Proučevanje lastnosti plinskega agregatnega stanja snovi je eno od pomembnih področij sodobne fizike. Če upoštevamo pline v mikroskopskem merilu, lahko dobimo vse makroskopske parametre sistema. Ta članek bo razkril pomembno vprašanje molekularno kinetične teorije plinov: kakšna je Maxwellova porazdelitev molekul glede na hitrosti.
Zgodovinsko ozadje
Zamisel o plinu kot sistemu mikroskopskih gibljivih delcev izvira iz stare Grčije. Znanost je potrebovala več kot 1700 let, da ga je razvila.
Ustanovitelj sodobne molekularno-kinetične teorije (MKT) plina je pošteno upoštevati Daniila Bernoullija. Leta 1738 je objavil delo "Hidrodinamika". V njem je Bernoulli orisal ideje MKT, ki se uporabljajo do danes. Torej je znanstvenik verjel, da so plini sestavljeni iz delcev, ki se naključno premikajo v vse smeri. Številni trkidelce s stenami posode dojemamo kot prisotnost tlaka v plinih. Hitrosti delcev so tesno povezane s temperaturo sistema. Znanstvena skupnost ni sprejela Bernoullijevih drznih idej, ker zakon o ohranjanju energije še ni bil vzpostavljen.
Pozneje so se številni znanstveniki ukvarjali z gradnjo kinetičnega modela plinov. Med njimi je treba izpostaviti Rudolfa Clausiusa, ki je leta 1857 ustvaril preprost model plina. V njem je znanstvenik posebno pozornost namenil prisotnosti translacijskih, rotacijskih in vibracijskih stopenj svobode v molekulah.
Leta 1859, ko je preučeval Clausiusovo delo, je James Maxwell oblikoval tako imenovano Maxwellovo porazdelitev po molekulskih hitrostih. Pravzaprav je Maxwell potrdil ideje MKT in jih podprl z matematičnim aparatom. Nato je Ludwig Boltzmann (1871) posplošil zaključke Maxwellove porazdelitve. Predlagal je bolj splošno statistično porazdelitev molekul po hitrostih in energijah. Trenutno je znana kot Maxwell-Boltzmannova distribucija.
Idealni plin. Osnovni postulati ILC
Če želite razumeti, kaj je Maxwellova distribucijska funkcija, morate jasno razumeti sisteme, za katere se ta funkcija uporablja. Govorimo o idealnem plinu. V fiziki se ta koncept razume kot tekoča snov, ki je sestavljena iz praktično brezdimenzijskih delcev, ki nimajo potencialne energije. Ti delci se gibljejo z veliko hitrostjo, zato je njihovo obnašanje v celoti odvisno od kinetične energije. Poleg tega so razdalje med delci prevelike zav primerjavi z njihovimi velikostmi, zato so slednje zanemarjene.
Idealni plini so opisani v MKT. Njegovi glavni postulati so naslednji:
- plinski sistemi so sestavljeni iz ogromnega števila prostih delcev;
- delci se naključno premikajo z različnimi hitrostmi v različnih smereh vzdolž ravnih poti;
- delci elastično trčijo v stene posode (verjetnost, da se delci med seboj trčijo, je majhna zaradi majhne velikosti);
- Temperatura sistema je enolično določena s povprečno kinetično energijo delcev, ki se ohrani v času, če je v sistemu vzpostavljeno termodinamično ravnotežje.
Maxwellov zakon o distribuciji
Če bi imel človek instrument, s katerim bi bilo mogoče izmeriti hitrost ene same plinske molekule, bi bil po izvedbi ustreznega poskusa presenečen. Eksperiment bi pokazal, da se vsaka molekula katerega koli plinskega sistema giblje s popolnoma poljubno hitrostjo. V tem primeru bi v okviru enega sistema v toplotnem ravnovesju z okoljem zaznali tako zelo počasne kot zelo hitre molekule.
Maxwellov zakon o porazdelitvi hitrosti molekul plina je orodje, ki vam omogoča, da določite verjetnost zaznavanja delcev z dano hitrostjo v v preučevanem sistemu. Ustrezna funkcija izgleda takole:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
V tem izrazu m -masa delcev (molekule), k - Boltzmannova konstanta, T - absolutna temperatura. Torej, če je znana kemijska narava delcev (vrednost m), potem je funkcija f(v) enolično določena z absolutno temperaturo. Funkcija f(v) se imenuje gostota verjetnosti. Če iz nje vzamemo integral za neko omejitev hitrosti (v; v+dv), potem dobimo število delcev Ni, ki imajo hitrosti v določenem intervalu. V skladu s tem, če vzamemo integral verjetnostne gostote f(v) za meje hitrosti od 0 do ∞, dobimo skupno število molekul N v sistemu.
Grafični prikaz gostote verjetnosti f(v)
Funkcija gostote verjetnosti ima nekoliko zapleteno matematično obliko, zato ni enostavno predstaviti njenega obnašanja pri določeni temperaturi. Ta problem je mogoče rešiti, če ga prikažete na dvodimenzionalnem grafu. Shematski pogled grafa porazdelitve Maxwell je prikazan spodaj na sliki.
