Račun je veja računanja, ki preučuje izvod, diferenciale in njihovo uporabo pri preučevanju funkcije.
Zgodovina videza
Diferencialni račun se je kot samostojna disciplina pojavil v drugi polovici 17. stoletja, zahvaljujoč delu Newtona in Leibniza, ki sta oblikovala osnovne določbe v diferencialnem računu in opazila povezavo med integracijo in diferenciacijo. Od tega trenutka se je disciplina razvijala skupaj z računom integralov in tako predstavljala osnovo matematične analize. Pojav teh računov je odprl novo moderno obdobje v matematičnem svetu in povzročil nastanek novih disciplin v znanosti. Razširila je tudi možnost uporabe matematične znanosti v naravoslovju in tehnologiji.
Osnovni koncepti
Diferencialni račun temelji na temeljnih konceptih matematike. To so: realno število, kontinuiteta, funkcija in meja. Sčasoma so zaradi integralnega in diferencialnega računa dobili sodoben videz.
proces ustvarjanja
Nastajanje diferencialnega računa v obliki uporabne, nato pa znanstvene metode se je zgodilo pred nastankom filozofske teorije, ki jo je ustvaril Nikolaj Kuzanski. Njegova dela veljajo za evolucijski razvoj na podlagi sodb starodavne znanosti. Kljub temu, da sam filozof ni bil matematik, je njegov prispevek k razvoju matematične znanosti nesporen. Kuzansky je bil eden prvih, ki se je oddaljil od obravnavanja aritmetike kot najnatančnejšega znanstvenega področja, kar je postavilo matematiko tistega časa v dvom.
Starodavni matematiki so enoto uporabljali kot univerzalno merilo, medtem ko je filozof namesto natančnega števila predlagal neskončnost kot novo mero. V zvezi s tem je predstavitev natančnosti v matematični znanosti obrnjena. Znanstveno znanje se po njegovem deli na racionalno in intelektualno. Drugi je po mnenju znanstvenika natančnejši, saj prvi daje le približen rezultat.
Ideja
Glavna ideja in koncept v diferencialnem računu sta povezana s funkcijo v majhnih soseskah določenih točk. Da bi to naredili, je treba ustvariti matematični aparat za preučevanje funkcije, katere obnašanje v majhni soseščini uveljavljenih točk je blizu obnašanju polinoma ali linearne funkcije. To temelji na definiciji izpeljanke in diferenciala.
Pojav koncepta izpeljanke je povzročilo veliko število problemov iz naravoslovja in matematike,kar je privedlo do iskanja vrednosti mej iste vrste.
Eden od glavnih problemov, ki so navedeni kot primer že od srednje šole, je določiti hitrost točke, ki se premika vzdolž premice, in zgraditi tangento na to krivuljo. Diferencial je povezan s tem, saj je mogoče približati funkcijo v majhni soseščini obravnavane točke linearne funkcije.
V primerjavi s konceptom izvoda funkcije realne spremenljivke definicija diferencialov preprosto preide na funkcijo splošne narave, zlasti na sliko enega evklidskega prostora na drugem.
Izvedeni finančni instrument
Pustimo, da se točka premika v smeri osi Oy, za čas, ki ga vzamemo x, ki se šteje od določenega začetka trenutka. Takšno gibanje lahko opišemo s funkcijo y=f(x), ki je dodeljena vsakemu časovnemu trenutku x koordinate točke, ki se premika. V mehaniki se ta funkcija imenuje zakon gibanja. Glavna značilnost gibanja, zlasti neenakomernega, je trenutna hitrost. Ko se točka premika vzdolž osi Oy po zakonu mehanike, potem v naključnem trenutku x pridobi koordinato f (x). V trenutku x + Δx, kjer Δx označuje prirast časa, bo njegova koordinata f(x + Δx). Tako nastane formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), ki se imenuje prirast funkcije. Predstavlja pot, ki jo prepotuje točka v času od x do x + Δx.
Zaradi pojava tegahitrost v času, se uvede izvod. V poljubni funkciji se izpeljanka na fiksni točki imenuje meja (ob predpostavki, da obstaja). Lahko se označi z določenimi simboli:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Proces izračunavanja izpeljanke se imenuje diferenciacija.
Diferencialni račun funkcije več spremenljivk
Ta računska metoda se uporablja pri preučevanju funkcije z več spremenljivkami. V prisotnosti dveh spremenljivk x in y se delni odvod glede na x v točki A imenuje izpeljanka te funkcije glede na x s fiksnim y.
