Kaj je to - stožec? Definicija, lastnosti, formule in primer reševanja problema

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Stožec je ena od prostorskih figur vrtenja, katere značilnosti in lastnosti preučuje stereometrija. V tem članku bomo definirali to sliko in upoštevali osnovne formule, ki povezujejo linearne parametre stožca z njegovo površino in prostornino.

Kaj je stožec?

Z vidika geometrije govorimo o prostorski figuri, ki jo tvori niz ravnih segmentov, ki povezujejo določeno točko v prostoru z vsemi točkami gladke ravne krivulje. Ta krivulja je lahko krog ali elipsa. Spodnja slika prikazuje stožec.

Predstavljena slika nima prostornine, saj imajo stene njene površine neskončno majhno debelino. Če pa je napolnjena s snovjo in od zgoraj omejena z krivuljo, ampak z ravno figuro, na primer krogom, potem bomo dobili trdno volumetrično telo, ki ga običajno imenujemo tudi stožec.

Obliko stožca lahko pogosto najdemo v življenju. Torej ima sladoledni kornet ali črtaste črno-oranžne prometne stožce, ki so postavljeni na cestišče, da pritegnejo pozornost udeležencev v prometu.

Elementi stožca in njegove vrste

Ker stožec ni polieder, število elementov, ki ga tvorijo, ni tako veliko kot za poliedre. V geometriji je splošni stožec sestavljen iz naslednjih elementov:

• osnova, katere mejna krivulja se imenuje direktrisa ali generatrika;
• bočne ploskve, ki je zbirka vseh točk ravnih odsekov (generatric), ki povezujejo vrh in točke vodilne krivulje;
• vertex, ki je presečišče generatrik.

Upoštevajte, da vrh ne sme ležati v ravnini osnove, saj se v tem primeru stožec izrodi v ravno figuro.

Če narišemo pravokoten segment od vrha do osnove, bomo dobili višino figure. Če se zadnja osnova seka v geometrijskem središču, je to ravni stožec. Če navpičnica ne sovpada z geometrijskim središčem osnove, bo figura nagnjena.

Na sliki sta prikazani ravni in poševni stožci. Tukaj sta višina in polmer osnove stožca označena s h oziroma r. Črta, ki povezuje vrh figure in geometrijsko središče osnove, je os stožca. Iz slike je razvidno, da pri ravni figuri višina leži na tej osi, pri nagnjeni figuri pa višina tvori kot z osjo. Os stožca je označena s črko a.

Rav stožec z okroglo osnovo

Morda je ta stožec najpogostejši v obravnavanem razredu figur. Sestavljen je iz kroga in stranicepovršine. Z geometrijskimi metodami ga ni težko dobiti. Če želite to narediti, vzemite pravokoten trikotnik in ga zavrtite okoli osi, ki sovpada z eno od nog. Očitno bo ta noga postala višina figure, dolžina drugega kraka trikotnika pa tvori polmer osnove stožca. Spodnji diagram prikazuje opisano shemo za pridobitev zadevne številke vrtenja.

Upodobljeni trikotnik lahko zavrtite okoli drugega kraka, kar bo povzročilo stožec z večjim osnovnim polmerom in nižjo višino od prvega.

Za nedvoumno določitev vseh parametrov okroglega ravnega stožca je treba poznati kateri koli dve njegovi linearni značilnosti. Med njimi ločimo polmer r, višino h ali dolžino generatrike g. Vse te količine so dolžine stranic obravnavanega pravokotnega trikotnika, zato za njihovo povezavo velja Pitagorov izrek:

g²=r²+ h^2.

površina

Pri preučevanju površine katere koli tridimenzionalne figure je priročno uporabiti njen razvoj na ravnini. Stožec ni izjema. Za okrogli stožec je razvoj prikazan spodaj.

Vidimo, da je razplet figure sestavljen iz dveh delov:

1. Krog, ki tvori osnovo stožca.
2. Sektor kroga, ki je stožčasta površina figure.

Območje kroga je enostavno najti, ustrezna formula pa je znana vsakemu učencu. Ko govorimo o krožnem sektorju, ugotavljamo, da jeje del kroga s polmerom g (dolžina generatrike stožca). Dolžina loka tega sektorja je enaka obodu osnove. Ti parametri omogočajo nedvoumno določitev njegovega območja. Ustrezna formula je:

S=pir2+ pirg.

Prvi in drugi izraz v izrazu sta stožec osnove oziroma stranska površina površine.

Če dolžina generatorja g ni znana, vendar je podana višina h slike, lahko formulo prepišemo kot:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Obseg figure

Če vzamemo ravno piramido in povečamo število stranic njene osnove v neskončnosti, bo oblika osnove težila k krogu, stranska površina piramide pa se bo približala stožčasti površini. Ti premisleki nam omogočajo, da pri izračunu podobne vrednosti za stožec uporabimo formulo za prostornino piramide. Volumen stožca lahko najdete s formulo:

V=1/3hS_o.

Ta formula je vedno resnična, ne glede na to, kakšna je osnova stožca, ki ima površino S_{o. Poleg tega formula velja tudi za poševni stožec.}

Ker preučujemo lastnosti ravne figure z okroglo osnovo, lahko uporabimo naslednji izraz za določitev njene prostornine:

V=1/3hpir2.

Formula je očitna.

Problem pri iskanju površine in prostornine

Najdamo stožec, katerega polmer je 10 cm, dolžina generatrike pa 20glej Treba je določiti prostornino in površino za to obliko.

Za izračun površine S lahko takoj uporabite zgoraj napisano formulo. Imamo:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Za določitev prostornine morate poznati višino h figure. Izračunamo ga z uporabo razmerja med linearnimi parametri stožca. Dobimo:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Zdaj lahko uporabite formulo za V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83 cm}3^.

Upoštevajte, da je prostornina okroglega stožca ena tretjina valja, v katerega je vpisan.