Za mnoge ljudi je matematična analiza le niz nerazumljivih številk, ikon in definicij, ki so daleč od resničnega življenja. Vendar je svet, v katerem obstajamo, zgrajen na številčnih vzorcih, katerih identifikacija pomaga ne le pri spoznavanju sveta okoli nas in reševanju njegovih zapletenih problemov, temveč tudi pri poenostavitvi vsakodnevnih praktičnih nalog. Kaj matematik misli, ko pravi, da se številsko zaporedje konvergira? O tem bi bilo treba razpravljati podrobneje.
Kaj je neskončno malo?
Predstavljajmo si matrjoške, ki se prilegajo ena v drugo. Njihove velikosti, zapisane v obliki številk, ki se začnejo z največjim in končajo z najmanjšim, tvorijo zaporedje. Če si predstavljate neskončno število tako svetlih figur, bo nastala vrstica fantastično dolga. To je konvergentno številsko zaporedje. In teži k ničli, saj se velikost vsake naslednje gnezdeče, ki se katastrofalno zmanjšuje, postopoma spremeni v nič. Torej je enostavnoje mogoče razložiti: kaj je neskončno malo.
Podoben primer bi bila cesta, ki vodi v daljavo. In vizualne dimenzije avtomobila, ki se vzdolž nje pelje stran od opazovalca, se postopoma krčijo in se spremenijo v brezobličen madež, ki spominja na piko. Tako postane stroj kot predmet, ki se odmika v neznani smeri, neskončno majhen. Parametri določenega telesa nikoli ne bodo enaki nič v dobesednem pomenu besede, ampak se vedno nagibajo k tej vrednosti v končni meji. Zato se to zaporedje spet približa nič.
Izračunaj vse po kapljicah
Predstavljajmo si zdaj svetovno situacijo. Zdravnik je bolniku predpisal jemanje zdravila, začenši z desetimi kapljicami na dan in dodajanjem po dve vsak naslednji dan. Zato je zdravnik predlagal nadaljevanje, dokler ne zmanjka vsebine viale z zdravilom, katere prostornina je 190 kapljic. Iz navedenega sledi, da bo število takih, razporejenih po dnevih, naslednje številčne serije: 10, 12, 14 in tako naprej.
Kako ugotoviti čas za dokončanje celotnega tečaja in število članov zaporedja? Tu je seveda mogoče na primitiven način prešteti kapljice. Toda glede na vzorec je veliko lažje uporabiti formulo za vsoto aritmetične progresije s korakom d=2. In s to metodo ugotovite, da je število članov številske serije 10. V tem primeru, a10=28. Številka penisa označuje število dni jemanja zdravila, 28 pa ustreza številu kapljic, ki jih mora bolnikuporabite zadnji dan. Ali se to zaporedje konvergira? Ne, ker kljub dejstvu, da je omejena na 10 od spodaj in 28 od zgoraj, taka vrsta številk za razliko od prejšnjih primerov nima omejitve.
Kakšna je razlika?
Poskušajmo zdaj razjasniti: kdaj se izkaže, da je niz številk konvergentno zaporedje. Tovrstna definicija, kot je mogoče sklepati iz zgornjega, je neposredno povezana s konceptom končne meje, katere prisotnost razkriva bistvo vprašanja. Kakšna je torej temeljna razlika med prej navedenimi primeri? In zakaj v zadnjem od njih števila 28 ni mogoče šteti za mejo številske serije X =10 + 2(n-1)?
Za razjasnitev tega vprašanja razmislite o drugem zaporedju, podanem s spodnjo formulo, kjer n pripada množici naravnih števil.
Ta skupnost članov je niz navadnih ulomkov, katerih števec je 1, imenovalec pa se nenehno povečuje: 1, ½ …
Poleg tega se vsak zaporedni predstavnik te serije glede na lokacijo na številski premici vedno bolj približuje 0. In to pomeni, da se pojavi takšna soseska, kjer se točke združijo okoli ničle, kar je meja. In bližje kot so ji, bolj gosta postaja njihova koncentracija na številski premici. In razdalja med njimi se katastrofalno zmanjša in se spremeni v neskončno majhno. To je znak, da se zaporedje zbližuje.
