Po branju gradiva bo bralec razumel, da planimetrija sploh ni težka. Članek podaja najpomembnejše teoretične informacije in formule, potrebne za reševanje konkretnih problemov. Pomembne izjave in lastnosti številk so postavljene na police.
Definicija in pomembna dejstva
Planimetrija je veja geometrije, ki obravnava predmete na ravni dvodimenzionalni površini. Nekaj primernih primerov je mogoče identificirati: kvadrat, krog, romb.
Med drugim velja izpostaviti točko in črto. To sta dva osnovna koncepta planimetrije.
Vse drugo je že zgrajeno na njih, na primer:
- Odsek je del premice, omejen z dvema točkama.
- Žarek je predmet, podoben segmentu, vendar ima obrobo samo na eni strani.
- Kot, sestavljen iz dveh žarkov, ki prihajata iz iste točke.
Aksiomi in teoremi
Pobližje si oglejmo aksiome. V planimetriji so to najpomembnejša pravila, po katerih deluje vsa znanost. Da, in ne samo v njej. Avtorpo definiciji so to izjave, ki ne zahtevajo dokazov.
Aksiomi, o katerih bomo razpravljali spodaj, so del tako imenovane evklidske geometrije.
- Obstajata dve piki. Skozi njih je vedno mogoče potegniti eno črto.
- Če linija obstaja, potem obstajajo točke, ki ležijo na njej, in točke, ki ne ležijo na njej.
Ti dve izjavi se imenujeta aksioma članstva, naslednje pa so rednega reda:
- Če so na ravni črti tri točke, mora biti ena od njih med drugima dvema.
- Ravnina je razdeljena s katero koli premico na dva dela. Ko konci segmenta ležijo na eni polovici, ji pripada celoten predmet. V nasprotnem primeru imata prvotna črta in segment presečišče.
Aksiomi mer:
- Vsak segment ima dolžino, ki ni nič. Če jo točka razdeli na več delov, bo njihova vsota enaka celotni dolžini predmeta.
- Vsak kot ima določeno stopnjo, ki ni enaka nič. Če ga razdelite z žarkom, bo začetni kot enak vsoti nastalih.
Vzporedno:
Na ravnini je ravna črta. Skozi katero koli točko, ki ji ne pripada, je mogoče potegniti samo eno ravno črto, vzporedno z dano
Teoremi v planimetriji niso več povsem temeljne izjave. Običajno so sprejeti kot dejstvo, vendar ima vsak od njih dokaz, ki temelji na zgoraj omenjenih osnovnih konceptih. Poleg tega jih je veliko. Vse bo precej težko razstaviti, vendar bo predstavljeni material nekaj vsebovalod njih.
Naslednja dva sta vredna zgodaj odjave:
- Vsota sosednjih kotov je 180 stopinj.
- Navpični koti imajo enako vrednost.
Ta dva izreka sta lahko uporabna pri reševanju geometrijskih problemov, povezanih z n-kotniki. So precej preprosti in intuitivni. Vredno jih je zapomniti.
Trikotniki
Trikotnik je geometrijski lik, sestavljen iz treh zaporedno povezanih segmentov. Razvrščeni so po več kriterijih.
Ob straneh (razmerja izhajajo iz imen):
- enakostranski.
- Enakokraki - dve strani in nasprotni koti sta enaki.
- vsestranski.
Na vogalih:
- ostri kot;
- pravokoten;
- tupo.
Dva kota bosta ne glede na situacijo vedno ostra, tretjega pa določa prvi del besede. To pomeni, da ima pravokotnik enega od kotov enak 90 stopinj.
Lastnosti:
- Večji kot je, večja je nasprotna stran.
- Vsota vseh kotov je 180 stopinj.
- Površino lahko izračunamo s formulo: S=½ ⋅ h ⋅ a, kjer je a stranica, h je višina, ki jo narišemo.
- V trikotnik lahko vedno vpišete krog ali ga opišete okoli njega.
Ena od osnovnih formul planimetrije je Pitagorejev izrek. Deluje izključno za pravokoten trikotnik in zveni takole: kvadrathipotenuza je enaka vsoti kvadratov katete: AB2 =AC2 + BC2.
Hipotenuza je stran, nasprotna kotu 90°, kraki pa sosednja stran.
Quadagons
Na to temo je veliko informacij. Spodaj so le najpomembnejši.
Nekatere sorte:
- Paralelogram - nasprotni strani sta enaki in vzporedni v parih.
- Rhombus je paralelogram, katerega stranice so enake dolžine.
- Pravokotnik - paralelogram s štirimi pravimi koti
- Kvadrat je tako romb kot pravokotnik.
- Trapez - samo dve nasprotni strani sta vzporedni.
Lastnosti:
- Vsota notranjih kotov je 360 stopinj.
- Površino je vedno mogoče izračunati s formulo: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), kjer je p polovica oboda, a, b, c, d so stranice številka.
- Če je okrog štirikotnika mogoče opisati krog, ga imenujem konveksen, če ne - nekonveksen.
