Vsak študent je slišal za okrogel stožec in si predstavlja, kako izgleda ta tridimenzionalna figura. Ta članek opredeljuje razvoj stožca, ponuja formule, ki opisujejo njegove značilnosti, in opisuje, kako ga sestaviti s šestilom, kotomerjem in ravnilo.
Krožni stožec v geometriji
Dajmo geometrijsko definicijo te figure. Okrogel stožec je površina, ki jo tvorijo odseki ravnih črt, ki povezujejo vse točke določenega kroga z eno točko v prostoru. Ta posamezna točka ne sme pripadati ravnini, v kateri leži krog. Če namesto kroga vzamemo krog, potem ta metoda vodi tudi do stožca.
Krog se imenuje osnova figure, njegov obseg je direktrisa. Odseki, ki povezujejo točko z direktriso, se imenujejo generatrike ali generatorji, točka, kjer se sekajo, pa je vrh stožca.
Okrogel stožec je lahko raven in pošev. Obe številki sta prikazani na spodnji sliki.
Razlika med njima je naslednja: če navpičnica z vrha stožca pade točno na središče kroga, bo stožec raven. Zanj je navpičnica, ki ji pravimo višina figure, del njegove osi. V primeru poševnega stožca višina in os tvorita ostri kot.
Zaradi preprostosti in simetrije figure bomo nadalje obravnavali lastnosti le desnega stožca z okroglo osnovo.
Pridobivanje oblike z vrtenjem
Preden nadaljujemo z obravnavo razvoja površine stožca, je koristno vedeti, kako je mogoče to prostorsko figuro dobiti z rotacijo.
Predpostavimo, da imamo pravokoten trikotnik s stranicami a, b, c. Prva dva od njih sta kraka, c je hipotenuza. Na krak a postavimo trikotnik in ga začnimo vrteti okoli kraka b. Hipotenuza c bo nato opisala stožčasto površino. Ta preprosta tehnika stožca je prikazana na spodnjem diagramu.
Očitno bo krak a polmer osnove figure, krak b bo njegova višina, hipotenuza c pa ustreza generatrisi okroglega desnega stožca.
Pogled razvoja stožca
Kot morda ugibate, stožec tvorita dve vrsti površin. Eden od njih je ravni krog. Recimo, da ima polmer r. Druga površina je stranska in se imenuje stožčasta. Naj bo njegov generator enak g.
Če imamo papirnati stožec, lahko vzamemo škarje in iz njega odrežemo osnovo. Nato je treba stožčasto površino razrezativzdolž katere koli generatrike in jo razporedite na ravnino. Na ta način smo dobili razvoj stranske površine stožca. Dve površini, skupaj z izvirnim stožcem, sta prikazani na spodnjem diagramu.
Osnovni krog je upodobljen spodaj desno. V sredini je prikazana razgrnjena stožčasta površina. Izkazalo se je, da ustreza nekemu krožnemu sektorju kroga, katerega polmer je enak dolžini generatrike g.
Zamik kota in površine
Zdaj dobimo formule, ki nam z uporabo znanih parametrov g in r omogočajo izračun površine in kota stožca.
Očitno ima lok krožnega sektorja, prikazanega zgoraj na sliki, dolžino, ki je enaka obodu osnove, to je:
l=2pir.
Če bi bil zgrajen cel krog s polmerom g, bi bila njegova dolžina:
L=2pig.
Ker dolžina L ustreza radianom 2pi, lahko kot, na katerem leži lok l, določimo iz ustreznega razmerja:
L==>2pi;
l==> φ.
Takrat bo neznani kot φ enak:
φ=2pil/L.
Z zamenjavo izrazov za dolžini l in L pridemo do formule za kot razvoja stranske površine stožca:
φ=2pir/g.
Kot φ tukaj je izražen v radianih.
Za določitev površine Sbkrožnega sektorja bomo uporabili najdeno vrednost φ. Naredimo še en delež, samo za površine. Imamo:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Od kod izraziti Sb, nato pa nadomestite vrednost kota φ. Dobimo:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Za površino stožčaste površine smo dobili dokaj kompaktno formulo. Vrednost Sb je enaka zmnožku treh faktorjev: pi, polmera figure in njene generatrike.
Potem bo površina celotne površine figure enaka vsoti Sb in So (krožno osnovna površina). Dobimo formulo:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Izdelava zamaha stožca na papir
Za dokončanje te naloge potrebujete kos papirja, svinčnik, kotomer, ravnilo in kompas.
Najprej narišemo pravokoten trikotnik s stranicami 3 cm, 4 cm in 5 cm. Njegovo vrtenje okoli kraka 3 cm bo dalo želeni stožec. Številka ima r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Izdelava pometa se bo začela z risanjem kroga s polmerom r s kompasom. Njegova dolžina bo enaka 6pi cm. Zdaj bomo poleg njega narisali še en krog, vendar s polmerom g. Njegova dolžina bo ustrezala 10pi cm. Zdaj moramo iz velikega kroga odrezati krožni sektor. Njegov kot φ je:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Zdaj ta kot s kotomerjem odstavimo na krogu s polmerom g in narišemo dva polmera, ki bosta omejila krožni sektor.
TorejTako smo zgradili razvoj stožca z določenimi parametri polmera, višine in generatrike.
Primer reševanja geometrijske težave
Dano je okrogel ravni stožec. Znano je, da je kot njegovega bočnega zamaha 120o. Treba je najti polmer in generatriko te figure, če je znano, da je višina h stožca 10 cm.
Naloga ni težka, če se spomnimo, da je okrogel stožec figura vrtenja pravokotnega trikotnika. Iz tega trikotnika sledi nedvoumno razmerje med višino, polmerom in generatriko. Napišimo ustrezno formulo:
g2=h2+ r2.
Drugi izraz, ki se uporablja pri reševanju, je formula za kot φ:
φ=2pir/g.
Tako imamo dve enačbi, ki povezujeta dve neznani količini (r in g).
Izrazite g iz druge formule in rezultat nadomestite s prvo, dobimo:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Kot φ=120o v radianih je 2pi/3. To vrednost nadomestimo, dobimo končne formule za r in g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Nadomestimo še vrednost višine in dobimo odgovor na problem: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
