Eden od aksiomov geometrije pravi, da je skozi kateri koli dve točki mogoče narisati eno samo ravno črto. Ta aksiom priča, da obstaja edinstven številčni izraz, ki edinstveno opisuje določen enodimenzionalni geometrijski objekt. V članku razmislite o vprašanju, kako napisati enačbo premice, ki poteka skozi dve točki.
Kaj sta točka in črta?
Preden se lotimo vprašanja konstruiranja v prostoru in na ravnini ravne črte enačbe, ki poteka skozi par različnih točk, je treba definirati določene geometrijske objekte.
Točka je enolično določena z nizom koordinat v danem sistemu koordinatnih osi. Poleg njih ni več značilnosti za točko. Ona je ničdimenzionalen objekt.
Ko govorimo o ravni črti, si vsaka oseba predstavlja črto, upodobljeno na belem listu papirja. Hkrati je mogoče dati natančno geometrijsko definicijota predmet. Ravna črta je taka zbirka točk, za katere bo povezava vsake od njih z vsemi drugimi dala niz vzporednih vektorjev.
Ta definicija se uporablja pri nastavljanju vektorske enačbe ravne črte, ki bo obravnavana spodaj.
Ker je vsako črto mogoče označiti s segmentom poljubne dolžine, se pravi, da je enodimenzionalni geometrijski objekt.
Vektorska funkcija števila
Enčbo skozi dve točki premice lahko zapišemo v različnih oblikah. V tridimenzionalnih in dvodimenzionalnih prostorih je glavni in intuitivno razumljiv številčni izraz vektor.
Predpostavimo, da obstaja nek usmerjen odsek u¯(a; b; c). V 3D prostoru se lahko vektor u¯ začne na kateri koli točki, zato njegove koordinate definirajo neskončen nabor vzporednih vektorjev. Če pa izberemo določeno točko P(x0; y0; z0) in postavimo kot začetek vektorja u¯, potem lahko z množenjem tega vektorja s poljubnim realnim številom λ dobimo vse točke ene premice v prostoru. To pomeni, da bo vektorska enačba zapisana kot:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Očitno je za primer na ravnini številska funkcija naslednja:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Prednost te vrste enačb v primerjavi z drugimi (v segmentih, kanonično,splošna oblika) je v tem, da eksplicitno vsebuje koordinate vektorja smeri. Slednje se pogosto uporablja za ugotavljanje, ali so črte vzporedne ali pravokotne.
Splošno v segmentih in kanonična funkcija za ravno črto v dvodimenzionalnem prostoru
Pri reševanju problemov morate včasih v določeni, specifični obliki napisati enačbo premice, ki poteka skozi dve točki. Zato je treba podati druge načine za določanje tega geometrijskega predmeta v dvodimenzionalnem prostoru (za preprostost upoštevamo primer na ravnini).
Začnimo s splošno enačbo. Ima obliko:
Ax + By + C=0
Praviloma je na ravnini enačba premice zapisana v tej obliki, samo y je eksplicitno definiran skozi x.
Zdaj preoblikujte zgornji izraz na naslednji način:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ta izraz se imenuje enačba v segmentih, saj imenovalec za vsako spremenljivko kaže, kako dolgo se odsek črte preseka na ustrezni koordinatni osi glede na začetno točko (0; 0).
Navedemo še primer kanonične enačbe. V ta namen zapišemo vektorsko enakost eksplicitno:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Izrazimo parameter λ od tu in izenačimo nastale enakosti:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Zadnja enakost se imenuje enačba v kanonični ali simetrični obliki.
Vsakega od njih je mogoče pretvoriti v vektorsko in obratno.
Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: tehnika kompilacije
Nazaj k vprašanju članka. Recimo, da sta v prostoru dve točki:
M(x1; y1; z1) in N(x 2; y2; z2)
Skozi njih poteka edina ravna črta, katere enačbo je zelo enostavno sestaviti v vektorski obliki. Za to izračunamo koordinate usmerjenega segmenta MN¯, imamo:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Ni težko uganiti, da bo ta vektor vodilo za ravno črto, katere enačbo je treba dobiti. Če veste, da gre tudi skozi M in N, lahko uporabite koordinate katerega koli od njih za vektorski izraz. Potem ima želena enačba obliko:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Za primer v dvodimenzionalnem prostoru dobimo podobno enakost brez sodelovanja spremenljivke z.
Takoj ko je vektorska enakost za vrstico zapisana, jo je mogoče prevesti v katero koli drugo obliko, ki jo zahteva vprašanje problema.
Naloga:napiši splošno enačbo
Vemo, da ravna črta poteka skozi točke s koordinatama (-1; 4) in (3; 2). Treba je sestaviti enačbo ravne črte, ki poteka skozi njih, v splošni obliki in izrazi y v smislu x.
Za rešitev problema najprej zapišemo enačbo v vektorski obliki. Vektorske (vodilne) koordinate so:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Takrat je vektorska oblika enačbe ravne črte naslednja:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Zapišemo ga še v splošni obliki v obliki y(x). To enakost eksplicitno prepišemo, izrazimo parameter λ in ga izključimo iz enačbe:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Iz nastale kanonične enačbe izrazimo y in pridemo do odgovora na vprašanje problema:
y=-0,5x + 3,5
Veljavnost te enakosti je mogoče preveriti z zamenjavo koordinat točk, navedenih v izjavi o problemu.
Problem: ravna črta, ki poteka skozi središče segmenta
Sedaj pa rešimo en zanimiv problem. Recimo, da sta podani dve točki M(2; 1) in N(5; 0). Znano je, da poteka ravna črta skozi središče segmenta, ki povezuje točke in je pravokotna nanjo. Napišite enačbo ravne črte, ki poteka skozi sredino segmenta v vektorski obliki.
Želeni številčni izraz lahko sestavimo tako, da izračunamo koordinate tega središča in določimo vektor smeri, kisegment tvori kot 90o.
Sredina segmenta je:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Zdaj izračunajmo koordinate vektorja MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Ker je vektor smeri za želeno črto pravokoten na MN¯, je njihov skalarni produkt enak nič. To vam omogoča, da izračunate neznane koordinate (a; b) krmilnega vektorja:
a3 - b=0=>
b=3a
Zdaj napišite vektorsko enačbo:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Tukaj smo zamenjali izdelek aλ z novim parametrom β.
Tako smo naredili enačbo ravne črte, ki poteka skozi središče segmenta.
