Prizma je polieder ali polieder, ki se preučuje v šolskem tečaju geometrije trdnih snovi. Ena od pomembnih lastnosti tega poliedra je njegova prostornina. V članku razmislimo, kako je mogoče izračunati to vrednost, in podamo tudi formule za prostornino prizm - navadne štirikotne in šesterokotne.
Prizma v stereometriji
Ta figura se razume kot polieder, ki je sestavljen iz dveh enakih mnogokotnikov, ki se nahajata v vzporednih ravninah, in iz več paralelogramov. Pri nekaterih vrstah prizem lahko paralelogrami predstavljajo pravokotne štirikotnike ali kvadrate. Spodaj je primer tako imenovane peterokotne prizme.
Če želite zgraditi figuro, kot je prikazano na zgornji sliki, morate vzeti peterokotnik in izvesti njegov vzporedni prenos na določeno razdaljo v prostoru. Če strani dveh peterokotnikov povežemo s pomočjo paralelogramov, dobimo želeno prizmo.
Vsaka prizma je sestavljena iz ploskve, oglišč in robov. Vrhovi prizmeza razliko od piramide sta enaka, vsaka od njih se nanaša na eno od dveh baz. Obrazi in robovi so dveh vrst: tisti, ki pripadajo osnovam in tisti, ki pripadajo stranicam.
Prizme so več vrst (pravilne, poševne, konveksne, ravne, konkavne). Razmislimo kasneje v članku, po kateri formuli se izračuna prostornina prizme ob upoštevanju oblike figure.
Splošni izraz za določanje prostornine prizme
Ne glede na to, kateri vrsti pripada preučevana figura, ali je ravna ali poševna, pravilna ali nepravilna, obstaja univerzalni izraz, ki omogoča določitev njene prostornine. Prostornina prostorske figure je površina prostora, ki je zaprta med njenimi ploskvami. Splošna formula za prostornino prizme je:
V=So × h.
Tukaj So predstavlja površino osnove. Ne smemo pozabiti, da govorimo o eni osnovi in ne o dveh. Vrednost h je višina. Višina preučevane figure se razume kot razdalja med njenimi enakimi osnovami. Če ta razdalja sovpada z dolžinami stranskih reber, potem govorimo o ravni prizmi. Na ravni sliki so vse stranice pravokotniki.
Tako, če je prizma poševna in ima nepravilen osnovni mnogokotnik, postane izračun njene prostornine bolj zapleten. Če je številka ravna, se izračun prostornine zmanjša samo na določitev površine osnove So.
Določanje prostornine običajne številke
Navadna je vsaka prizma, ki je ravna in ima mnogokotno osnovo z enakimi stranicami in koti. Na primer, takšni pravilni mnogokotniki sta kvadrat in enakostranični trikotnik. Hkrati pa romb ni pravilna figura, saj niso vsi njegovi koti enaki.
Formula za prostornino pravilne prizme nedvoumno izhaja iz splošnega izraza za V, ki je bil napisan v prejšnjem odstavku članka. Preden nadaljujete s pisanjem ustrezne formule, je treba določiti površino pravilne osnove. Ne da bi se spuščali v matematične podrobnosti, predstavljamo formulo za določitev navedenega območja. Je univerzalen za vsak običajen n-kotnik in ima naslednjo obliko:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Kot lahko vidite iz izraza, je površina Sn funkcija dveh parametrov. Celo število n ima lahko vrednosti od 3 do neskončnosti. Vrednost a je dolžina stranice n-kotnika.
Za izračun prostornine figure je potrebno le površino S pomnožiti z višino h ali z dolžino stranskega roba b (h=b). Kot rezultat pridemo do naslednje delovne formule:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Upoštevajte, da morate za določitev prostornine prizme poljubne vrste poznati več količin (dolžine stranic osnove, višine, diedralni koti slike), vendar za izračun vrednosti V navadne prizme, moramo poznati le dva linearna parametra, na primer a in h.
Prostornina štirikotne pravilne prizme
Štirikotna prizma se imenuje paralelepiped. Če so vse njene ploskve enake in so kvadratne, bo takšna figura kocka. Vsak učenec ve, da se prostornina pravokotnega paralelepipeda ali kocke določi tako, da pomnožimo njegove tri različne stranice (dolžino, višino in širino). To dejstvo izhaja iz zapisanega splošnega izraza prostornine za običajno številko:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Tukaj je kotangens 45° enak 1. Upoštevajte, da enakost višine h in dolžine stranice osnove a samodejno vodi do formule za prostornino kocke.
Prostornina šesterokotne pravilne prizme
Zdaj uporabite zgornjo teorijo, da določite prostornino figure s šesterokotno osnovo. Če želite to narediti, morate samo nadomestiti vrednost n=6 v formulo:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Pisani izraz je mogoče dobiti neodvisno brez uporabe univerzalne formule za S. Če želite to narediti, morate redni šesterokotnik razdeliti na šest enakostraničnih trikotnikov. Stran vsakega od njih bo enaka a. Površina enega trikotnika ustreza:
S3=√3/4 × a2.
Če to vrednost pomnožimo s številom trikotnikov (6) in z višino, dobimo zgornjo formulo za prostornino.