PodobnoTako so večbarvni pravokotniki, prikazani na sliki, ko se odmikajo v prostoru, vizualno bolj natrpani, v hipotetični meji se spremenijo v zanemarljive.
Neskončno velika zaporedja
Ko smo analizirali definicijo konvergentnega zaporedja, pojdimo na nasprotne primere. Mnogi od njih so človeku znani že od antičnih časov. Najenostavnejše različice divergentnih zaporedij so niz naravnih in sodnih števil. Drugače jih imenujemo neskončno velike, saj se njihovi člani, ki se nenehno povečujejo, vse bolj približujejo pozitivni neskončnosti.
Primer takega je lahko tudi katera koli aritmetična in geometrijska progresija s korakom oziroma imenovalcem, večjim od nič. Poleg tega se številčne serije štejejo za divergentna zaporedja, ki sploh nimajo omejitev. Na primer, X =(-2) -1.
Fibonaccijevo zaporedje
Praktične koristi prej omenjene serije številk za človeštvo so nesporne. Obstaja pa nešteto drugih odličnih primerov. Eno izmed njih je Fibonaccijevo zaporedje. Vsak njen član, ki se začne z enim, je vsota prejšnjih. Njegova prva dva predstavnika sta 1 in 1. Tretji 1+1=2, četrti 1+2=3, peti 2+3=5. Nadalje po isti logiki sledijo številke 8, 13, 21 in tako naprej.
Ta serija številk se povečuje za nedoločen čas in nimakončna meja. Ima pa še eno čudovito lastnost. Razmerje med vsakim prejšnjim številom in naslednjim se vedno bolj približuje vrednosti 0,618. Tukaj lahko razumete razliko med konvergentnim in divergentnim zaporedjem, saj če naredite niz prejetih delnih delitev, bo prikazan številčni sistem imajo končno mejo enako 0,618.
Zaporedje Fibonaccijevih razmerij
Zgoraj navedena številčna serija se pogosto uporablja v praktične namene za tehnično analizo trgov. A to ni omejeno le na njegove zmožnosti, ki so jih Egipčani in Grki poznali in so jih znali udejanjiti že v starih časih. To dokazujejo piramide, ki so jih zgradili, in Partenon. Konec koncev je število 0,618 stalni koeficient zlatega reza, dobro znan v starih časih. V skladu s tem pravilom lahko poljuben segment razdelimo tako, da bo razmerje med njegovimi deli sovpadalo z razmerjem med največjim segmentom in celotno dolžino.
Konstruirajmo niz navedenih relacij in poskusimo analizirati to zaporedje. Številčna vrsta bo naslednja: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 in tako naprej. Če nadaljujemo na ta način, se lahko prepričamo, da bo meja konvergentnega zaporedja res 0,618, vendar je treba opozoriti na druge lastnosti te pravilnosti. Zdi se, da so številke tukaj naključno in sploh ne v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu. To pomeni, da to konvergentno zaporedje ni monotono. Zakaj je temu tako, bomo razpravljali še naprej.
Monotonost in omejenost
Člani številčne serije se lahko očitno zmanjšajo z naraščanjem števila (če je x1>x2>x3>…>x >…) ali povečanje (če je x1<x263226323<…<x <…). V tem primeru pravimo, da je zaporedje strogo monotono. Opaziti je mogoče tudi druge vzorce, kjer bo številčna vrsta nepadajoča in ne naraščajoča (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ali x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), potem je sukcesivno konvergentna tudi monotona, le ne v ožjem pomenu. Dober primer prve od teh možnosti je številska serija, podana z naslednjo formulo.
