Rotacija teles je ena izmed pomembnih vrst mehanskega gibanja v tehnologiji in naravi. Za razliko od linearnega gibanja je opisano z lastnim nizom kinematičnih značilnosti. Eden od njih je kotni pospešek. To vrednost opisujemo v članku.
Rotacijsko gibanje
Preden govorimo o kotnem pospešku, opišimo vrsto gibanja, za katero se nanaša. Govorimo o rotaciji, ki je gibanje teles po krožnih poteh. Za rotacijo morajo biti izpolnjeni določeni pogoji:
- prisotnost osi ali točke vrtenja;
- prisotnost centripetalne sile, ki bi držala telo v krožni orbiti.
Primeri te vrste gibanja so različne atrakcije, kot je vrtiljak. V inženirstvu se vrtenje kaže v gibanju koles in gredi. V naravi je najbolj presenetljiv primer tovrstnega gibanja vrtenje planetov okoli lastne osi in okoli Sonca. Vlogo centripetalne sile v teh primerih igrajo sile medatomske interakcije v trdnih snoveh in gravitacijske sile.interakcija.
Kinematične značilnosti vrtenja
Te značilnosti vključujejo tri količine: kotni pospešek, kotno hitrost in kot vrtenja. Označili jih bomo z grškimi simboli α, ω oziroma θ.
Ker se telo giblje v krogu, je priročno izračunati kot θ, ki ga bo obrnilo v določenem času. Ta kot je izražen v radianih (redko v stopinjah). Ker ima krog 2 × pi radiana, lahko zapišemo enačbo, ki se nanaša na θ na dolžino loka L zavoja:
L=θ × r
Kjer je r polmer vrtenja. To formulo je enostavno dobiti, če se spomnite ustreznega izraza za obseg.
Kotna hitrost ω, tako kot njen linearni dvojnik, opisuje hitrost vrtenja okoli osi, to pomeni, da je določena v skladu z naslednjim izrazom:
ω¯=d θ / d t
Količina ω¯ je vektorska vrednost. Usmerjen je vzdolž osi vrtenja. Njegova enota je radian na sekundo (rad/s).
Nazadnje, kotni pospešek je fizična lastnost, ki določa hitrost spremembe vrednosti ω¯, ki je matematično zapisana na naslednji način:
α¯=d ω¯/ d t
Vektor α¯ je usmerjen v spreminjanje vektorja hitrosti ω¯. Nadalje bomo rekli, da je kotni pospešek usmerjen proti vektorju momenta sile. Ta vrednost se meri v radianih.kvadratna sekunda (rad/s2).
Moment sile in pospeška
Če se spomnimo Newtonovega zakona, ki povezuje silo in linearni pospešek v eno samo enakost, potem lahko s prenosom tega zakona na primer vrtenja zapišemo naslednji izraz:
M¯=I × α¯
Tukaj je M¯ moment sile, ki je produkt sile, ki se nagiba k vrtenju sistema, pomnožena z vzvodom - razdaljo od točke delovanja sile do osi. Vrednost I je analogna masi telesa in se imenuje vztrajnostni moment. Napisana formula se imenuje enačba trenutkov. Iz nje se lahko kotni pospešek izračuna na naslednji način:
α¯=M¯/ I
Ker je I skalar, je α¯ vedno usmerjen proti delujočemu momentu sile M¯. Smer M¯ je določena s pravilom desne roke ali pravilom gimleta. Vektorja M¯ in α¯ sta pravokotna na ravnino vrtenja. Večji kot je vztrajnostni moment telesa, nižja je vrednost kotnega pospeška, ki ga fiksni moment M¯ lahko prenese sistemu.
Kinematične enačbe
Da bi razumeli pomembno vlogo, ki jo igra kotni pospešek pri opisovanju gibanja vrtenja, zapišimo formule, ki povezujejo kinematične količine, ki smo jih preučevali zgoraj.
V primeru enakomerno pospešenega vrtenja veljajo naslednja matematična razmerja:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Prva formula kaže, da je kotnihitrost se bo sčasoma povečevala po linearnem zakonu. Drugi izraz vam omogoča, da izračunate kot, za katerega se bo telo obrnilo v znanem času t. Graf funkcije θ(t) je parabola. V obeh primerih je kotni pospešek konstanten.
Če uporabimo relacijsko formulo med L in θ, podano na začetku članka, lahko dobimo izraz za α v smislu linearnega pospeška a:
α=a / r
Če je α konstanten, se bo linearni pospešek a z večanjem razdalje od osi vrtenja r sorazmerno povečal. Zato se za vrtenje uporabljajo kotne karakteristike, za razliko od linearnih se ne spreminjajo s povečanjem ali zmanjševanjem r.
Primer težave
Kovinska gred, ki se je vrtela s frekvenco 2000 vrtljajev na sekundo, se je začela upočasniti in se po 1 minuti popolnoma ustavila. Treba je izračunati, s kakšnim kotnim pospeškom je potekal proces upočasnitve gredi. Prav tako morate izračunati število vrtljajev, ki jih je gred naredila pred zaustavitvijo.
Proces upočasnjevanja vrtenja je opisan z naslednjim izrazom:
ω=ω0- α × t
Začetna kotna hitrost ω0 se določi iz vrtilne frekvence f na naslednji način:
ω0=2 × pi × f
Ker poznamo čas pojemka, dobimo vrednost pospeška α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
To številko je treba vzeti z znakom minus,ker govorimo o upočasnitvi sistema, ne o pospeševanju.
Za določitev števila vrtljajev, ki jih bo gred naredila med zaviranjem, uporabite izraz:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376,806 rad.
Dobljena vrednost kota vrtenja θ v radianih se preprosto pretvori v število vrtljajev, ki jih naredi gred, preden se popolnoma ustavi s preprostim deljenjem z 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60.001 obratov.
Tako smo dobili vse odgovore na vprašanja problema: α=-209, 33 rad/s2, n=60.001 vrtljajev.