Vidimo, da se začne od nič, saj hitrost v molekul ne more imeti negativnih vrednosti. Graf se konča nekje v območju visokih hitrosti in gladko pada na nič (f(∞)->0). Presenetljiva je tudi naslednja značilnost: gladka krivulja je asimetrična, pri majhnih hitrostih se močneje zmanjšuje.
Pomembna značilnost obnašanja funkcije gostote verjetnosti f(v) je prisotnost enega izrazitega maksimuma na njej. Glede na fizični pomen funkcije ta maksimum ustreza najverjetnejši vrednosti hitrosti molekul v plinusistem.
Pomembne hitrosti za funkcijo f(v)
Funkcija gostote verjetnosti f(v) in njen grafični prikaz nam omogočata, da definiramo tri pomembne vrste hitrosti.
Prva vrsta hitrosti, ki je očitna in je bila omenjena zgoraj, je najverjetnejša hitrost v1. Na grafu njena vrednost ustreza maksimumu funkcije f(v). Prav ta hitrost in vrednosti, ki so ji blizu, bodo imele večino delcev sistema. Izračunati ga ni težko, za to je dovolj, da vzamemo prvi izvod glede na hitrost funkcije f(v) in ga izenačimo z nič. Kot rezultat teh matematičnih operacij dobimo končni rezultat:
v1=√(2RT/M).
Tukaj je R univerzalna plinska konstanta, M je molska masa molekul.
Druga vrsta hitrosti je njena povprečna vrednost za vseh N delcev. Označimo ga v2. Lahko se izračuna z integracijo funkcije vf(v) po vseh hitrostih. Rezultat omenjene integracije bo naslednja formula:
v2=√(8RT/(piM)).
Ker je razmerje 8/pi>2, je povprečna hitrost vedno nekoliko višja od najverjetnejše.
Vsak človek, ki se malo spozna na fiziko, razume, da mora biti povprečna hitrost v2 molekul zelo pomembna v plinskem sistemu. Vendar je to napačna domneva. Veliko bolj pomembna je RMS hitrost. Označimo gav3.
Po definiciji je povprečna kvadratna hitrost vsota kvadratov posameznih hitrosti vseh delcev, deljena s številom teh delcev in vzeta kot kvadratni koren. Za Maxwellovo porazdelitev jo lahko izračunamo, če definiramo integral po vseh hitrostih funkcije v2f(v). Formula za povprečno kvadratno hitrost bo imela obliko:
v3=√(3RT/M).
Enakost kaže, da je ta hitrost večja od v2 in v1 za kateri koli plinski sistem.
Tako vse obravnavane vrste hitrosti na grafu Maxwellove porazdelitve ležijo bodisi na ekstremumu bodisi desno od njega.
Pomen v3
Zgoraj je bilo omenjeno, da je povprečna kvadratna hitrost pomembnejša za razumevanje fizikalnih procesov in lastnosti plinskega sistema kot preprosta povprečna hitrost v2. To je res, saj je kinetična energija idealnega plina odvisna natančno od v3 in ne od v2.
Če upoštevamo enoatomski idealni plin, potem zanj velja naslednji izraz:
mv32/2=3/2kT.
Tukaj vsak del enačbe predstavlja kinetično energijo enega delca mase m. Zakaj izraz vsebuje točno vrednost v3 in ne povprečne hitrosti v2? Zelo preprosto: pri določanju kinetične energije vsakega delca se njegova posamezna hitrost v kvadratu, nato pa vse hitrostiseštejejo in delijo s številom delcev N. To pomeni, da sam postopek določanja kinetične energije vodi do vrednosti srednje kvadratne hitrosti.
Odvisnost funkcije f(v) od temperature
Zgoraj smo ugotovili, da je gostota verjetnosti molekularnih hitrosti enolično odvisna od temperature. Kako se bo funkcija spremenila, če se T poveča ali zmanjša? Spodnja tabela bo pomagala odgovoriti na to vprašanje.
Vidimo, da segrevanje zaprtega sistema vodi do razmazovanja vrha in njegovega premika proti višjim hitrostim. Povečanje temperature vodi do povečanja vseh vrst hitrosti in do zmanjšanja gostote verjetnosti vsake od njih. Najvišja vrednost se zmanjša zaradi ohranjanja števila delcev N v zaprtem sistemu.
Naprej bomo rešili nekaj težav za utrjevanje prejetega teoretičnega gradiva.
Problem z molekulami dušika v zraku
Potrebno je izračunati hitrosti v1, v2 in v3 za zračni dušik pri temperaturi 300 K (približno 27 oC).
Molarna masa dušika N2 je 28 g/mol. Z uporabo zgornjih formul dobimo:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Težava s rezervoarjem za kisik
Kisik v jeklenki je bil pri določeni temperaturi T1. Nato smo balon postavili v hladnejši prostor. Kako se bo spremenila grafika porazdelitve hitrosti Maxwella za molekule kisika, ko bo sistem prišel v termodinamično ravnotežje?
Če se spomnimo teorije, lahko na vprašanje problema odgovorimo na ta način: vrednosti vseh vrst hitrosti molekul se bodo zmanjšale, vrh funkcije f(v) se bo premaknil v levo, postajati vse ožji in višji.
