Fourierjeva transformacija je transformacija, ki primerja funkcije neke realne spremenljivke. Ta operacija se izvaja vsakič, ko zaznamo različne zvoke. Uho izvaja avtomatski "izračun", ki ga je naša zavest sposobna izvesti šele po preučevanju ustreznega oddelka višje matematike. Človeški slušni organ gradi transformacijo, zaradi katere se zvok (nihajno gibanje pogojnih delcev v elastičnem mediju, ki se v obliki valov širijo v trdnem, tekočem ali plinastem mediju) zagotovi v obliki spektra zaporednih vrednosti. nivoja glasnosti tonov različnih višin. Po tem možgani te informacije spremenijo v zvok, ki je znan vsem.
matematična Fourierjeva transformacija
Transformacija zvočnih valov ali drugih nihajnih procesov (od svetlobnega sevanja in oceanske plime do ciklov zvezdne ali sončne aktivnosti) se lahko izvede tudi z uporabo matematičnih metod. Torej je z uporabo teh tehnik mogoče razgraditi funkcije tako, da predstavimo nihajne procese kot niz sinusnih komponent, to je valovite krivulje, kipojdi od nizkega na visoko, nato pa nazaj na nizko, kot morski val. Fourierjeva transformacija - transformacija, katere funkcija opisuje fazo ali amplitudo vsake sinusoide, ki ustreza določeni frekvenci. Faza je začetna točka krivulje, amplituda pa njena višina.
Fourierjeva transformacija (primeri so prikazani na fotografiji) je zelo zmogljivo orodje, ki se uporablja na različnih področjih znanosti. V nekaterih primerih se uporablja kot sredstvo za reševanje precej zapletenih enačb, ki opisujejo dinamične procese, ki nastanejo pod vplivom svetlobne, toplotne ali električne energije. V drugih primerih vam omogoča, da določite redne komponente v kompleksnih oscilatornih signalih, zahvaljujoč temu pa lahko pravilno interpretirate različna eksperimentalna opazovanja v kemiji, medicini in astronomiji.
Zgodovinsko ozadje
Prva oseba, ki je uporabila to metodo, je bil francoski matematik Jean Baptiste Fourier. Transformacija, kasneje poimenovana po njem, je bila prvotno uporabljena za opis mehanizma prevodnosti toplote. Fourier je vse svoje odraslo življenje preučeval lastnosti toplote. Ogromno je prispeval k matematični teoriji določanja korenin algebraičnih enačb. Fourier je bil profesor analize na Politehnični šoli, sekretar Inštituta za egiptologijo, bil v cesarski službi, kjer se je odlikoval pri gradnji ceste v Torino (pod njegovim vodstvom je bilo več kot 80 tisoč kvadratnih kilometrov malarijemočvirja). Vendar vsa ta živahna dejavnost znanstveniku ni preprečila, da bi opravil matematično analizo. Leta 1802 je izpeljal enačbo, ki opisuje širjenje toplote v trdnih snoveh. Leta 1807 je znanstvenik odkril metodo za reševanje te enačbe, ki se je imenovala "Fourierjeva transformacija".
Analiza toplotne prevodnosti
Znanstvenik je uporabil matematično metodo za opis mehanizma toplotne prevodnosti. Primeren primer, pri katerem ni težav pri izračunu, je širjenje toplotne energije skozi železen obroč, ki je v enem delu potopljen v ogenj. Za izvedbo poskusov je Fourier segrel del tega obroča do rdečega in ga zakopal v droben pesek. Nato je izmeril temperaturo na nasprotni strani. Sprva je porazdelitev toplote neenakomerna: del obroča je hladen, drugi pa vroč; med tema conama je mogoče opaziti oster temperaturni gradient. Vendar pa v procesu širjenja toplote po celotni površini kovine postane bolj enakomerna. Torej, kmalu ta proces dobi obliko sinusoida. Sprva graf gladko narašča in tudi gladko pada, natančno po zakonih spremembe kosinusne ali sinusne funkcije. Val postopoma umiri in posledično postane temperatura enaka na celotni površini obroča.
Avtor te metode je predlagal, da je začetno nepravilno porazdelitev mogoče razstaviti na več osnovnih sinusoidov. Vsak od njih bo imel svojo fazo (začetni položaj) in svojo temperaturonajveč. Poleg tega se vsaka taka komponenta spremeni od najmanjšega do največjega in ob popolnem obratu okoli obroča celo število krat. Komponenta z eno obdobje se je imenovala osnovna harmonika, vrednost z dvema ali več obdobji pa druga itd. Torej se matematična funkcija, ki opisuje temperaturni maksimum, fazo ali položaj, imenuje Fourierjeva transformacija porazdelitvene funkcije. Znanstvenik je zmanjšal eno samo komponento, ki jo je težko matematično opisati, na orodje, ki je preprosto za uporabo - kosinusni in sinusni niz, ki se seštevata, da dobimo prvotno porazdelitev.
