Fourierjeva vrsta je predstavitev poljubno prevzete funkcije z določeno obdobjem kot niz. Na splošno se ta rešitev imenuje dekompozicija elementa v ortogonalni osnovi. Razširitev funkcij v Fourierjevo serijo je zaradi lastnosti te transformacije pri integraciji, diferenciaciji in premikanju izraza v argumentu in konvoluciji dokaj močno orodje za reševanje različnih problemov.
Človek, ki ni seznanjen z višjo matematiko, pa tudi z deli francoskega znanstvenika Fourierja, najverjetneje ne bo razumel, kaj so te "vrstice" in čemu služijo. Medtem je ta preobrazba postala precej gosta v našem življenju. Uporabljajo ga ne le matematiki, ampak tudi fiziki, kemiki, zdravniki, astronomi, seizmologi, oceanografi in mnogi drugi. Oglejmo si podrobneje dela velikega francoskega znanstvenika, ki je naredil odkritje pred svojim časom.
Človek in Fourierjeva transformacija
Fourierjeve serije so ena od metod (skupaj z analizo in drugimi) Fourierjeve transformacije. Ta proces se zgodi vsakič, ko oseba sliši zvok. Naše uho samodejno pretvori zvokvalovi. Oscilatorna gibanja elementarnih delcev v elastičnem mediju se razgradijo v vrstice (vzdolž spektra) zaporednih vrednosti glasnosti za tone različnih višin. Nato možgani te podatke spremenijo v zvoke, ki so nam znani. Vse to se dogaja poleg naše želje ali zavesti samo od sebe, a da bi razumeli te procese, bo trajalo nekaj let za študij višje matematike.
Več o Fourierjevi transformaciji
Fourierjevo transformacijo lahko izvedemo z analitičnimi, numeričnimi in drugimi metodami. Fourierjevi nizi se nanašajo na številčni način razgradnje vseh nihajnih procesov - od oceanskih plimovanja in svetlobnih valov do ciklov sončne (in drugih astronomskih objektov) aktivnosti. S temi matematičnimi tehnikami je mogoče analizirati funkcije, ki predstavljajo vse nihajne procese kot niz sinusnih komponent, ki segajo od minimuma do maksimuma in obratno. Fourierjeva transformacija je funkcija, ki opisuje fazo in amplitudo sinusoidov, ki ustrezajo določeni frekvenci. Ta postopek se lahko uporablja za reševanje zelo zapletenih enačb, ki opisujejo dinamične procese, ki nastanejo pod vplivom toplotne, svetlobne ali električne energije. Tudi Fourierjeva serija omogoča izolacijo konstantnih komponent v kompleksnih oscilatornih signalih, kar je omogočilo pravilno interpretacijo pridobljenih eksperimentalnih opazovanj v medicini, kemiji in astronomiji.
Zgodovinsko ozadje
Ustanovni oče te teorijeJean Baptiste Joseph Fourier je francoski matematik. Ta preobrazba je bila pozneje poimenovana po njem. Sprva je znanstvenik uporabil svojo metodo za preučevanje in razlago mehanizmov toplotne prevodnosti - širjenja toplote v trdnih snoveh. Fourier je predlagal, da je začetno nepravilno porazdelitev toplotnega vala mogoče razstaviti na najpreprostejše sinusoide, od katerih bo vsaka imela svoj temperaturni minimum in maksimum ter svojo fazo. V tem primeru se bo vsaka taka komponenta izmerila od najmanjšega do največjega in obratno. Matematična funkcija, ki opisuje zgornji in spodnji vrh krivulje, pa tudi fazo vsake od harmonikov, se imenuje Fourierjeva transformacija izraza porazdelitve temperature. Avtor teorije je splošno porazdelitveno funkcijo, ki jo je težko matematično opisati, zmanjšal na zelo enostavno serijo periodičnih kosinusnih in sinusnih funkcij, ki se seštevajo do prvotne porazdelitve.
