Formule za določanje razdalje od točke do ravnine in od točke do premice

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Poznavanje razdalje od točke do ravnine ali ravne črte vam omogoča izračun prostornine in površine figur v prostoru. Izračun te razdalje v geometriji se izvede z uporabo ustreznih enačb za določene geometrijske objekte. V članku bomo pokazali, katere formule je mogoče uporabiti za določitev.

enačbe z ravnimi in črtami

Preden podamo formule za določanje razdalje od točke do ravnine in premice, pokažimo, katere enačbe opisujejo te predmete.

Za definiranje točke se uporablja niz koordinat v danem sistemu koordinatnih osi. Tu bomo obravnavali le kartezijev pravokoten sistem, v katerem imata osi enake vektorje enote in sta medsebojno pravokotni. Na ravnini je poljubna točka opisana z dvema koordinatama, v prostoru - s tremi.

Za definiranje ravne črte se uporabljajo različne vrste enačb. V skladu s tematiko članka predstavljamole dva od njih, ki se uporabljata v dvodimenzionalnem prostoru za definiranje črt.

Vektorska enačba. Ima naslednji zapis:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Prvi izraz tukaj predstavlja koordinate znane točke, ki leži na premici. Drugi izraz so koordinate vektorja smeri, pomnožene s poljubnim številom λ.

Splošna enačba. Njegov zapis je naslednji:

Ax + By + C=0;

kjer so A, B, C nekateri koeficienti.

Splošna enačba se pogosteje uporablja za določanje črt na ravnini, vendar je za iskanje razdalje od točke do premice na ravnini bolj priročno delati z vektorskim izrazom.

Ravnino v tridimenzionalnem prostoru lahko zapišemo tudi na več matematičnih načinov. Kljub temu je najpogosteje pri težavah splošna enačba, ki je zapisana takole:

Ax + By + Cz + D=0.

Prednost tega zapisa v primerjavi z drugimi je, da eksplicitno vsebuje koordinate vektorja, pravokotnega na ravnino. Ta vektor se imenuje vodnik zanj, sovpada s smerjo normale, njegove koordinate pa so enake (A; B; C).

Upoštevajte, da zgornji izraz sovpada z obliko pisanja splošne enačbe za ravno črto v dvodimenzionalnem prostoru, zato pri reševanju problemov pazite, da teh geometrijskih objektov ne zamenjate.

Razdalja med točko in črto

Pokažimo, kako izračunati razdaljo med ravno črto intočka v dvodimenzionalnem prostoru.

Naj obstaja neka točka Q(x₁; y_{1) in vrstica, ki jo podaja:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Razdalja med črto in točko se razume kot dolžina odseka, pravokotnega na to premico, spuščenega nanjo iz točke Q.

Pred izračunom te razdalje morate v to enačbo nadomestiti koordinate Q. Če ga izpolnjujejo, potem Q pripada dani črti, ustrezna razdalja pa je enaka nič. Če koordinate točke ne vodijo do enakosti, potem je razdalja med geometrijskimi predmeti enaka nič. Lahko se izračuna po formuli:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Tukaj je P poljubna točka premice, ki je začetek vektorja PQ¯. Vektor u¯ je vodilni segment za ravno črto, to pomeni, da so njegove koordinate (a; b).

Uporaba te formule zahteva sposobnost izračunavanja navzkrižnega produkta v števcu.

Problem s točko in črto

Recimo, da morate najti razdaljo med Q(-3; 1) in ravno črto, ki izpolnjuje enačbo:

y=5x -2.

Če v izraz nadomestimo koordinate Q, se lahko prepričamo, da Q ne leži na premici. Formulo za d, navedeno v zgornjem odstavku, lahko uporabite, če to enačbo predstavite v vektorski obliki. Naredimo takole:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Sedaj vzemimo katero koli točko na tej črti, na primer (0; -2), in zgradimo vektor, ki se začne pri njej in konča pri Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Zdaj uporabite formulo za določitev razdalje, dobimo:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Razdalja od točke do ravnine

Tako kot v primeru ravne črte, razdaljo med ravnino in točko v prostoru razumemo kot dolžino odseka, ki se iz dane točke spusti pravokotno na ravnino in jo seka.

V vesolju je točka podana s tremi koordinatami. Če so enaki (x₁; y₁; z_{1), potem je razdalja med ravnino in to točko je mogoče izračunati s formulo:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Upoštevajte, da uporaba formule omogoča, da najdete samo razdaljo od ravnine do črte. Da bi našli koordinate točke, v kateri pravokotni odsek seka ravnino, je treba napisati enačbo za premico, ki ji ta odsek pripada, in nato poiskati skupno točko za to premico in dano ravnino.

Težava z ravnino in točko

Poiščite razdaljo od točke do ravnine, če je znano, da ima točka koordinate (3; -1; 2) in je ravnina podana z:

-y + 3z=0.

Za uporabo ustrezne formule najprej izpišemo koeficiente zadano letalo. Ker spremenljivka x in prosti člen nista, sta koeficienta A in D enaka nič. Imamo:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Lahko je pokazati, da ta ravnina poteka skozi izhodišče in da ji pripada os x.

V formulo za razdaljo d nadomestimo koordinate točke in koeficiente ravnine, dobimo:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Upoštevajte, da če spremenite x-koordinato točke, se razdalja d ne bo spremenila. To dejstvo pomeni, da množica točk (x; -1; 2) tvori ravno črto, vzporedno z dano ravnino.