Bistvo analize
Z uporabo te analize za pretvorbo širjenja toplote skozi trden predmet, ki ima obročasto obliko, je matematik sklepal, da bi povečanje obdobij sinusne komponente vodilo do njenega hitrega razpada. To se jasno vidi v osnovni in drugi harmoniki. Pri slednjem temperatura doseže največjo in najnižjo vrednost dvakrat v enem prehodu, pri prvem pa le enkrat. Izkazalo se je, da bo razdalja, ki jo pokriva toplota v drugi harmoniki, polovico manjša od osnovne. Poleg tega bo naklon v drugem tudi dvakrat večji kot v prvem. Ker torej intenzivnejši toplotni tok potuje dvakrat krajšo razdaljo, bo ta harmonika kot funkcija časa razpadla štirikrat hitreje kot osnovna. V prihodnosti bo ta proces še hitrejši. Matematik je verjel, da ta metoda omogoča izračun procesa začetne porazdelitve temperature skozi čas.
Izziv sodobnikom
Algoritem Fourierjeve transformacije je izpodbijal teoretične temelje takratne matematike. Na začetku devetnajstega stoletja večina uglednih znanstvenikov, vključno z Lagrangeom, Laplaceom, Poissonom, Legendrom in Biotom, ni sprejela njegove izjave, da se začetna porazdelitev temperature razgradi na komponente v obliki osnovne harmonike in višjih frekvenc. Vendar Akademija znanosti ni mogla prezreti rezultatov, ki jih je dosegel matematik, in mu je podelila nagrado za teorijo zakonov toplotne prevodnosti, pa tudi za primerjavo s fizikalnimi poskusi. Pri Fourierjevem pristopu je bil glavni ugovor dejstvo, da je diskontinuirana funkcija predstavljena z vsoto več sinusnih funkcij, ki so neprekinjene. Navsezadnje opisujejo raztrgane ravne in ukrivljene črte. Sodobniki znanstvenika se še nikoli niso srečali s podobno situacijo, ko so bile diskontinuirane funkcije opisane s kombinacijo neprekinjenih, kot so kvadratne, linearne, sinusne ali eksponentne. V primeru, da je imel matematik v svojih izjavah prav, je treba vsoto neskončnega niza trigonometrične funkcije zmanjšati na natančno postopno. Takrat se je taka izjava zdela absurdna. Kljub dvomom pa so nekateri raziskovalci (npr. Claude Navier, Sophie Germain) razširili obseg raziskav in jih presegli izven analize porazdelitve toplotne energije. Medtem so se matematiki še naprej spopadali z vprašanjem, ali je mogoče vsoto več sinusnih funkcij zmanjšati na natančno predstavitev diskontinuirane.
200 letzgodovina
Ta teorija se je razvijala v dveh stoletjih, danes pa se je končno oblikovala. Z njegovo pomočjo so prostorske ali časovne funkcije razdeljene na sinusne komponente, ki imajo svojo frekvenco, fazo in amplitudo. To transformacijo dobimo z dvema različnima matematičnima metodama. Prva od njih se uporablja, ko je prvotna funkcija neprekinjena, druga pa, ko je predstavljena z nizom diskretnih posameznih sprememb. Če je izraz pridobljen iz vrednosti, ki so določene z diskretnimi intervali, ga lahko razdelimo na več sinusnih izrazov z diskretnimi frekvencami - od najnižje in nato dvakrat, trikrat in tako naprej višje od glavne. Taka vsota se imenuje Fourierjeva vrsta. Če začetnemu izrazu damo vrednost za vsako realno število, ga lahko razstavimo na več sinusoidnih vseh možnih frekvenc. Običajno se imenuje Fourierjev integral, rešitev pa vključuje integralne transformacije funkcije. Ne glede na to, kako je pretvorba dosežena, je treba za vsako frekvenco podati dve številki: amplitudo in frekvenco. Te vrednosti so izražene kot eno kompleksno število. Teorija izrazov kompleksnih spremenljivk je skupaj s Fourierjevo transformacijo omogočila izračune pri načrtovanju različnih električnih vezij, analizo mehanskih nihanj, preučevanje mehanizma širjenja valov in drugo.
Fourierjeva transformacija danes
Danes se preučevanje tega procesa v glavnem zmanjša na ugotovitev učinkovitostimetode prehoda iz funkcije v njeno transformirano obliko in obratno. Ta rešitev se imenuje neposredna in inverzna Fourierjeva transformacija. Kaj to pomeni? Za določitev integrala in izdelavo neposredne Fourierjeve transformacije lahko uporabimo matematične ali analitične metode. Kljub dejstvu, da se pri njihovi uporabi v praksi pojavljajo določene težave, je večina integralov že najdena in vključena v matematične referenčne knjige. Numerične metode se lahko uporabljajo za izračun izrazov, katerih oblika temelji na eksperimentalnih podatkih, ali funkcij, katerih integrali niso na voljo v tabelah in jih je težko predstaviti v analitični obliki.
