Učitelji matematike svoje učence seznanjajo s konceptom "kombinatornega problema" že v petem razredu. To je potrebno, da bodo v prihodnosti lahko delali z bolj zapletenimi nalogami. Kombinatorno naravo problema lahko razumemo kot možnost njegove rešitve s štetjem elementov končne množice.
Glavni znak nalog tega reda je vprašanje zanje, ki zveni kot "Koliko možnosti?" ali "Na koliko načinov?" Rešitev kombinatornih problemov je neposredno odvisna od tega, ali je reševalec razumel pomen, ali je lahko pravilno predstavil dejanje ali proces, ki je bil opisan v nalogi.
Kako rešiti kombinatorni problem?
Pomembno je pravilno določiti vrsto vseh povezav v obravnavanem problemu, vendar je treba preveriti, ali so v njem ponovitve elementov, ali se elementi sami spreminjajo, ali igra njihov vrstni red veliko vlogo, pa tudi glede nekaterih drugihdejavniki.
Kombinatorni problem ima lahko številne omejitve, ki jih je mogoče postaviti na povezave. V tem primeru boste morali v celoti izračunati njegovo rešitev in preveriti, ali te omejitve vplivajo na povezavo vseh elementov. Če res obstaja vpliv, je treba preveriti, kateri.
Kje začeti?
Najprej se morate naučiti reševati najpreprostejše kombinatorne probleme. Obvladovanje preprostega gradiva vam bo omogočilo, da se naučite razumeti bolj zapletene naloge. Priporočljivo je, da najprej začnete reševati težave z omejitvami, ki niso upoštevane pri razmišljanju o enostavnejši možnosti.
Priporočljivo je, da najprej poskusite rešiti tiste probleme, pri katerih morate upoštevati manjše število skupnih elementov. Tako boste lahko razumeli princip izdelave vzorcev in se naučili, kako jih v prihodnje ustvariti sami. Če je problem, za katerega morate uporabiti kombinatoriko, sestavljen iz kombinacije več enostavnejših, ga je priporočljivo rešiti po delih.
Reševanje kombinatornih problemov
Takšne težave se morda zdijo lahko rešljive, vendar je kombinatoriko precej težko obvladati, nekatere od njih niso bile rešene že sto let. Ena najbolj znanih težav je določiti število čarobnih kvadratov posebnega reda, ko je število n večje od 4.
Kombinatorni problem je tesno povezan s teorijo verjetnosti, ki se je pojavila v srednjem veku. Verjetnostizvor dogodka je mogoče izračunati samo s kombinatoriko, v tem primeru bo treba vse faktorje zamenjati na mestih, da dobimo optimalno rešitev.
Reševanje težav
Kombinatorni problemi z rešitvijo se uporabljajo za učenje učencev in študentov, kako delati s tem gradivom. Na splošno bi morali v človeku vzbuditi zanimanje in željo po iskanju skupne rešitve. Poleg matematičnih izračunov je treba uporabiti mentalni stres in ugibanje.
V procesu reševanja zastavljenih nalog bo otrok lahko razvijal svojo matematično domišljijo in kombinatorne sposobnosti, kar mu lahko v prihodnosti resno koristi. Postopoma je treba stopnjo kompleksnosti nalog, ki jih je treba rešiti, povečevati, da ne bi pozabili obstoječega znanja in jim dodali nova.
Metoda 1. Bust
Metode za reševanje kombinatornih problemov se med seboj zelo razlikujejo, a vse jih lahko učenec uporabi, da dobi odgovor. Eden najpreprostejših, a hkrati najdaljših načinov je surova sila. Z njim morate le prebrati vse možne rešitve, ne da bi sestavljali kakršne koli sheme in tabele.
Praviloma je vprašanje v takem problemu povezano z možnimi različicami nastanka dogodka, na primer: katere številke je mogoče narediti s številkami 2, 4, 8, 9? Z iskanjem po vseh možnostih se sestavi odgovor, sestavljen iz možnih kombinacij. Ta metoda je odlična, če je število možnih možnostirelativno majhna.
