Pri besedi "neskončnost" ima vsaka oseba svoje asociacije. Mnogi v svoji domišljiji narišejo morje, ki sega onkraj obzorja, drugi pa imajo pred očmi sliko neskončnega zvezdnega neba. Matematiki, vajeni delovanja s številkami, si neskončnost predstavljajo povsem drugače. Dolga stoletja so poskušali najti največjo od fizikalnih veličin, potrebnih za merjenje. Eno izmed njih je Grahamovo število. Koliko ničel je v njem in za kaj se uporablja, bo povedal ta članek.
Neskončno veliko število
V matematiki je to ime takšne spremenljivke x , če je za katero koli pozitivno število M mogoče določiti naravno število N tako, da je za vsa števila n večja od N neenakost |x | > M. Nobenega, na primer, celega števila Z ni mogoče šteti za neskončno veliko, saj bo vedno manjše od (Z + 1).
Nekaj besed o "velikanih"
Največja števila, ki imajo fizični pomen, se štejejo za:
- 1080. To število, ki se običajno imenuje quinquavigintilion, se uporablja za označevanje približnega števila kvarkov in leptonov (najmanjših delcev) v vesolju.
- 1 Google. Takšno število v decimalnem sistemu je zapisano kot enota s 100 ničlami. Po nekaterih matematičnih modelih naj bi od časa velikega poka do eksplozije najmasivnejše črne luknje minilo od 1 do 1,5 googolovega leta, po katerem bo naše vesolje prešlo v zadnjo stopnjo svojega obstoja, tj. domnevamo, da ima ta številka določen fizični pomen.
- 8, 5 x 10185. Planckova konstanta je 1,616199 x 10-35 m, torej v decimalnem zapisu izgleda kot 0,0000000000000000000000000000616199 m. V inču je približno 1 googol Planck dolžina. Ocenjuje se, da lahko približno 8,5 x 10185 Planckove dolžine ustrezajo našemu celotnemu vesolju.
- 277 232 917 – 1. To je največje znano praštevilo. Če ima njegov binarni zapis dokaj kompaktno obliko, bo za prikaz v decimalni obliki potreboval najmanj 13 milijonov znakov. Najden je bil leta 2017 kot del projekta za iskanje Mersennovih številk. Če bodo navdušenci še naprej delali v tej smeri, potem na trenutni ravni razvoja računalniške tehnologije v bližnji prihodnosti verjetno ne bodo mogli najti Mersennovega števila za red velikosti, večje od 277 232 917- 1, čeprav takosrečni nagrajenec bo prejel 150.000 USD.
- Hugoplex. Tukaj samo vzamemo 1 in za njo dodamo ničle v količini 1 googol. To število lahko zapišete kot 10^10^100. Nemogoče ga je predstaviti v decimalni obliki, ker če je ves prostor vesolja napolnjen s kosi papirja, na vsakem od katerih bi bila napisana 0 z velikostjo pisave "Word" 10, potem je v tem primeru le polovica vse 0 za 1 bi bile pridobljene za googolplex številko.
- 10^10^10^10^10^1.1. To je število, ki kaže število let, po katerih se bo po Poincaréjevem izreku naše Vesolje zaradi naključnih kvantnih nihanj vrnilo v stanje, ki je blizu današnjemu.
Kako so nastale Grahamove številke
Leta 1977 je znani popularizator znanosti Martin Gardner v reviji Scientific American objavil članek o Grahamovem dokazu enega od problemov Ramsejeve teorije. V njem je mejo, ki jo je postavil znanstvenik, imenoval največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v resnem matematičnem sklepanju.
Kdo je Ronald Lewis Graham
Znanstvenik, zdaj v svojih 80-ih, se je rodil v Kaliforniji. Leta 1962 je doktoriral iz matematike na Univerzi Berkeley. V Bell Labs je delal 37 let, kasneje pa se je preselil v AT&T Labs. Znanstvenik je aktivno sodeloval z enim največjih matematikov 20. stoletja Palom Erdősom in je dobitnik številnih prestižnih nagrad. Grahamova znanstvena bibliografija vsebuje več kot 320 znanstvenih člankov.
Sredi 70-ih je znanstvenika zanimal problem, povezan s teorijoRamsey. V njenem dokazu je bila določena zgornja meja rešitve, ki je zelo veliko število, ki je pozneje poimenovano po Ronaldu Grahamu.
Hypercube problem
Če želite razumeti bistvo Grahamove številke, morate najprej razumeti, kako je bila pridobljena.
Znanstvenik in njegov kolega Bruce Rothschild sta reševala naslednji problem:
Obstaja n-dimenzionalna hiperkocka. Vsi pari njegovih vozlišč so povezani tako, da dobimo popoln graf z 2točki. Vsak njen rob je obarvan modro ali rdeče. Treba je bilo najti najmanjše število vozlišč, ki jih mora imeti hiperkocka, tako da vsaka taka barva vsebuje popoln monokromatski podgraf s 4 točki, ki ležijo v isti ravnini.
odločitev
Graham in Rothschild sta dokazala, da ima problem rešitev N', ki izpolnjuje pogoj 6 ⩽ N' ⩽N, kjer je N dobro definirano, zelo veliko število.
Spodnjo mejo za N so pozneje izpopolnili drugi znanstveniki, ki so dokazali, da mora biti N večje ali enako 13. Tako je izraz za najmanjše število vozlišč hiperkocke, ki izpolnjuje zgoraj predstavljene pogoje, postal 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuthova puščica
Pred definiranjem Grahamovega števila se morate seznaniti z metodo njegove simbolične predstavitve, saj niti decimalni niti dvojiški zapis za to nista povsem primerna.