Načelo preobrazbe in pogledi sodobnikov
Znanstvenkovi sodobniki - vodilni matematiki zgodnjega devetnajstega stoletja - te teorije niso sprejeli. Glavni ugovor je bila Fourierjeva trditev, da lahko diskontinuirano funkcijo, ki opisuje ravno črto ali prekinjeno krivuljo, predstavimo kot vsoto sinusnih izrazov, ki so neprekinjeni. Kot primer si oglejte Heavisideov "korak": njegova vrednost je nič levo od vrzeli in ena desno. Ta funkcija opisuje odvisnost električnega toka od časovne spremenljivke, ko je vezje zaprto. Sodobniki takratne teorije se s takšnim še niso srečalisituacija, ko bi diskontinuirani izraz opisali s kombinacijo zveznih, običajnih funkcij, kot so eksponentne, sinusoidne, linearne ali kvadratne.
Kaj je francoske matematike zmedlo v Fourierjevi teoriji?
Konec koncev, če je imel matematik prav v svojih izjavah, potem lahko s povzetkom neskončne trigonometrične Fourierjeve serije dobite natančen prikaz koraka izraza, tudi če ima veliko podobnih korakov. Na začetku devetnajstega stoletja se je taka izjava zdela absurdna. Toda kljub vsem dvomom so številni matematiki razširili obseg preučevanja tega pojava in ga presegli iz okvira študij toplotne prevodnosti. Vendar pa se je večina znanstvenikov še naprej mučila nad vprašanjem: "Ali se lahko vsota sinusoidnega niza približa natančni vrednosti diskontinuirane funkcije?"
Konvergenca Fourierjevih vrst: primer
Vprašanje o konvergenci se zastavi vsakič, ko je treba sešteti neskončno vrsto števil. Za razumevanje tega pojava si oglejte klasičen primer. Ali lahko kdaj dosežete steno, če je vsak naslednji korak za polovico manjši od prejšnjega? Recimo, da ste dva metra od cilja, prvi korak vas približa polovici, naslednji meji tri četrtine, po petem pa boste prehodili skoraj 97 odstotkov poti. Vendar ne glede na to, koliko korakov boste naredili, ne boste dosegli želenega cilja v strogem matematičnem smislu. S številčnimi izračuni lahko dokažemo, da se na koncu lahko približamo kolikor hočemo.majhna določena razdalja. Ta dokaz je enakovreden dokazovanju, da bo vsota vrednosti ene polovice, ene četrtine itd. težila k ena.
Vprašanje konvergence: Drugi prihod ali naprava Lorda Kelvina
To vprašanje je bilo večkrat postavljeno ob koncu devetnajstega stoletja, ko so poskušali uporabiti Fourierjeve serije za napovedovanje intenzivnosti oseke in oseke. V tem času je Lord Kelvin izumil napravo, ki je analogna računalniška naprava, ki je mornarjem vojaške in trgovske flote omogočila sledenje temu naravnemu pojavu. Ta mehanizem je določil nize faz in amplitud iz tabele višin plime in njihovih ustreznih časovnih trenutkov, natančno izmerjenih v določenem pristanišču med letom. Vsak parameter je bil sinusna komponenta izraza višine plime in je bil ena od rednih komponent. Rezultate meritev so vnesli v kalkulator Lorda Kelvina, ki je sintetiziral krivuljo, ki je napovedala višino vode kot funkcijo časa za naslednje leto. Zelo kmalu so bile narejene podobne krivulje za vsa pristanišča sveta.
In če je proces prekinjen zaradi prekinjene funkcije?
Takrat se je zdelo očitno, da lahko napovedovalec plimskih valov z velikim številom elementov štetja izračuna veliko število faz in amplitud in tako zagotovi natančnejše napovedi. Kljub temu se je izkazalo, da te pravilnosti ne opazimo v primerih, ko je izraz plimovanja, ki sledisintetizirati, je vseboval oster skok, torej je bil neprekinjen. V primeru, da se v napravo vnesejo podatki iz tabele časovnih trenutkov, potem izračuna več Fourierjevih koeficientov. Prvotna funkcija je obnovljena zahvaljujoč sinusnim komponentam (glede na najdene koeficiente). Neskladje med izvirnim in obnovljenim izrazom je mogoče izmeriti na kateri koli točki. Pri ponavljajočih se izračunih in primerjavah je razvidno, da se vrednost največje napake ne zmanjša. Vendar so lokalizirani v območju, ki ustreza točki prekinitve, in se nagibajo k nič na kateri koli drugi točki. Leta 1899 je ta rezultat teoretično potrdil Joshua Willard Gibbs z univerze Yale.