2. metoda. Drevo možnosti
Nekatere kombinatorne probleme je mogoče rešiti le z izdelavo grafikonov s podrobnimi informacijami o vsakem elementu. Sestavljanje drevesa možnih možnosti je še en način za iskanje odgovora. Primeren je za reševanje težav, ki niso pretežke, pri katerih je dodaten pogoj.
Primer takšne naloge:
Katera petmestna števila je mogoče sestaviti iz številk 0, 1, 7, 8? Če ga želite rešiti, morate zgraditi drevo iz vseh možnih kombinacij, poleg tega pa obstaja dodaten pogoj - število se ne more začeti od nič. Tako bo odgovor sestavljen iz vseh številk, ki se bodo začele z 1, 7 ali 8
Način 3. Oblikovanje tabel
Kombinatorne probleme je mogoče rešiti tudi s pomočjo tabel. Podobne so drevesu možnih možnosti, saj ponujajo vizualno rešitev situacije. Če želite najti pravilen odgovor, morate oblikovati tabelo, ki bo zrcaljena: horizontalni in navpični pogoji bodo enaki.
Možni odgovori bodo pridobljeni na presečišču stolpcev in vrstic. V tem primeru odgovori na presečišču stolpca in vrstice z enakimi podatki ne bodo pridobljeni, ta križišča morajo biti posebej označena, da se ne zmedete pri sestavljanju končnega odgovora. Študentje ne izberejo pogosto te metode, mnogi imajo raje drevo z možnostmi.
Metoda 4. Množenje
Obstaja še en način reševanja kombinatornih problemov - pravilo množenja. On je v reduje primeren v primeru, ko glede na pogoj ni treba naštevati vseh možnih rešitev, le najti je treba njihovo največje število. Ta metoda je edinstvena, uporablja se zelo pogosto, ko šele začenjate reševati kombinatorne probleme.
Primer takšne naloge bi lahko izgledal takole:
6 ljudi čaka na izpit na hodniku. Na koliko načinov jih lahko uporabite, da jih uredite na splošnem seznamu? Če želite dobiti odgovor, morate pojasniti, koliko jih je lahko na prvem mestu, koliko na drugem, na tretjem itd. Odgovor bo številka 720
Kombinatorika in njene vrste
Kombinatorna naloga ni samo šolsko gradivo, študirajo ga tudi študenti. V znanosti obstaja več vrst kombinatorike in vsaka od njih ima svoje poslanstvo. Številčna kombinatorika bi morala upoštevati naštevanje in naštevanje možnih konfiguracij z dodatnimi pogoji.
Strukturna kombinatorika je sestavni del univerzitetnega programa, preučuje teorijo maroidov in grafov. Ekstremna kombinatorika je povezana tudi z univerzitetnim gradivom in tu obstajajo individualne omejitve. Drugi del je Ramseyeva teorija, ki se ukvarja s preučevanjem struktur v naključnih variacijah elementov. Obstaja tudi jezikovna kombinatorika, ki se ukvarja z vprašanjem združljivosti določenih elementov med seboj.
Metoda poučevanja kombinatornih problemov
V skladu z vadniconačrtov, starost učencev, ki je namenjena osnovnemu seznanjanju s tem gradivom in reševanju kombinatornih nalog, je 5. razred. Tam je študentom ta tema prvič ponujena v obravnavo, se seznanijo s pojavom kombinatornosti in poskušajo rešiti zastavljene naloge. Hkrati je zelo pomembno, da se pri postavljanju kombinatornega problema uporabi metoda, ko otroci sami iščejo odgovore na vprašanja.
Med drugim bo po preučevanju te teme veliko lažje uvesti pojem faktoriala in ga uporabiti pri reševanju enačb, problemov ipd. Tako ima kombinatornost pomembno vlogo pri nadaljnjem izobraževanju.
Kombinatorni problemi: zakaj so potrebni?
Če veste, kaj so kombinatorični problemi, ne boste imeli težav z njihovo rešitvijo. Tehnika za njihovo reševanje je lahko uporabna, ko morate ustvariti urnike, urnike dela, pa tudi zapletene matematične izračune, ki niso primerni za elektronske naprave.