Trenutno se za predstavitev te količine uporablja Knuthova oznaka puščice. Po njenem mnenju:
ab=a "puščica navzgor" b.
Za operacijo večkratnega eksponentiranja je bil uveden vnos:
a "puščica navzgor" "puščica navzgor" b=ab="stolp, sestavljen iz a v količini b kosov."
In za pentacijo, to je simbolno označevanje ponavljajoče se stopnjevanja prejšnjega operaterja, je Knuth že uporabil 3 puščice.
Z uporabo tega zapisa za Grahamovo število imamo zaporedja "puščice" ugnezdena eno v drugo, v količini 64 kosov.
Lestvica
Njuno slavno število, ki vznemirja domišljijo in širi meje človeške zavesti ter ga popelje onkraj meja vesolja, so ga Graham in njegovi sodelavci dobili kot zgornjo mejo za število N v dokazu hiperkocke zgoraj predstavljena težava. Navadnemu človeku je izjemno težko predstavljati, kako velik je njegov obseg.
Vprašanje o številu znakov ali, kot se včasih zmotno reče, ničel v Grahamovem številu, zanima skoraj vsakogar, ki za to vrednost sliši prvič.
Zadostuje, da imamo opravka s hitro rastočim zaporedjem, ki ga sestavlja 64 članov. Celo njenega prvega izraza si je nemogoče predstavljati, saj je sestavljen iz n "stolpov", sestavljenih iz 3-do. Že njena "spodnja etaža" 3 trojk je enaka 7.625.597.484.987, torej presega 7 milijard, se pravi o 64. nadstropju (ni član!). Tako je trenutno nemogoče natančno reči, kaj je Grahamovo število, saj ni dovolj, da ga izračunamo.skupna moč vseh računalnikov, ki danes obstajajo na Zemlji.
rekord pokvarjen?
V procesu dokazovanja Kruskalovega izreka je bila Grahamova številka “vržena s podstavka”. Znanstvenik je predlagal naslednji problem:
Obstaja neskončno zaporedje končnih dreves. Kruskal je dokazal, da vedno obstaja del nekega grafa, ki je hkrati del večjega grafa in njegova natančna kopija. Ta izjava ne vzbuja nobenega dvoma, saj je očitno, da bo v neskončnosti vedno obstajala natančno ponavljajoča se kombinacija
Pozneje je Harvey Friedman ta problem nekoliko zožil z upoštevanjem le takšnih acikličnih grafov (dreves), da je za določen s koeficientom i največ (i + k) vozlišč. Odločil se je ugotoviti, kakšno naj bo število acikličnih grafov, da bo s to metodo njihove naloge vedno mogoče najti poddrevo, ki bi bilo vgrajeno v drugo drevo.
Kot rezultat raziskav o tem vprašanju je bilo ugotovljeno, da N, odvisno od k, raste z izjemno hitrostjo. Zlasti, če je k=1, potem je N=3. Vendar pri k=2 N že doseže 11. Najbolj zanimivo se začne, ko je k=3. V tem primeru N hitro "vzpne" in doseže vrednost, ki je večkrat večje od Grahamovega števila. Če si želite predstavljati, kako velik je, je dovolj, da zapišete številko, ki jo je izračunal Ronald Graham v obliki G64 (3). Potem bo vrednost Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)) reda G(G(187196)). Z drugimi besedami, dobi se megavrednost, ki je neskončno večjanepredstavljivo veliko Grahamovo število. Hkrati pa bo tudi to ogromnokrat manj kot neskončnost. O tem konceptu je smiselno govoriti podrobneje.
Infinity
Zdaj, ko smo razložili, kaj je Grahamovo število na prstih, bi morali razumeti pomen, ki je bil in se vlaga v ta filozofski koncept. Navsezadnje lahko "neskončnost" in "neskončno veliko število" v določenem kontekstu štejemo za enaka.
Največji prispevek k preučevanju tega vprašanja je dal Aristotel. Veliki mislec antike je neskončnost delil na potencialno in dejansko. S slednjim je mislil na resničnost obstoja neskončnih stvari.
Po Aristotelu so viri idej o tem temeljnem konceptu:
- čas;
- ločitev vrednosti;
- koncept meje in obstoj nečesa onkraj nje;
- neizčrpnost ustvarjalne narave;
- razmišljanje, ki nima meja.
V sodobni interpretaciji neskončnosti ne morete določiti kvantitativne mere, zato lahko iskanje največjega števila traja večno.
Sklep
Ali je mogoče metaforo »Pogled v neskončnost« in Grahamovo število v nekem smislu šteti za sinonima? Raje da in ne. Oboje si je nemogoče predstavljati, tudi z najmočnejšo domišljijo. Vendar, kot že omenjeno, je ne moremo šteti za "najbolj, najbolj". Druga stvar je, da trenutno vrednosti, večje od Grahamovega števila, nimajo uveljavljenefizični občutek.
Prav tako nima lastnosti neskončnega števila, kot je:
- ∞ + 1=∞;
- obstaja neskončno število lih in sodih številk;
- ∞ - 1=∞;
- število lihih števil je natanko polovica vseh številk;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Če povzamem: Grahamovo število je po Guinnessovi knjigi rekordov največje število v praksi matematičnega dokazovanja. Vendar pa obstajajo številke, ki so večkrat večje od te vrednosti.
Najverjetneje bodo v prihodnosti potrebovali še večje "velikane", še posebej, če človek preseže naš sončni sistem ali si izmisli nekaj nepredstavljivega na trenutni ravni naše zavesti.