Pred prihodom računalnikov so bili izračuni tovrstnih transformacij zelo dolgočasni, zahtevali so ročno izvedbo velikega števila aritmetičnih operacij, ki so bile odvisne od števila točk, ki opisujejo valovno funkcijo. Da bi olajšali izračune, danes obstajajo posebni programi, ki so omogočili izvajanje novih analitičnih metod. Tako sta James Cooley in John Tukey leta 1965 ustvarila programsko opremo, ki je postala znana kot "Hitra Fourierjeva transformacija". Omogoča vam, da prihranite čas za izračune z zmanjšanjem števila množenja pri analizi krivulje. Metoda hitre Fourierjeve transformacije temelji na delitvi krivulje na veliko število enotnih vzorčnih vrednosti. V skladu s tem se število množenj prepolovi z enakim zmanjšanjem števila točk.
Uporaba Fourierjeve transformacije
Toproces se uporablja na različnih področjih znanosti: v teoriji števil, fiziki, obdelavi signalov, kombinatoriki, teoriji verjetnosti, kriptografiji, statistiki, oceanologiji, optiki, akustiki, geometriji in drugih. Bogate možnosti njegove uporabe temeljijo na številnih uporabnih lastnostih, ki jih imenujemo "Lastnosti Fourierjeve transformacije". Upoštevajte jih.
1. Transformacija funkcije je linearni operater in je z ustrezno normalizacijo enotna. Ta lastnost je znana kot Parsevalov izrek ali na splošno Plancherelov izrek ali Pontryaginov dualizem.
2. Preobrazba je reverzibilna. Poleg tega ima povratni rezultat skoraj enako obliko kot pri direktni rešitvi.
3. Sinusni osnovni izrazi so lastne diferencirane funkcije. To pomeni, da taka predstavitev spremeni linearne enačbe s konstantnim koeficientom v navadne algebraične.
4. V skladu z izrekom o "konvoluciji" ta proces pretvori kompleksno operacijo v osnovno množenje.
5. Diskretno Fourierjevo transformacijo je mogoče hitro izračunati na računalniku z uporabo "hitre" metode.
Variety Fourierjeve transformacije
1. Najpogosteje se ta izraz uporablja za označevanje neprekinjene transformacije, ki zagotavlja kateri koli kvadratno integrabilni izraz kot vsoto kompleksnih eksponentnih izrazov s specifičnimi kotnimi frekvencami in amplitudami. Ta vrsta ima več različnih oblik, ki lahkorazlikujejo po konstantnih koeficientih. Kontinuirana metoda vključuje tabelo pretvorbe, ki jo najdete v matematičnih referenčnih knjigah. Posplošen primer je delna transformacija, s pomočjo katere lahko dani proces dvignemo na zahtevano realno moč.
2. Neprekinjen način je posplošitev zgodnje tehnike Fourierjevih vrst, definiranih za različne periodične funkcije ali izraze, ki obstajajo na omejenem območju in jih predstavljajo kot niz sinusoid.
3. Diskretna Fourierjeva transformacija. Ta metoda se uporablja v računalniški tehnologiji za znanstvene izračune in za digitalno obdelavo signalov. Za izvedbo te vrste izračuna je potrebno imeti funkcije, ki definirajo posamezne točke, periodična ali omejena področja na diskretni množici namesto zveznih Fourierovih integralov. Transformacija signala je v tem primeru predstavljena kot vsota sinusoid. Hkrati uporaba "hitre" metode omogoča uporabo diskretnih rešitev za vse praktične težave.
4. Okenska Fourierjeva transformacija je posplošena oblika klasične metode. V nasprotju s standardno rešitvijo, ko se uporablja signalni spekter, ki je vzet v celotnem obsegu obstoja dane spremenljivke, je tukaj posebej zanimiva le lokalna frekvenčna porazdelitev, pod pogojem, da je ohranjena izvirna spremenljivka (čas)..
5. Dvodimenzionalna Fourierjeva transformacija. Ta metoda se uporablja za delo z dvodimenzionalnimi podatkovnimi nizi. V tem primeru se najprej transformacija izvede v eno smer, nato pa vdrugo.
Sklep
Danes je Fourierjeva metoda trdno zasidrana na različnih področjih znanosti. Na primer, leta 1962 je bila oblika dvojne vijačnice DNK odkrita s Fourierjevo analizo v kombinaciji z rentgensko difrakcijo. Slednji so bili osredotočeni na kristale DNK vlaken, zato je bila slika, ki smo jo dobili z difrakcijo sevanja, posneta na film. Ta slika je dala informacije o vrednosti amplitude pri uporabi Fourierjeve transformacije za dano kristalno strukturo. Fazne podatke smo pridobili s primerjavo difrakcijske karte DNK z zemljevidi, pridobljenimi z analizo podobnih kemičnih struktur. Posledično so biologi obnovili kristalno strukturo - prvotno funkcijo.
Fourierjeve transformacije igrajo veliko vlogo pri preučevanju fizike vesolja, polprevodnikov in plazme, mikrovalovne akustike, oceanografije, radarja, seizmologije in medicinskih raziskav.
