Nemogoče je trditi, da znaš matematiko, če ne znaš risati grafov, risati neenakosti na koordinatni črti in delati s koordinatnimi osemi. Vizualna komponenta v znanosti je ključnega pomena, saj se lahko brez vizualnih primerov v formulah in izračunih včasih zelo zmede. V tem članku bomo videli, kako delati s koordinatnimi osemi in se naučili sestaviti preproste funkcijske grafe.
Prijava
Koordinatna črta je osnova najpreprostejših vrst grafov, s katerimi se študent sreča na svoji izobraževalni poti. Uporablja se v skoraj vseh matematičnih temah: pri izračunu hitrosti in časa, projekciji velikosti predmetov in izračunu njihove površine, v trigonometriji pri delu s sinusi in kosinusi.
Glavna vrednost takšne direktne linije je vidljivost. Ker je matematika znanost, ki zahteva visoko raven abstraktnega razmišljanja, grafi pomagajo pri predstavitvi predmeta v resničnem svetu. Kako se obnaša? Na kateri točki v prostoru bonekaj sekund, minut, ur? Kaj lahko rečemo o njem v primerjavi z drugimi predmeti? Kakšna je njegova hitrost v naključno izbranem času? Kako opisati njegovo gibanje?
In o hitrosti govorimo z razlogom - pogosto je prikazana v funkcijskih grafih. Prav tako lahko prikažejo spremembe temperature ali tlaka znotraj predmeta, njegovo velikost, orientacijo glede na obzorje. Tako je gradnja koordinatne črte pogosto potrebna tudi v fiziki.
Enodimenzionalni graf
Obstaja koncept večdimenzionalnosti. V enodimenzionalnem prostoru je samo ena številka dovolj za določitev lokacije točke. Točno tako je pri uporabi koordinatne črte. Če je prostor dvodimenzionalen, sta potrebni dve številki. Tovrstne karte se uporabljajo veliko pogosteje in jih bomo zagotovo obravnavali nekoliko kasneje v članku.
Kaj lahko vidimo s pomočjo točk na osi, če je os samo ena? Vidite lahko velikost predmeta, njegov položaj v prostoru glede na neko "ničlo", torej točko, izbrano kot referenčno točko.
Sprememba parametrov skozi čas ne bo vidna, saj bodo vsi odčitki prikazani za določen trenutek. Vendar je treba nekje začeti! Torej začnimo.
Kako zgraditi koordinatno os
Najprej morate narisati vodoravno črto - to bo naša os. Na desni strani ga "izostrite" tako, da bo videti kot puščica. Tako bomo nakazali smer, v kateri bodo številkeporast. V smeri navzdol puščica običajno ni nameščena. Tradicionalno os kaže v desno, zato bomo le sledili temu pravilu.
Nastavimo oznako nič, ki bo prikazala izvor koordinat. To je ravno mesto, od koder se odštevanje vzame, pa naj bo to velikost, teža, hitrost ali kaj drugega. Poleg ničle moramo nujno določiti tako imenovano ceno delitve, torej uvesti standard enote, v skladu s katerim bomo na os vrisali določene količine. To je treba storiti, da bi lahko našli dolžino segmenta na koordinatni črti.
Na enaki razdalji drug od drugega postavite pike ali "zareze" na črto in pod njimi napišite 1, 2, 3 in tako naprej. In zdaj je vse pripravljeno. Toda z nastalim urnikom se morate še vedno naučiti delati.
Vrste točk na koordinatni črti
S prvim pogledom na risbe, predlagane v učbenikih, postane jasno: točke na osi so lahko zapolnjene ali ne. Mislite, da je to naključje? Sploh ne! "Trdna" pika se uporablja za nestrogo neenakost - tisto, ki se glasi kot "večje ali enako". Če moramo interval strogo omejiti (na primer, "x" lahko prevzame vrednosti od nič do ena, vendar ga ne vključuje), bomo uporabili "votlo" točko, to je v resnici majhen krog na osi. Treba je opozoriti, da študenti ne marajo strogih neenakosti, saj je z njimi težje delati.
Odvisno od vaših točkuporabite na grafikonu, bodo poklicani tudi vgrajeni intervali. Če neenakost na obeh straneh ni stroga, dobimo segment. Če se po eni strani izkaže za "odprto", se bo imenoval polovični interval. Končno, če je del premice na obeh straneh omejen z votlimi točkami, se imenuje interval.
Letalo
Pri konstruiranju dveh ravnih črt na koordinatni ravnini lahko že upoštevamo grafe funkcij. Recimo, da je vodoravna črta časovna os, navpična pa je razdalja. In zdaj lahko ugotovimo, kakšno razdaljo bo predmet premagal v minuti ali uri vožnje. Tako delo z ravnino omogoča spremljanje spremembe stanja predmeta. To je veliko bolj zanimivo kot raziskovanje statičnega stanja.
Najenostavnejši graf na takšni ravnini je ravna črta, ki odraža funkcijo Y(X)=aX + b. Ali se črta upogne? To pomeni, da predmet med študijo spremeni svoje lastnosti.
Predstavljajte si, da stojite na strehi stavbe in v iztegnjeni roki držite kamen. Ko ga spustite, bo poletel navzdol in se začel premikati od ničelne hitrosti. Toda v sekundi bo premagal 36 kilometrov na uro. Kamen se bo še naprej pospeševal in če želite narisati njegovo gibanje na grafikonu, boste morali izmeriti njegovo hitrost v več trenutkih tako, da na ustreznih mestih nastavite točke na osi.