Ko ste naslikali številke te serije, lahko vidite, da kateri koli njen član, ki se za nedoločen čas približuje 1, ne bo nikoli presegel te vrednosti. V tem primeru rečemo, da je konvergentno zaporedje omejeno. To se zgodi vsakič, ko obstaja tako pozitivno število M, ki je vedno večje od katerega koli od členov niza po modulu. Če ima niz številk znake monotonosti in ima mejo ter se zato konvergira, potem je nujno obdarjen s tako lastnostjo. In nasprotno ni nujno, da je res. To dokazuje izrek o omejenosti za konvergentno zaporedje.
Uporaba takšnih opažanj v praksi je zelo koristna. Podamo konkreten primer s preučitvijo lastnosti zaporedja X =n/n+1 in dokažite njeno konvergenco. Preprosto je pokazati, da je monotono, saj je (x +1 – x) pozitivno število za poljubne vrednosti n. Meja zaporedja je enaka številki 1, kar pomeni, da so izpolnjeni vsi pogoji zgornjega izreka, imenovanega tudi Weierstrassov izrek. Izrek o omejenosti konvergentnega zaporedja pravi, da če ima mejo, se v vsakem primeru izkaže za omejeno. Vendar pa vzemimo naslednji primer. Številski niz X =(-1) je od spodaj omejen z -1 in od zgoraj za 1. Toda to zaporedje ni monotono, nima meja in zato ne konvergira. To pomeni, da obstoj omejitve in konvergence ne izhaja vedno iz omejitve. Da bi to delovalo, se morata spodnja in zgornja meja ujemati, kot v primeru Fibonaccijevega razmerja.
Številke in zakoni vesolja
Najenostavnejše različice konvergentnega in divergentnega zaporedja so morda številčni nizi X =n in X =1/n. Prva od njih je naravni niz števil. Je, kot že rečeno, neskončno velik. Drugo konvergentno zaporedje je omejeno in njegovi izrazi so po velikosti blizu neskončno majhni. Vsaka od teh formul pooseblja eno od strani večplastnega Vesolja in pomaga človeku, da si zamisli in izračuna nekaj neznanega, nedostopnega omejenemu zaznavanju v jeziku številk in znakov.
Zakoni vesolja, ki segajo od zanemarljivih do neverjetno velikih, izražajo tudi zlato razmerje 0,618. Znanstvenikiverjamejo, da je osnova bistva stvari in da ga narava uporablja za oblikovanje njegovih delov. Relacije med naslednjim in prejšnjimi člani Fibonaccijevega niza, ki smo jih že omenili, ne zaključijo prikaza neverjetnih lastnosti te edinstvene serije. Če upoštevamo količnik deljenja prejšnjega člena z naslednjim skozi eno, dobimo niz 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 in tako naprej. Zanimivo je, da se to omejeno zaporedje konvergira, ni monotono, ampak je razmerje ekstremnih sosednjih števil od določenega člana vedno približno enako 0,382, kar se lahko uporablja tudi v arhitekturi, tehnični analizi in drugih panogah.
Obstajajo še drugi zanimivi koeficienti Fibonaccijevega niza, vsi imajo v naravi posebno vlogo in jih človek uporablja tudi v praktične namene. Matematiki so prepričani, da se vesolje razvija v skladu z določeno "zlato spiralo", oblikovano iz navedenih koeficientov. Z njihovo pomočjo je mogoče izračunati številne pojave, ki se pojavljajo na Zemlji in v vesolju, od rasti števila določenih bakterij do premikanja oddaljenih kometov. Kot se je izkazalo, koda DNK upošteva podobne zakone.
Upadajoča geometrijska progresija
Obstaja izrek, ki trdi, da je meja konvergentnega zaporedja edinstvena. To pomeni, da ne more imeti dveh ali več mej, kar je nedvomno pomembno za iskanje njegovih matematičnih značilnosti.
Oglejmo si nekajprimerih. Vsaka številčna vrsta, sestavljena iz članov aritmetične progresije, je divergentna, razen v primeru z ničelnim korakom. Enako velja za geometrijsko progresijo, katere imenovalec je večji od 1. Meje takšnih številskih vrst so »plus« ali »minus« neskončnosti. Če je imenovalec manjši od -1, potem sploh ni omejitve. Možne so tudi druge možnosti.