Lahko je predstavljen z naslednjimi znaki:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x ali ∂f(x, y)’/∂x.
Zahtevane spretnosti
Za uspešno študij in sposobnost reševanja difuzij so potrebne veščine integracije in diferenciacije. Za lažje razumevanje diferencialnih enačb morate dobro razumeti temo izpeljanke in nedoločenega integrala. Prav tako ne škodi, če se naučite najti izpeljanko implicitno dane funkcije. To je posledica dejstva, da bo treba v procesu preučevanja integralov in diferenciacije pogosto uporabljati.
Vrste diferencialnih enačb
V skoraj vseh testnih dokumentih, povezanih z diferencialnimi enačbami prvega reda, obstajajo 3 vrste enačb: homogene, z ločljivimi spremenljivkami, linearne nehomogene.
Obstajajo tudi redkejše različice enačb: s totalnimi diferenciali, Bernoullijeve enačbe in druge.
Osnove odločanja
Najprej se spomnite algebraičnih enačb iz šolskega tečaja. Vsebujejo spremenljivke in številke. Če želite rešiti navadno enačbo, morate najti niz številk, ki izpolnjujejo dani pogoj. Praviloma so imele takšne enačbe en koren in za preverjanje pravilnosti je bilo treba le to vrednost nadomestiti z neznano.
Diferencialna enačba je podobna tej. Na splošno takšna enačba prvega reda vključuje:
- Neodvisna spremenljivka.
- Izpeljanka prve funkcije.
- Funkcija ali odvisna spremenljivka.
V nekaterih primerih morda manjka ena od neznank, x ali y, vendar to ni tako pomembno, saj je za rešitev in diferencial nujna prisotnost prve izpeljanke brez izpeljank višjega reda. izračun je pravilen.
Rešiti diferencialno enačbo pomeni najti množico vseh funkcij, ki se ujemajo z danim izrazom. Takšen niz funkcij pogosto imenujemo splošna rešitev DE.
Integralni račun
Integralni račun je eden od oddelkov matematične analize, ki preučuje koncept integrala, lastnosti in metode njegovega izračuna.
Pogosto se izračun integrala pojavi pri izračunu površine krivolinijske figure. To območje pomeni mejo, h kateri teži površina mnogokotnika, vpisanega v dano figuro, s postopnim povečevanjem njegove strani, medtem ko je te strani mogoče narediti manjše od katere koli prej določene poljubnemajhna vrednost.
Glavna ideja pri izračunu površine poljubne geometrijske figure je izračunati površino pravokotnika, torej dokazati, da je njegova površina enaka zmnožku dolžine in širine. Ko gre za geometrijo, so vse konstrukcije izdelane z ravnilom in šestilom, potem pa je razmerje dolžine in širine racionalna vrednost. Pri izračunu površine pravokotnega trikotnika lahko ugotovite, da če zraven postavite isti trikotnik, nastane pravokotnik. V paralelogramu se površina izračuna po podobni, a nekoliko bolj zapleteni metodi, skozi pravokotnik in trikotnik. V poligonih se površina izračuna prek trikotnikov, ki so vključeni v to.
Pri določanju varčevanja poljubne krivulje ta metoda ne bo delovala. Če ga razdelite na posamezne kvadratke, bodo ostala nezapolnjena mesta. V tem primeru poskušamo uporabiti dve platnici, s pravokotnikoma zgoraj in spodaj, zato ti vključujejo graf funkcije in ne. Metoda razdelitve na te pravokotnike ostaja tukaj pomembna. Tudi, če vzamemo vedno manjše particije, bi se moralo območje zgoraj in spodaj zbližati pri določeni vrednosti.
Nazaj na metodo delitve na pravokotnike. Obstajata dve priljubljeni metodi.
Riemann je formaliziral definicijo integrala, ki sta ga ustvarila Leibniz in Newton, kot površino podgrafa. V tem primeru so bile upoštevane številke, ki so sestavljene iz določenega števila navpičnih pravokotnikov in pridobljene z delitvijosegmentu. Ko se ob zmanjševanju razdelka pojavi meja, do katere se zmanjša površina podobne figure, se ta meja imenuje Riemannov integral funkcije na danem intervalu.