Konvergenca Fourierjevih vrst in razvoj matematike na splošno
Fourierjeva analiza ni uporabna za izraze, ki vsebujejo neskončno število izbruhov v določenem intervalu. Na splošno se Fourierjevi nizi, če je prvotna funkcija rezultat resnične fizične meritve, vedno konvergirajo. Vprašanja konvergence tega procesa za posebne razrede funkcij so privedla do pojava novih oddelkov v matematiki, na primer teorije posplošenih funkcij. Povezan je z imeni, kot so L. Schwartz, J. Mikusinsky in J. Temple. V okviru te teorije je bila ustvarjena jasna in natančna teoretična podlaga za izraze, kot sta Diracova delta funkcija (opiše območje enega samega območja, skoncentriranega v neskončno majhni soseščini točke) in Heaviside korak«. Zahvaljujoč temu delu je Fourierjeva serija postala uporabna zareševanje enačb in problemov, ki vključujejo intuitivne koncepte: točkovni naboj, točkovno maso, magnetni dipoli, pa tudi koncentrirano obremenitev žarka.
Fourierjeva metoda
Fourierjeve vrste se v skladu z načeli interference začnejo z razgradnjo kompleksnih oblik na enostavnejše. Spremembo toplotnega toka na primer razložimo s prehodom skozi različne ovire iz nepravilne oblike toplotnoizolacijskega materiala ali spremembo zemeljske površine - potres, sprememba orbite nebesnega telesa - vpliv planetov. Praviloma so podobne enačbe, ki opisujejo preproste klasične sisteme, elementarno rešene za vsak posamezen val. Fourier je pokazal, da je mogoče preproste rešitve sešteti, da dobimo rešitve za bolj zapletene probleme. V jeziku matematike je Fourierova vrsta tehnika za predstavljanje izraza kot vsote harmonikov - kosinus in sinusoid. Zato je ta analiza znana tudi kot "harmonična analiza".
Fourierjeva serija - idealna tehnika pred "dobo računalnikov"
Pred nastankom računalniške tehnologije je bila Fourierjeva tehnika najboljše orožje v arzenalu znanstvenikov pri delu z valovno naravo našega sveta. Fourierjeva serija v kompleksni obliki omogoča reševanje ne le preprostih problemov, ki jih je mogoče neposredno uporabiti za zakone Newtonove mehanike, temveč tudi temeljne enačbe. Večino odkritij Newtonove znanosti v devetnajstem stoletju je omogočila le Fourierjeva tehnika.
Fourierjeva serija danes
Z razvojem računalnikov Fourierjeve transformacijedvignila na povsem novo raven. Ta tehnika je trdno zasidrana na skoraj vseh področjih znanosti in tehnologije. Primer je digitalni avdio in video signal. Njegova realizacija je postala mogoča le po zaslugi teorije, ki jo je razvil francoski matematik na začetku devetnajstega stoletja. Tako je Fourierjeva serija v kompleksni obliki omogočila preboj v preučevanju vesolja. Poleg tega je vplival na študij fizike polprevodniških materialov in plazme, mikrovalovne akustike, oceanografije, radarja, seizmologije.
Trigonometrična Fourierjeva serija
V matematiki je Fourierjeva vrsta način predstavitve poljubnih kompleksnih funkcij kot vsote enostavnejših. V splošnih primerih je lahko število takšnih izrazov neskončno. Poleg tega bolj ko se pri izračunu upošteva njihovo število, natančnejši je končni rezultat. Najpogosteje se trigonometrične funkcije kosinusa ali sinusa uporabljajo kot najpreprostejše. V tem primeru se Fourierjevi nizi imenujejo trigonometrični, rešitev takšnih izrazov pa razširitev harmonika. Ta metoda igra pomembno vlogo v matematiki. Prvič, trigonometrična serija zagotavlja sredstvo za sliko, pa tudi za študij funkcij, je glavni aparat teorije. Poleg tega omogoča reševanje številnih problemov matematične fizike. Končno je ta teorija prispevala k razvoju matematične analize, dala je povod za številne zelo pomembne odseke matematične znanosti (teorija integralov, teorija periodičnih funkcij). Poleg tega je služil kot izhodišče za razvoj naslednjih teorij: množice, funkcijerealna spremenljivka, funkcionalna analiza in postavila temelje za harmonično analizo.