V šolah s poglobljenim študijem matematike in računalništva se dodatno preučujejo kombinatorični problemi, za to se sestavljajo posebni tečaji, učni pripomočki in naloge. Praviloma je v enotni državni izpit iz matematike mogoče vključiti več tovrstnih nalog, običajno so »skriti« v delu C.
Kako hitro rešiti kombinatorni problem?
Zelo pomembno je, da lahko vidimo kombinatorni problemhitro, saj ima lahko zastrto besedilo, je to še posebej pomembno pri opravljanju izpita, kjer šteje vsaka minuta. Ločeno zapišite informacije, ki jih vidite v besedilu težave na kos papirja, nato pa jih poskusite analizirati v smislu štirih načinov, ki jih poznate.
Če lahko vnesete informacije v tabelo ali drugo formacijo, jo poskusite rešiti. Če ga ne morete razvrstiti, je v tem primeru najbolje, da ga za nekaj časa pustite in preidete na drugo opravilo, da ne izgubljate dragocenega časa. Tej situaciji se je mogoče izogniti, če vnaprej rešite določeno število nalog te vrste.
Kje lahko najdem primere?
Edina stvar, ki vam bo pomagala pri učenju reševanja kombinatornih problemov, so primeri. Najdete jih v posebnih matematičnih zbirkah, ki se prodajajo v trgovinah z izobraževalno literaturo. Vendar pa lahko tam najdete informacije samo za študente, šolarji bodo morali naloge iskati dodatno, praviloma naloge zanje izmislijo drugi učitelji.
Visokošolski učitelji menijo, da se morajo študenti usposabljati in jim nenehno ponujati dodatno izobraževalno literaturo. Ena najboljših zbirk je "Metode diskretne analize pri reševanju kombinatornih problemov", napisana leta 1977 in večkrat izdana pri vodilnih domačih založbah. Tam lahko najdete naloge, ki so bile pomembne v tistem času in so pomembne še danes.
Kaj, če morate narediti kombinatorni problem?
Najpogosteje je treba sestaviti kombinatorne problemeučitelji, ki so dolžni učence naučiti razmišljati izven okvirjev. Tukaj bo vse odvisno od ustvarjalnega potenciala prevajalca. Priporočljivo je, da bodite pozorni na obstoječe zbirke in poskusite sestaviti problem tako, da združuje več načinov za njegovo reševanje hkrati in ima drugačne podatke od knjige.
Univerzitetni učitelji so v tem pogledu veliko bolj svobodni kot šolski učitelji, pogosto dajo svojim učencem nalogo, da sami pripravijo kombinatorne probleme s podrobnimi metodami reševanja in razlagami. Če niste ne eno ne drugo, lahko za pomoč prosite tiste, ki resnično razumejo problematiko, pa tudi najamete zasebnega učitelja. Ena akademska ura je dovolj za več podobnih težav.
Kombinatorika - znanost prihodnosti?
Številni strokovnjaki s področja matematike in fizike verjamejo, da je kombinatorni problem tisti, ki lahko postane zagon v razvoju vseh tehničnih znanosti. Dovolj je, da se k reševanju določenih problemov lotite nestandardnega pristopa, nato pa bo mogoče odgovoriti na vprašanja, ki znanstvenike preganjajo že nekaj stoletij. Nekateri resno trdijo, da je kombinatorika v pomoč vsem sodobnim znanostim, predvsem astronavtiki. Veliko lažje bo izračunati poti letenja ladij s kombinatoričnimi problemi, omogočili pa bodo tudi določitev natančne lokacije določenih nebesnih teles.
Izvajanje nestandardnega pristopa se je že dolgo začelo v azijskih državah, kjer študenti celomnoženje, odštevanje, seštevanje in deljenje se rešujejo s kombinatoričnimi metodami. Na presenečenje mnogih evropskih znanstvenikov tehnika resnično deluje. Šole v Evropi so se do zdaj šele začele učiti iz izkušenj svojih kolegov. Kdaj točno bo kombinatorika postala ena glavnih vej matematike, je težko uganiti. Zdaj znanost preučujejo vodilni svetovni znanstveniki, ki jo želijo popularizirati.