Druga metoda je konstrukcija Lebesgueovega integrala, ki je sestavljena iz tega, da se za mesto delitve definiranega območja na dele integranda in nato sestavi integralna vsota iz vrednosti, dobljenih v teh delih., je njegov obseg vrednosti razdeljen na intervale, nato pa sešteje z ustreznimi merami predslik teh integralov.
Sodobne ugodnosti
Enega od glavnih priročnikov za študij diferencialnega in integralnega računa je napisal Fikhtengolts - "Tečaj diferencialnega in integralnega računa". Njegov učbenik je temeljni vodnik za študij matematične analize, ki je doživel številne izdaje in prevode v druge jezike. Ustvarjen za študente in se že dolgo uporablja v številnih izobraževalnih ustanovah kot eden glavnih študijskih pripomočkov. Daje teoretične podatke in praktične veščine. Prvič objavljeno leta 1948.
Algoritem za raziskovanje funkcij
Če želite raziskati funkcijo z uporabo metod diferencialnega računa, morate slediti že podanemu algoritmu:
- Poišči obseg funkcije.
- Poišči korenine dane enačbe.
- Izračunaj ekstreme. Če želite to narediti, izračunajte izvod in točke, kjer je enaka nič.
- Dobljeno vrednost nadomestite v enačbo.
Različice diferencialnih enačb
kontrola prvega reda (sicer diferencialenojne spremenljivke) in njihove vrste:
- Ločljiva enačba: f(y)dy=g(x)dx.
- Najenostavnejše enačbe ali diferencialni račun funkcije ene spremenljivke s formulo: y'=f(x).
- Linearna nehomogena DE prvega reda: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoullijeva diferencialna enačba: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Enačba s skupnimi razlikami: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Diferencialne enačbe drugega reda in njihove vrste:
- Linearna homogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi vrednostmi koeficienta: y +py'+qy=0 p, q pripada R.
- Linearna nehomogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti: y +py'+qy=f(x).
- Linearna homogena diferencialna enačba: y +p(x)y'+q(x)y=0 in nehomogena enačba drugega reda: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Diferencialne enačbe višjega reda in njihove vrste:
- Diferencialna enačba, ki jo je mogoče zmanjšati v vrstnem redu: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Linearna homogena enačba višjega reda: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0 in nehomogeno: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Koraki pri reševanju problema z diferencialno enačbo
S pomočjo daljinskega upravljalnika se ne rešujejo le matematična ali fizična vprašanja, temveč tudi različni problemi izbiologija, ekonomija, sociologija itd. Kljub številnim temam se je treba pri reševanju takšnih problemov držati enega samega logičnega zaporedja:
- Kompilacija daljinskega upravljalnika. Eden najtežjih korakov, ki zahteva največjo natančnost, saj bo vsaka napaka povzročila popolnoma napačne rezultate. Upoštevati je treba vse dejavnike, ki vplivajo na proces, in določiti začetne pogoje. Temeljiti mora tudi na dejstvih in logičnih zaključkih.
- Rešitev formulirane enačbe. Ta postopek je enostavnejši od prvega koraka, saj zahteva le stroge matematične izračune.
- Analiza in ocena rezultatov. Izpeljano rešitev je treba ovrednotiti, da se ugotovi praktična in teoretična vrednost rezultata.
Primer uporabe diferencialnih enačb v medicini
Uporaba daljinskega upravljanja na področju medicine se pojavi pri gradnji epidemiološkega matematičnega modela. Ob tem ne smemo pozabiti, da te enačbe najdemo tudi v biologiji in kemiji, ki sta blizu medicini, saj ima pri tem pomembno vlogo preučevanje različnih bioloških populacij in kemičnih procesov v človeškem telesu.
V zgornjem primeru epidemije lahko upoštevamo širjenje okužbe v izolirani družbi. Prebivalci so razdeljeni na tri vrste:
- Okuženi, številka x(t), sestavljeni iz posameznikov, prenašalcev okužbe, od katerih je vsak nalezljiv (inkubacijska doba je kratka).
- Druga vrsta vključujeobčutljivi posamezniki y(t), ki se lahko okužijo v stiku z okuženimi posamezniki.
- Tretja vrsta vključuje imunske posameznike z(t), ki so imuni ali so umrli zaradi bolezni.
Število posameznikov je konstantno, upoštevanje rojstev, naravnih smrti in migracij se ne upošteva. V središču bosta dve hipotezi.