Oznake na vodoravni koordinatni črti so privzeto poimenovane X1, X2, X3, na navpični pa - Y1, Y2, Y3. projekcijajih na ravnino in pri iskanju križišč najdemo drobce nastalega vzorca. Če jih povežemo z eno vrstico, dobimo graf funkcije. V primeru padajočega kamna bo kvadratna funkcija videti takole: Y(X)=aXX + bX + c.
Lestvica
Seveda ni treba postaviti celih vrednosti poleg delitev z ravno črto. Če razmišljate o gibanju polža, ki plazi s hitrostjo 0,03 metra na minuto, nastavite kot vrednosti na koordinatnem ulomku. V tem primeru nastavite interval lestvice na 0,01 metra.
Takšne risbe je še posebej priročno izvajati v zvezku v kletki - tukaj lahko takoj vidite, ali je na listu dovolj prostora za vaš grafikon, če presežete robove. Ni težko izračunati svoje moči, saj je širina celice v takem zvezku 0,5 centimetra. Trajalo je - zmanjšalo sliko. Spremembe v merilu grafikona ne bodo povzročile izgube ali spremembe njegovih lastnosti.
Koordinate točk in segmentov
Ko je matematična naloga podana v lekciji, lahko vsebuje parametre različnih geometrijskih oblik, tako v obliki dolžine stranic, obsega, površine in v obliki koordinat. V tem primeru boste morda morali zgraditi obliko in pridobiti nekaj podatkov, povezanih z njo. Postavlja se vprašanje: kako najti zahtevane informacije na koordinatni črti? In kako zgraditi obliko?
Na primer, govorimo o točki. Nato se bo v pogoju problema pojavila velika začetnica, v oklepajih pa več številk, največkrat dve (to pomeni, da bomo šteli v dvodimenzionalnem prostoru). Če so v oklepaju tri številke, ločene s podpičjem ali vejico, je to tridimenzionalni prostor. Vsaka od vrednosti je koordinata na ustrezni osi: najprej vzdolž vodoravne (X), nato vzdolž navpičnice (Y).
Se spomnite, kako narisati segment? Opravil si ga na geometriji. Če obstajata dve točki, je mogoče med njima potegniti črto. Njihove koordinate so navedene v oklepaju, če se v problemu pojavi segment. Na primer: A(15, 13) - B(1, 4). Če želite zgraditi takšno črto, morate poiskati in označiti točke na koordinatni ravnini in jih nato povezati. To je to!
In vse poligone, kot veste, je mogoče narisati s segmenti. Problem rešen.
Izračuni
Recimo, da obstaja nek predmet, katerega položaj vzdolž osi X označujeta dve številki: začne se v točki s koordinato (-3) in konča pri (+2). Če želimo vedeti dolžino tega predmeta, moramo od večjega odšteti manjše število. Upoštevajte, da negativno število absorbira predznak odštevanja, ker je "minus pomnožen z minusom enak plusu." Torej dodamo (2+3) in dobimo 5. To je zahtevani rezultat.
Še en primer: dana nam je končna točka in dolžina predmeta, ne pa začetna točka (in jo moramo najti). Naj bo položaj znane točke (6), velikost preučevanega predmeta pa (4). Če od končne koordinate odštejemo dolžino, dobimo odgovor. Skupaj: (6 - 4)=2.
Negativne številke
V praksi se pogosto zahteva delo z negativnimi vrednostmi. V tem primeru bomopremakniti v levo vzdolž koordinatne osi. Na primer, predmet, visok 3 centimetre, plava v vodi. Ena tretjina je potopljena v tekočino, dve tretjini pa v zrak. Nato z izbiro vodne površine za os dobimo dve številki z uporabo najpreprostejših aritmetičnih izračunov: zgornja točka predmeta ima koordinato (+2), spodnja pa (-1) centimeter.
Lahko je videti, da imamo v primeru ravnine štiri četrtine koordinatne črte. Vsak od njih ima svojo številko. V prvem (zgornjem desnem) delu bodo točke z dvema pozitivnima koordinatama, v drugem - v zgornjem levem kotu - bodo vrednosti osi X negativne, vzdolž osi Y pa pozitivne. Tretji in četrti se štejeta naprej v nasprotni smeri urinega kazalca.
Pomembna lastnost
Veste, da je črto mogoče predstaviti kot neskončno število točk. Ogledamo si lahko poljubno število vrednosti v vsaki smeri osi, kolikor nam je všeč, vendar ne bomo srečali ponavljajočih se vrednosti. Zdi se naivno in razumljivo, vendar ta izjava izhaja iz pomembnega dejstva: vsako število ustreza eni in eni točki na koordinatni črti.
Sklep
Ne pozabite, da morajo biti vse osi, figure in, če je mogoče, grafike zgrajene na ravnilu. Merskih enot si človek ni izmislil po naključju – če se pri risanju zmotiš, tvegaš, da boš videl drugačno sliko, kot bi morala biti.
Bodite previdni in natančni pri načrtovanju in izračunih. Kot vsaka znanost, ki se študira v šoli, ima tudi matematika rada natančnost. Vložite malo truda in dobroocene ne bodo dolgo čakale.
