Če je linearno gibanje teles opisano v klasični mehaniki z uporabo Newtonovih zakonov, se značilnosti gibanja mehanskih sistemov vzdolž krožnih poti izračunajo s posebnim izrazom, ki se imenuje enačba momentov. O katerih trenutkih govorimo in kakšen je pomen te enačbe? Ta in druga vprašanja so razkrita v članku.
trenutek sile
Vsakdo se dobro zaveda Newtonove sile, ki, ki deluje na telo, vodi k temu, da mu daje pospešek. Ko taka sila deluje na predmet, ki je pritrjen na določeno os vrtenja, se ta značilnost običajno imenuje moment sile. Enačbo momenta sile lahko zapišemo na naslednji način:
M¯=L¯F¯
Slika, ki pojasnjuje ta izraz, je prikazana spodaj.
Tukaj lahko vidite, da je sila F¯ usmerjena na vektor L¯ pod kotom Φ. Predpostavlja se, da je sam vektor L¯ usmerjen od osi vrtenja (označene s puščico) do točke uporabeF¯.
Zgornja formula je produkt dveh vektorjev, zato je M¯ tudi usmerjen. Kam se bo obrnil moment sile M¯? To je mogoče določiti s pravilom desne roke (štirje prsti so usmerjeni vzdolž poti od konca vektorja L¯ do konca F¯, levi palec pa označuje smer M¯).
Na zgornji sliki bo izraz za trenutek sile v skalarni obliki imel obliko:
M=LFsin(Φ)
Če natančno pogledate sliko, lahko vidite, da je Lsin(Φ)=d, potem imamo formulo:
M=dF
Vrednost d je pomembna značilnost pri izračunu momenta sile, saj odraža učinkovitost uporabljenega F v sistemu. Ta vrednost se imenuje vzvod sile.
Fizični pomen M je v sposobnosti sile, da zavrti sistem. Vsakdo lahko začuti to sposobnost, če vrata odpre za kljuko, jih potisne v bližino tečajev ali če poskuša s kratkim in dolgim ključem odviti matico.
Ravnotežje sistema
Koncept momenta sile je zelo uporaben, če upoštevamo ravnotežje sistema, na katerega deluje več sil in ima os ali točko vrtenja. V takih primerih uporabite formulo:
∑iMi¯=0
To pomeni, da bo sistem v ravnotežju, če je vsota vseh momentov sil, ki delujejo nanj, enaka nič. Upoštevajte, da je v tej formuli za trenutek vektorski predznak, torej pri reševanju ne smete pozabiti upoštevati predznaka tegakoličine. Splošno sprejeto pravilo je, da delujoča sila, ki vrti sistem v nasprotni smeri urnega kazalca, ustvari pozitivno Mi¯.
Presenetljiv primer tovrstnih težav so težave z ravnotežjem Arhimedovih vzvodov.
trenutek zagona
To je še ena pomembna značilnost krožnega gibanja. V fiziki je opisan kot produkt zagona in vzvoda. Enačba zagona izgleda takole:
T¯=r¯p¯
Tukaj je p¯ vektor zagona, r¯ vektor, ki povezuje vrtečo se materialno točko z osjo.
Spodnja slika ponazarja ta izraz.
Tukaj je ω kotna hitrost, ki se bo pojavila naprej v trenutni enačbi. Upoštevajte, da smer vektorja T¯ najdemo po istem pravilu kot M¯. Na zgornji sliki bo smer T¯ sovpadala z vektorjem kotne hitrosti ω¯.
Fizični pomen T¯ je enak lastnostim p¯ v primeru linearnega gibanja, t.j. kotni moment opisuje količino rotacijskega gibanja (shranjena kinetična energija).
moment vztrajnosti
Tretja pomembna lastnost, brez katere ni mogoče oblikovati enačbe gibanja vrtečega se predmeta, je vztrajnostni moment. V fiziki se pojavi kot rezultat matematičnih transformacij formule za kotni moment materialne točke. Pokažimo vam, kako se to naredi.
Predstavljajmo si vrednostT¯ kot sledi:
T¯=r¯mv¯, kjer je p¯=mv¯
Z uporabo razmerja med kotno in linearno hitrostjo lahko ta izraz prepišemo na naslednji način:
T¯=r¯mr¯ω¯, kjer je v¯=r¯ω¯
Zadnji izraz zapišite na naslednji način:
T¯=r2mω¯
Vrednost r2m je vztrajnostni moment I za točko mase m, ki naredi krožno gibanje okoli osi na razdalji r od nje. Ta poseben primer nam omogoča, da uvedemo splošno enačbo vztrajnostnega momenta za telo poljubne oblike:
I=∫m (r2dm)
I je aditivna količina, katere pomen je v vztrajnosti vrtljivega sistema. Večji kot je I, težje je zavrteti telo, zato je potrebno veliko truda, da ga ustavite.
Enačba trenutka
Upoštevali smo tri količine, katerih ime se začne z besedo "trenutek". To je bilo storjeno namerno, saj so vsi povezani v en izraz, imenovan 3-momentna enačba. Spravimo ga ven.
Upoštevajte izraz za kotni moment T¯:
T¯=Iω¯
Ugotovite, kako se vrednost T¯ spreminja v času, imamo:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Glede na to, da je izvod kotne hitrosti enak izvodu linearne hitrosti, deljene z r, in razširimo vrednost I, pridemo do izraza:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, kjer je a¯=dv¯/dt linearni pospešek.
Upoštevajte, da produkt mase in pospeška ni nič drugega kot delujoča zunanja sila F¯. Kot rezultat dobimo:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Prišli smo do zanimivega zaključka: sprememba kotne količine je enaka momentu delujoče zunanje sile. Ta izraz je običajno napisan v nekoliko drugačni obliki:
M¯=Iα¯, kjer je α¯=dω¯/dt - kotni pospešek.
Ta enakost se imenuje enačba trenutkov. Omogoča vam izračun katere koli značilnosti vrtljivega telesa, pri čemer poznate parametre sistema in velikost zunanjega vpliva nanj.
Zakon o ohranjanju T¯
Sklep, pridobljen v prejšnjem odstavku, kaže, da če je zunanji moment sil enak nič, se kotna količina ne bo spremenila. V tem primeru zapišemo izraz:
T¯=konst. ali I1ω1¯=I2ω2 ¯
Ta formula se imenuje zakon ohranitve T¯. To pomeni, da nobene spremembe v sistemu ne spremenijo skupnega kotnega momenta.
To dejstvo uporabljajo umetnostni drsalci in balerine med svojimi nastopi. Uporablja se tudi, če je treba vrteti umetni satelit, ki se giblje v prostoru okoli svoje osi.