Odstotek incidence v določeni časovni točki je x(t)y(t) (na podlagi teorije, da je število primerov sorazmerno s številom presečišč med bolnimi in dovzetnimi predstavniki, ki v prvem aproksimacija bo sorazmerna z x(t)y(t)), v zvezi s tem se število primerov povečuje, število dovzetnih pa se zmanjšuje s hitrostjo, ki se izračuna po formuli ax(t)y(t) (a > 0).
Število imunskih posameznikov, ki so postali imuni ali umrli, narašča s hitrostjo, ki je sorazmerna s številom primerov, bx(t) (b > 0).
Kot rezultat, lahko sestavite sistem enačb, ki upošteva vse tri kazalnike in na podlagi tega naredite zaključke.
Ekonomski primer
Diferencialni račun se pogosto uporablja v ekonomski analizi. Glavna naloga ekonomske analize je proučevanje količin iz ekonomije, ki so zapisane v obliki funkcije. To se uporablja pri reševanju problemov, kot so spremembe dohodka takoj po zvišanju davkov, uvedba dajatev, sprememba prihodkov podjetja, ko se spremenijo stroški proizvodnje, v kolikšnem deležu je mogoče nadomestiti upokojene delavce z novo opremo. Za rešitev takšnih težav je potrebnozgradite povezovalno funkcijo iz vhodnih spremenljivk, ki se nato preučijo z uporabo diferencialnega računa.
Na gospodarskem področju je pogosto treba najti najbolj optimalne kazalnike: največjo produktivnost dela, najvišji dohodek, najnižje stroške itd. Vsak tak indikator je funkcija enega ali več argumentov. Na primer, na proizvodnjo lahko gledamo kot na funkcijo dela in vložkov kapitala. V zvezi s tem se lahko iskanje primerne vrednosti zmanjša na iskanje največje ali najmanjše vrednosti funkcije iz ene ali več spremenljivk.
Takšni problemi ustvarjajo razred ekstremnih problemov na ekonomskem področju, katerih rešitev zahteva diferencialni račun. Ko je treba ekonomski kazalnik minimizirati ali maksimizirati kot funkcijo drugega kazalnika, potem bo na točki maksimuma razmerje prirastka funkcije in argumentov težilo k nič, če se prirast argumenta nagiba k nič. V nasprotnem primeru, ko se takšno razmerje nagiba k neki pozitivni ali negativni vrednosti, navedena točka ni primerna, saj lahko s povečanjem ali zmanjšanjem argumenta spremenite odvisno vrednost v želeno smer. V terminologiji diferencialnega računa bo to pomenilo, da je zahtevani pogoj za maksimum funkcije ničelna vrednost njenega izvoda.
V ekonomiji se pogosto pojavljajo težave pri iskanju ekstrema funkcije z več spremenljivkami, ker so ekonomski kazalniki sestavljeni iz številnih dejavnikov. Takšna vprašanja so dobra.študiral v teoriji funkcij več spremenljivk z uporabo metod diferencialnega izračuna. Takšni problemi vključujejo ne le maksimizirane in minimizirane funkcije, temveč tudi omejitve. Taka vprašanja so povezana z matematičnim programiranjem in se rešujejo s pomočjo posebej razvitih metod, ki temeljijo tudi na tej veji znanosti.
Med metodami diferencialnega računa, ki se uporabljajo v ekonomiji, je pomemben del obrobne analize. Na gospodarskem področju se ta izraz nanaša na niz metod za preučevanje spremenljivih kazalnikov in rezultatov pri spreminjanju obsega ustvarjanja, potrošnje na podlagi analize njihovih mejnih kazalnikov. Omejevalni indikator je izpeljanka ali delni izpeljanki z več spremenljivkami.
Diferencialni račun več spremenljivk je pomembna tema na področju matematične analize. Za podroben študij lahko uporabite različne učbenike za visokošolsko izobraževanje. Enega najbolj znanih je ustvaril Fikhtengolts - "Tečaj diferencialnega in integralnega računa". Kot pove že ime, so veščine dela z integrali zelo pomembne za reševanje diferencialnih enačb. Ko se izvede diferencialni račun funkcije ene spremenljivke, postane rešitev enostavnejša. Čeprav je treba opozoriti, da zanj veljajo enaka osnovna pravila. Za preučevanje funkcije v praksi z diferencialnim računom je dovolj, da sledimo že obstoječemu algoritmu, ki je podan v srednji šoli in se ob uvedbi novih le nekoliko zaplete.spremenljivke.
