Maclaurin serija in razširitev nekaterih funkcij

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Študentje višje matematike se morajo zavedati, da se vsota nekaterih potenčnih vrst, ki pripadajo intervalu konvergence dane vrste, izkaže za neprekinjeno in neomejeno število krat diferencirano funkcijo. Postavlja se vprašanje: ali je mogoče trditi, da je dana poljubna funkcija f(x) vsota neke potenčne vrste? Se pravi, pod kakšnimi pogoji je mogoče funkcijo f(x) predstaviti s potenčnim nizom? Pomen tega vprašanja je v tem, da je mogoče funkcijo f(x) približno zamenjati z vsoto prvih nekaj členov potenčnega niza, torej s polinomom. Takšna zamenjava funkcije s precej preprostim izrazom - polinomom - je priročna tudi pri reševanju nekaterih problemov matematične analize, in sicer: pri reševanju integralov, pri izračunu diferencialnih enačb itd.

Dokazano je bilo, da je za neko funkcijo f(х), kjer je izpeljanke do (n+1)-ega reda, vključno z zadnjim, mogoče izračunati v soseščini (α _{- R; x}0 _{+ R) neke točke x=α velja formula:}

Ta formula je poimenovana po slavnem znanstveniku Brooku Taylorju. Serija, ki je pridobljena iz prejšnje, se imenuje Maclaurinova serija:

Pravilo, ki omogoča razširitev v seriji Maclaurin:

1. Določite izpeljanke prvega, drugega, tretjega… vrstnega reda.
2. Izračunaj, čemu so izpeljanke pri x=0 enake.
3. Posnemite Maclaurinovo serijo za to funkcijo in nato določite interval njene konvergence.
4. Določite interval (-R;R), kjer ostane preostanek Maclaurinove formule

R (x) -> 0 za n -> neskončnost. Če obstaja, mora funkcija f(x) v njej sovpadati z vsoto Maclaurinove vrste.

Zdaj razmislite o seriji Maclaurin za posamezne funkcije.

1. Torej, prvi bo f(x)=e^x. Seveda ima takšna funkcija po svojih značilnostih izpeljanke različnih vrst in f^(k)(x)=e^x, kjer je k enako vsem naravna števila. Zamenjajmo x=0. Dobimo f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{bi izgledal takole:}

2. Maclaurinova vrsta za funkcijo f(x)=sin x. Takoj pojasnite, da bo imela funkcija za vse neznanke izpeljanke, poleg f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), kjer je k enako poljubnemu naravnemu številu. To pomeni, da po preprostih izračunih lahko pridemo do zaključka, da bo niz za f(x)=sin x videti takole:}

3. Zdaj pa poskusimo razmisliti o funkciji f(x)=cos x. Ona je za vse neznanoima izpeljanke poljubnega vrstnega reda in |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Ponovno, po nekaj izračunih, dobimo, da bo niz za f(x)=cos x videti takole:

Torej smo našteli najpomembnejše funkcije, ki jih je mogoče razširiti v seriji Maclaurin, vendar jih za nekatere funkcije dopolnjuje serija Taylor. Zdaj jih bomo našteli. Omeniti velja tudi, da sta Taylorjeva in Maclaurinova niza pomemben del prakse reševanja vrst v višji matematiki. Torej, serija Taylor.

1. Prvi bo niz za f-ii f(x)=ln(1+x). Kot v prejšnjih primerih, če imamo f (x)=ln (1 + x), lahko serijo dodamo s splošno obliko Maclaurinove serije. vendar je za to funkcijo mogoče dobiti Maclaurinovo serijo veliko bolj preprosto. Po integraciji določene geometrijske serije dobimo serijo za f(x)=ln(1+x) tega vzorca:

2. In druga, ki bo končna v našem članku, bo serija za f (x) u003d arctg x. Za x, ki pripada intervalu [-1;1], velja razširitev:

To je to. Ta članek je preučil najpogosteje uporabljene serije Taylor in Maclaurin v višji matematiki, zlasti na ekonomskih in tehničnih univerzah.