Nerešljivi problemi so 7 najbolj zanimivih matematičnih problemov. Vsako od njih so naenkrat predlagali znani znanstveniki, praviloma v obliki hipotez. Več desetletij si matematiki po vsem svetu prebijajo možgane nad svojo rešitvijo. Tisti, ki bodo uspeli, bodo nagrajeni z milijonom ameriških dolarjev, ki jih ponuja Clay Institute.
Zadnja zgodba
Leta 1900 je veliki nemški matematik David Hilbert predstavil seznam 23 problemov.
Raziskave, opravljene za njihovo reševanje, so imele velik vpliv na znanost 20. stoletja. Trenutno je večina od njih prenehala biti skrivnost. Med nerešenimi ali delno rešenimi so bili:
- problem doslednosti aritmetičnih aksiomov;
- splošni zakon vzajemnosti na prostoru poljubnega številskega polja;
- matematična študija fizičnih aksiomov;
- študija kvadratnih oblik za poljubno algebraično številčnokvote;
- problem stroge utemeljitve računske geometrije Fjodorja Schuberta;
- itd.
Neraziskani so: problem razširitve dobro znanega Kroneckerjevega izreka na katero koli algebraično področje racionalnosti in Riemannova hipoteza.
The Clay Institute
To je ime zasebne neprofitne organizacije s sedežem v Cambridgeu v Massachusettsu. Leta 1998 sta jo ustanovila harvardski matematik A. Jeffey in poslovnež L. Clay. Cilj inštituta je popularizacija in razvoj matematičnega znanja. Da bi to dosegla, organizacija podeljuje nagrade znanstvenikom in sponzorjem obetavnih raziskav.
Na začetku 21. stoletja je Clayjev inštitut za matematiko ponudil nagrado tistim, ki rešujejo tako imenovane najtežje nerešljive probleme, njihov seznam pa je poimenoval Problemi nagrade tisočletja. Na Hilbertov seznam je bila vključena samo Riemannova hipoteza.
Izzivi tisočletja
Na seznamu The Clay Institute je prvotno vključen:
- hipoteza Hodgejevega cikla;
- kvantne Yang-Millsove teoretične enačbe;
- Poincaréjeva hipoteza;
- problem enakosti razredov P in NP;
- Riemannova hipoteza;
- Navier-Stokesove enačbe, o obstoju in gladkosti njenih rešitev;
- Problem Birch-Swinnerton-Dyer.
Ti odprti matematični problemi so zelo zanimivi, saj imajo lahko veliko praktičnih izvedb.
Kaj je dokazal Grigory Perelman
Leta 1900 je slavni filozof Henri Poincaré predlagal, da je vsak preprosto povezan kompaktni 3-mestnik brez meja homeomorfen 3-dimenzionalni krogli. Njenega dokaza v splošnem primeru niso našli že stoletje. Šele v letih 2002-2003 je peterburški matematik G. Perelman objavil številne članke z rešitvijo Poincaréjevega problema. Imeli so učinek eksplozije bombe. Leta 2010 je bila hipoteza Poincaréja izključena s seznama "nerešenih problemov" Inštituta Clay, samemu Perelmanu pa je bilo ponujeno, da zaradi njega prejme precejšnje plačilo, kar je slednji zavrnil, ne da bi pojasnil razloge za svojo odločitev.
Najbolj razumljivo razlago tega, kar je ruskemu matematiku uspelo dokazati, je mogoče podati tako, da si predstavljamo, da gumijasti disk potegnejo na krof (torus), nato pa poskušajo potegniti robove njegovega kroga v eno točko. Očitno to ni mogoče. Druga stvar, če naredite ta poskus z žogo. V tem primeru bi bila navidezno tridimenzionalna krogla, ki izhaja iz diska, katerega obseg je hipotetična vrvica potegnila do točke, v razumevanju navadnega človeka tridimenzionalna, v matematičnem smislu pa dvodimenzionalna.
Poincare je predlagal, da je tridimenzionalna krogla edini tridimenzionalni "predmet", katerega površino je mogoče skrčiti na eno točko, Perelman pa je to uspel dokazati. Tako je seznam "nerešljivih problemov" danes sestavljen iz 6 težav.
Yang-Mills teorija
Ta matematični problem so predlagali njegovi avtorji leta 1954. Znanstvena formulacija teorije je naslednja:za vsako preprosto kompaktno merilno skupino obstaja kvantna prostorska teorija, ki sta jo ustvarila Yang in Mills, hkrati pa ima napako nič mase.
Če govorimo v jeziku, razumljivem navadnemu človeku, so interakcije med naravnimi predmeti (delci, telesa, valovi itd.) razdeljene na 4 vrste: elektromagnetne, gravitacijske, šibke in močne. Fiziki že vrsto let poskušajo ustvariti splošno teorijo polja. To bi moralo postati orodje za razlago vseh teh interakcij. Yang-Millsova teorija je matematični jezik, s katerim je bilo mogoče opisati 3 od 4 glavnih naravnih sil. Ne velja za gravitacijo. Zato ni mogoče šteti, da sta Yangu in Millsu uspelo ustvariti teorijo polja.