Upoštevajte številsko serijo, podano s formulo X =(1/4) -1. Na prvi pogled je enostavno videti, da je to konvergentno zaporedje omejeno, ker je strogo padajoče in nikakor ne more prevzeti negativnih vrednosti.
Napišimo število njegovih članov v vrsti.
Izkazalo se bo: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 in tako naprej. Precej preprosti izračuni so dovolj, da razumemo, kako hitro ta geometrijska progresija pada od imenovalcev 0<q<1. Medtem ko se imenovalec izrazov neomejeno povečuje, sami postanejo neskončno majhni. To pomeni, da je meja številskega niza 0. Ta primer še enkrat dokazuje omejeno naravo konvergentnega zaporedja.
Osnovna zaporedja
Augustin Louis Cauchy, francoski znanstvenik, je svetu razkril veliko del, povezanih z matematično analizo. Podal je definicije konceptov, kot so diferencial, integral, meja in kontinuiteta. Proučeval je tudi osnovne lastnosti konvergentnih zaporedij. Da bi razumeli bistvo njegovih idej,nekaj pomembnih podrobnosti je treba povzeti.
Na samem začetku članka je bilo prikazano, da obstajajo takšne sekvence, za katere obstaja soseska, kjer se točke, ki predstavljajo člane določene serije na realni premici, začnejo združevati, vse bolj se vrstijo gosto. Hkrati se razdalja med njima zmanjšuje, ko se število naslednjega predstavnika povečuje in se spremeni v neskončno majhno. Tako se izkaže, da je v dani soseščini združenih neskončno število predstavnikov dane serije, zunaj nje pa jih je končno število. Takšna zaporedja se imenujejo temeljna.
Sloviti Cauchyjev kriterij, ki ga je ustvaril francoski matematik, jasno kaže, da prisotnost takšne lastnosti zadostuje za dokaz, da se zaporedje konvergira. Velja tudi obratno.
Opozoriti je treba, da je ta sklep francoskega matematika večinoma čisto teoretičen. Njegova uporaba v praksi velja za precej zapleteno zadevo, zato je za pojasnitev konvergence vrst veliko pomembneje dokazati obstoj končne meje zaporedja. V nasprotnem primeru se šteje za divergentno.
Pri reševanju problemov je treba upoštevati tudi osnovne lastnosti konvergentnih zaporedij. Prikazani so spodaj.
Neskončne vsote
Taki znani antični znanstveniki, kot so Arhimed, Evklid, Evdoks, so uporabljali vsote neskončnih številskih vrst za izračun dolžin krivulj, prostornine telesin področja figur. Zlasti na ta način je bilo mogoče ugotoviti območje paraboličnega segmenta. Za to je bila uporabljena vsota številčne serije geometrijske progresije z q=1/4. Na podoben način smo našli prostornine in površine drugih poljubnih številk. Ta možnost se je imenovala metoda "izčrpavanja". Ideja je bila, da se preučevano telo, kompleksne oblike, razbije na dele, ki so figure z lahko merljivimi parametri. Zaradi tega ni bilo težko izračunati njihovih površin in volumnov, nato pa so sešteli.
Mimogrede, podobne naloge so sodobnim šolarjem zelo znane in jih najdemo v nalogah USE. Edinstvena metoda, ki so jo našli daljni predniki, je daleč najpreprostejša rešitev. Tudi če sta samo dva ali trije deli, na katere je številčna številka razdeljena, je seštevanje njunih površin še vedno vsota številske serije.
Veliko pozneje kot starogrška znanstvenika Leibniz in Newton sta se na podlagi izkušenj svojih modrih predhodnikov naučila vzorcev integralnega računanja. Poznavanje lastnosti zaporedij jim je pomagalo pri reševanju diferencialnih in algebraičnih enačb. Trenutno teorija serij, ustvarjena s prizadevanji številnih generacij nadarjenih znanstvenikov, daje priložnost za rešitev velikega števila matematičnih in praktičnih problemov. In študij številčnih zaporedij je bil glavni problem, ki ga je matematična analiza rešila že od njenega začetka.
