števil je podal Evklid v svojih Elementih. Trenutno se njihovo iskanje nadaljuje. Zlasti največje že znano število je 274 207 281 – 1.
Eulerjeva formula
Evklid je poleg koncepta neskončnosti množice praštevil določil tudi drugi izrek o edini možni razgradnji na prafaktorje. Po njem je vsako pozitivno celo število produkt samo enega niza praštevil. Leta 1737 je veliki nemški matematik Leonhard Euler izrazil prvi Evklidov izrek o neskončnosti kot spodnjo formulo.
Imenuje se zeta funkcija, kjer je s konstanta in p prevzame vse pra vrednosti. Iz nje je neposredno sledila Evklidova izjava o edinstvenosti razširitve.
Riemannova Zeta funkcija
Eulerjeva formula je ob natančnejšem pregledu popolnomapresenetljivo, ker opredeljuje razmerje med praštevili in celimi števili. Navsezadnje se na levi strani pomnoži neskončno veliko izrazov, ki so odvisni samo od praštevil, na desni pa se nahaja vsota, povezana z vsemi pozitivnimi celimi števili.
Riemann je šel dlje od Eulerja. Da bi našel ključ do problema porazdelitve števil, je predlagal opredelitev formule za realne in kompleksne spremenljivke. Prav ona je pozneje prejela ime Riemannove zeta funkcije. Leta 1859 je znanstvenik objavil članek z naslovom "O številu praštevil, ki ne presegajo dane vrednosti", kjer je povzel vse svoje zamisli.
Riemann je predlagal uporabo Eulerjevega niza, ki se konvergira za vsak pravi s>1. Če se ista formula uporabi za kompleks s, potem se niz konvergira za katero koli vrednost te spremenljivke z realnim delom, večjim od 1. Riemann je uporabil analitični postopek nadaljevanja in razširil definicijo zeta(-ov) na vsa kompleksna števila, vendar "vrgel" enoto. Izključena je bila, ker se pri s=1 zeta funkcija poveča v neskončnost.
Praktični smisel
Postavlja se logično vprašanje: zakaj je zeta funkcija, ki je ključna pri Riemannovem delu o ničelni hipotezi, zanimiva in pomembna? Kot veste, trenutno ni ugotovljen preprost vzorec, ki bi opisoval porazdelitev praštevil med naravna števila. Riemannu je uspelo odkriti, da je število pi(x) praštevil, ki ne presegajo x, izraženo v smislu porazdelitve netrivialnih ničel zeta funkcije. Poleg tega je Riemannova hipotezanujen pogoj za dokazovanje časovnih ocen za delovanje nekaterih kriptografskih algoritmov.
Riemannova hipoteza
Ena prvih formulacij tega matematičnega problema, ki do danes ni bila dokazana, zveni takole: netrivialne 0 zeta funkcije so kompleksna števila z realnim delom enakim ½. Z drugimi besedami, nahajajo se na premici Re s=½.
Obstaja tudi posplošena Riemannova hipoteza, ki je ista izjava, vendar za posplošitve zeta funkcij, ki se običajno imenujejo Dirichletove L-funkcije (glej sliko spodaj).
V formuli χ(n) - nekaj številskih znakov (modulo k).
Riemannova izjava velja za tako imenovano ničelno hipotezo, saj je bila preizkušena glede skladnosti z obstoječimi vzorčnimi podatki.
Kot je trdil Riemann
Opomba nemškega matematika je bila prvotno ubesedena precej mimogrede. Dejstvo je, da je takrat znanstvenik nameraval dokazati izrek o porazdelitvi praštevil in v tem kontekstu ta hipoteza ni imela posebnega pomena. Vendar je njegova vloga pri reševanju številnih drugih vprašanj ogromna. Zato mnogi znanstveniki danes priznavajo Riemannovo domnevo kot najpomembnejšo med nedokazanimi matematičnimi problemi.
Kot že omenjeno, popolna Riemannova hipoteza ni potrebna za dokaz porazdelitvenega izreka in je dovolj, da logično utemeljimo, da je realni del katere koli netrivialne ničle zeta funkcije vmed 0 in 1. Iz te lastnosti sledi, da je vsota vseh 0 zeta funkcije, ki se pojavlja v natančni zgornji formuli, končna konstanta. Za velike vrednosti x se lahko v celoti izgubi. Edini član formule, ki ostane enak tudi za zelo velik x, je sam x. Preostali kompleksni členi v primerjavi z njim asimptotično izginejo. Torej se tehtana vsota nagiba k x. To okoliščino lahko štejemo za potrditev resnice izreka o porazdelitvi praštevil. Tako imajo ničle Riemannove zeta funkcije posebno vlogo. Sestoji iz dokazovanja, da takšne vrednosti ne morejo bistveno prispevati k formuli razgradnje.
