Šesterokotna prizma in njene glavne značilnosti

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Prostorska geometrija je študij prizm. Njihove pomembne značilnosti so prostornina, ki jo vsebujejo, površina in število sestavnih elementov. V članku bomo obravnavali vse te lastnosti za šesterokotno prizmo.

O kateri prizmi govorimo?

Šesterokotna prizma je lik, sestavljen iz dveh mnogokotnikov s šestimi stranicami in šestimi koti ter šestimi paralelogrami, ki povezujejo označene šesterokotnike v eno samo geometrijsko formacijo.

Slika prikazuje primer te prizme.

Šesterokotnik, označen z rdečo, se imenuje osnova figure. Očitno je število njegovih baz enako dvema in obe sta enaki. Rumeno-zelenkaste ploskve prizme imenujemo njene stranice. Na sliki so predstavljeni s kvadrati, na splošno pa so paralelogrami.

Šesterokotna prizma je lahko nagnjena in ravna. V prvem primeru koti med osnovo in stranicami niso ravni, v drugem pa so enaki 90o. Tudi ta prizma je lahko pravilna in napačna. Pravilni šesterokotniprizma mora biti ravna in imeti na dnu pravilen šesterokotnik. Zgornja prizma na sliki izpolnjuje te zahteve, zato se imenuje pravilna. Nadalje v članku bomo preučili le njegove lastnosti, kot splošen primer.

Elementi

Pri vsaki prizmi so njeni glavni elementi robovi, ploskve in oglišča. Šestkotna prizma ni izjema. Zgornja slika vam omogoča, da preštejete število teh elementov. Tako dobimo 8 obrazov ali stranic (dve bazi in šest stranskih paralelogramov), število vozlišč je 12 (6 oglišč za vsako osnovo), število robov šesterokotne prizme je 18 (šest stranskih in 12 za osnove).

V 1750-ih je Leonhard Euler (švicarski matematik) vzpostavil za vse poliedre, ki vključujejo prizmo, matematično razmerje med številom navedenih elementov. Ta odnos izgleda takole:

število robov=število obrazov + število vozlišč - 2.

Zgornje številke ustrezajo tej formuli.

Diagonale prizme

Vse diagonale šesterokotne prizme lahko razdelimo na dve vrsti:

• tisti, ki ležijo v ravninah njegovih obrazov;
• tisti, ki pripadajo celotnemu obsegu figure.

Spodnja slika prikazuje vse te diagonale.

Vidi se, da je D₁ stranska diagonala, D₂ in D₃ sta diagonale celotne prizme, D₄ in D_{5 - diagonale osnove.}

Dolžine diagonal stranic so med seboj enake. Preprosto jih je izračunati z uporabo dobro znanega Pitagorejevega izreka. Naj bo a dolžina stranice šestkotnika, b dolžina stranskega roba. Potem ima diagonala dolžino:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ je prav tako enostavno določiti. Če se spomnimo, da se pravilni šesterokotnik prilega krogu s polmerom a, potem je D_{4 premer tega kroga, torej dobimo naslednjo formulo:}

D_4=2a.

Diagonala D₅osnove je nekoliko težje najti. Če želite to narediti, upoštevajte enakostranični trikotnik ABC (glejte sliko). Zanj AB=BC=a je kot ABC 120^{o. Če s tega kota znižamo višino (to bo tudi simetrala in mediana), bo polovica osnove AC enaka:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC stran je diagonala D_{5, tako da dobimo:}

D_5=AC=√3a.

Zdaj je treba najti diagonali D₂in D_{3 pravilne šesterokotne prizme. Če želite to narediti, morate videti, da so hipotenuze ustreznih pravokotnih trikotnikov. Z uporabo Pitagorovega izreka dobimo:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Tako je največja diagonala za katero koli vrednost a in bD_2.

površina

Da bi razumeli, kaj je na kocki, je najlažje razmisliti o razvoju te prizme. To je prikazano na sliki.

Vidi se, da je za določitev površine vseh strani obravnavane figure potrebno ločeno izračunati površino štirikotnika in površino šesterokotnika, nato pa ju pomnožiti z ustreznimi celimi števili, ki so enaka številu vsakega n-kotnika v prizmi, in seštejemo rezultate. Šesterokotniki 2, pravokotniki 6.

Za površino pravokotnika dobimo:

S_1=ab.

Potem je stranska površina:

S_2=6ab.

Če želite določiti površino šesterokotnika, je najlažji način, da uporabite ustrezno formulo, ki izgleda takole:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Če v ta izraz nadomestimo število n, ki je enako 6, dobimo površino enega šesterokotnika:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ta izraz je treba pomnožiti z dva, da dobimo površino osnov prizme:

S_os=3√3a^2.

Ostaja še dodati S_os in S_{2, da dobite skupno površino figure:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

prostornina prizme

Po formuli zapovršino šestkotne osnove, je izračun prostornine v zadevni prizmi tako enostaven kot luščenje hrušk. Če želite to narediti, morate samo pomnožiti površino ene osnove (šesterokotnik) z višino figure, katere dolžina je enaka dolžini stranskega roba. Dobimo formulo:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Upoštevajte, da zmnožek osnove in višine daje vrednost volumna absolutno katere koli prizme, vključno s poševno. Vendar je v slednjem primeru izračun višine zapleten, saj ne bo več enak dolžini stranskega rebra. Kot pri navadni šesterokotni prizmi je vrednost njene prostornine funkcija dveh spremenljivk: stranic a in b.