Poleg tega jih je zaradi nelinearnosti predlaganih enačb izjemno težko rešiti. Za majhne sklopne konstante jih je mogoče približno rešiti v obliki serije teorije motenj. Vendar še ni jasno, kako je mogoče te enačbe rešiti z močno povezavo.
Navier-Stokesove enačbe
Ti izrazi opisujejo procese, kot so zračni tokovi, pretok tekočine in turbulenca. Za nekatere posebne primere so bile že najdene analitične rešitve Navier-Stokesove enačbe, za splošnega pa to doslej še nikomur ni uspelo. Hkrati lahko numerične simulacije za določene vrednosti hitrosti, gostote, tlaka, časa itd. dosežejo odlične rezultate. Ostaja upati, da bo nekdo lahko uporabil Navier-Stokesove enačbe v obratni smerismer, tj. izračunaj parametre z uporabo njih ali dokaži, da ne obstaja metoda rešitve.
Problem Birch-Swinnerton-Dyer
Kategorija "Nerešeni problemi" vključuje tudi hipotezo, ki so jo predlagali britanski znanstveniki z univerze v Cambridgeu. Že pred 2300 leti je starogrški znanstvenik Euclid podal popoln opis rešitev enačbe x2 + y2=z2.
Če za vsako praštevilo preštejemo število točk na krivulji po modulu, dobimo neskončen nabor celih števil. Če jo posebej "prilepite" v 1 funkcijo kompleksne spremenljivke, potem dobite Hasse-Weil zeta funkcijo za krivuljo tretjega reda, označeno s črko L. Vsebuje informacije o obnašanju po modulu vseh praštevil naenkrat.
Brian Birch in Peter Swinnerton-Dyer sta domnevala o eliptičnih krivuljah. Po njej sta struktura in število množice njegovih racionalnih rešitev povezana z obnašanjem L-funkcije pri istovetnosti. Trenutno nedokazana domneva Birch-Swinnerton-Dyer je odvisna od opisa algebrskih enačb 3. stopnje in je edini relativno preprost splošni način za izračun ranga eliptičnih krivulj.
Da bi razumeli praktičen pomen te naloge, je dovolj reči, da v sodobni kriptografiji cel razred asimetričnih sistemov temelji na eliptičnih krivuljah, domači standardi digitalnega podpisa pa temeljijo na njihovi uporabi..
Enakost razredov p in np
Če so preostali izzivi tisočletja zgolj matematični, potem je tarazmerje z dejansko teorijo algoritmov. Problem v zvezi z enakostjo razredov p in np, znan tudi kot Cooke-Levinov problem, lahko v razumljivem jeziku formuliramo na naslednji način. Recimo, da je pozitiven odgovor na določeno vprašanje mogoče preveriti dovolj hitro, torej v polinomskem času (PT). Ali je potem pravilna trditev, da je odgovor nanjo mogoče najti dokaj hitro? Še bolj preprosto se ta problem sliši takole: ali res ni težje preveriti rešitev problema kot najti? Če se kdaj dokaže enakost razredov p in np, je za PV mogoče rešiti vse izbirne probleme. Trenutno mnogi strokovnjaki dvomijo v resničnost te izjave, čeprav ne morejo dokazati nasprotnega.
Riemannova hipoteza
Do leta 1859 ni bil najden noben vzorec, ki bi opisoval, kako so praštevila porazdeljena med naravna števila. Morda je bilo to posledica dejstva, da se je znanost ukvarjala z drugimi vprašanji. Vendar pa so se do sredine 19. stoletja razmere spremenile in postale so ene najpomembnejših, s katerimi se je matematika začela ukvarjati.
Riemannova hipoteza, ki se je pojavila v tem obdobju, je predpostavka, da obstaja določen vzorec v porazdelitvi praštevil.
Danes mnogi sodobni znanstveniki verjamejo, da bo, če bo dokazano, potrebno revidirati številna temeljna načela sodobne kriptografije, ki tvorijo osnovo pomembnega dela mehanizmov elektronskega poslovanja.
Po Riemannovi hipotezi je likporazdelitev praštevil je lahko bistveno drugačna od trenutno predvidene. Dejstvo je, da doslej še ni bil odkrit noben sistem pri porazdelitvi praštevil. Na primer, obstaja problem "dvojčkov", razlika med katerimi je 2. Ti števili sta 11 in 13, 29. Druga praštevila tvorijo grozde. To so 101, 103, 107 itd. Znanstveniki že dolgo sumijo, da takšne skupine obstajajo med zelo velikimi praštevili. Če jih najdemo, bo moč sodobnih kripto ključev vprašljiva.
Hipoteza Hodgejevega cikla
Ta še vedno nerešen problem je bil oblikovan leta 1941. Hodgeova hipoteza nakazuje možnost približevanja oblike katerega koli predmeta z "lepljenjem" enostavnih teles višjih dimenzij. Ta metoda je že dolgo znana in se uspešno uporablja. Ni pa znano, v kolikšni meri je mogoče poenostaviti.
Zdaj veste, kateri nerešljivi problemi obstajajo v tem trenutku. So predmet raziskav na tisoče znanstvenikov po vsem svetu. Ostaja upati, da bodo v bližnji prihodnosti razrešeni, njihova praktična uporaba pa bo pomagala človeštvu vstopiti v nov krog tehnološkega razvoja.