Spremljevalci Riemanna
Tragična smrt zaradi tuberkuloze temu znanstveniku ni omogočila, da bi svoj program pripeljal do logičnega konca. Vendar ga je prevzel Sh-Zh. de la Vallée Poussin in Jacques Hadamard. Neodvisno drug od drugega sta izpeljala izrek o porazdelitvi praštevil. Hadamard in Poussin sta uspela dokazati, da so vse netrivialne 0 zeta funkcije znotraj kritičnega pasu.
Zahvaljujoč delu teh znanstvenikov se je pojavila nova smer v matematiki - analitična teorija števil. Kasneje so drugi raziskovalci dobili več primitivnejših dokazov izreka, na katerem je delal Riemann. Zlasti Pal Erdős in Atle Selberg sta celo odkrila zelo zapleteno logično verigo, ki to potrjuje, kar ni zahtevalo uporabe kompleksne analize. Vendar pa je na tej točki več pomembnihizreki, vključno s približki številnih funkcij teorije števil. V zvezi s tem novo delo Erdősa in Atleja Selberga praktično ni vplivalo na nič.
Enega najpreprostejših in najlepših dokazov problema je leta 1980 našel Donald Newman. Temeljil je na znamenitem Cauchyjevem izreku.
Ali Riemannova hipoteza ogroža temelje sodobne kriptografije
Šifriranje podatkov je nastalo skupaj s pojavom hieroglifov, natančneje, sami se lahko štejejo za prve kode. Trenutno obstaja celo področje digitalne kriptografije, ki razvija algoritme šifriranja.
Prosta in "polprasta" števila, torej tista, ki so deljiva samo z dvema drugim številoma iz istega razreda, tvorijo osnovo sistema javnih ključev, znanega kot RSA. Ima najširšo uporabo. Zlasti se uporablja pri generiranju elektronskega podpisa. Če govorimo v terminih, ki so dostopni lutkam, Riemannova hipoteza trdi obstoj sistema v porazdelitvi praštevil. Tako se močno zmanjša moč kriptografskih ključev, od katerih je odvisna varnost spletnih transakcij na področju e-poslovanja.
Drugi nerešeni matematični problemi
Članek je vredno zaključiti tako, da nekaj besed posvetite drugim ciljem tisočletja. Ti vključujejo:
- Enakost razredov P in NP. Problem je formuliran na naslednji način: če je pozitiven odgovor na določeno vprašanje preverjen v polinomskem času, potem je res, da je odgovor na to vprašanje samje mogoče hitro najti?
- Hodgeova domneva. Z enostavnimi besedami ga je mogoče formulirati takole: za nekatere vrste projektivnih algebričnih variant (presledkov) so Hodgejevi cikli kombinacije predmetov, ki imajo geometrijsko interpretacijo, to je algebraični cikli.
- Poincaréjeva domneva. To je edini izziv tisočletja, ki je bil doslej dokazan. Po njem mora biti vsak 3-dimenzionalni predmet, ki ima posebne lastnosti 3-dimenzionalne krogle, krogla do deformacije.
- Afirmacija kvantne teorije Yang - Mills. Treba je dokazati, da kvantna teorija, ki so jo predlagali ti znanstveniki za prostor R 4, obstaja in ima 0. masno napako za katero koli preprosto kompaktno merilno skupino G.
- hipoteza Birch-Swinnerton-Dyer. To je še eno vprašanje, povezano s kriptografijo. Dotika se eliptičnih krivulj.
- Problem obstoja in gladkosti rešitev Navier-Stokesovih enačb.
Zdaj poznate Riemannovo hipotezo. Preprosto povedano, oblikovali smo nekatere druge izzive tisočletja. Da se bodo rešili ali pa se bo izkazalo, da rešitve nimajo, je vprašanje časa. Poleg tega je malo verjetno, da bo na to treba čakati predolgo, saj matematika vse bolj uporablja računalniške zmogljivosti. Vendar ni vse podrejeno tehnologiji in najprej sta za reševanje znanstvenih problemov potrebni intuicija in ustvarjalnost.
