Prostorska geometrija, katere predmet se preučuje v 10-11 razredih šole, upošteva lastnosti tridimenzionalnih figur. Članek daje geometrijsko definicijo valja, podaja formulo za izračun njegove prostornine in rešuje tudi fizični problem, pri katerem je pomembno poznati to prostornino.
Kaj je cilinder?
Z vidika stereometrije je definicija cilindra naslednja: to je lik, ki nastane kot posledica vzporednega premika ravnega segmenta vzdolž določene ravne zaprte krivulje. Poimenovani segment ne sme pripadati isti ravnini kot krivulja. Če je krivulja krog in je segment pravokoten nanjo, potem se valj, oblikovan na opisan način, imenuje raven in okrogel. To je prikazano na spodnji sliki.
Ni težko uganiti, da je to obliko mogoče dobiti z vrtenjem pravokotnika okoli katere koli njegove strani.
Cilinder ima dve enaki bazi, ki sta kroga, in strancilindrična površina. Krog osnove se imenuje direktrisa, pravokotni segment, ki povezuje kroge različnih baz, pa je generator figure.
Kako najti prostornino okroglega ravnega valja?
Ko smo se seznanili z definicijo cilindra, razmislimo, katere parametre morate vedeti, da lahko matematično opišete njegove značilnosti.
Razdalja med obema osnovama je višina figure. Očitno je, da je enaka dolžini generatorja. Višino bomo označili z latinsko črko h. Polmer kroga na dnu je označen s črko r. Imenuje se tudi polmer valja. Dva uvedena parametra zadostujeta, da nedvoumno opišeta vse lastnosti zadevne figure.
Glede na geometrijsko definicijo valja lahko njegovo prostornino izračunamo z naslednjo formulo:
V=Sh
Tukaj je S površina osnove. Upoštevajte, da za kateri koli valj in prizmo velja zapisana formula. Kljub temu ga je za okrogel ravni valj zelo priročno uporabiti, saj je višina generatriksa, površino S osnove pa je mogoče določiti tako, da si zapomnimo formulo za površino kroga:
S=pir2
Tako bo delovna formula za volumen V zadevne figure zapisana kot:
V=pir2h
Sila vzgona
Vsak študent ve, da če je predmet potopljen v vodo, bo njegova teža manjša. Razlog za to dejstvoje nastanek vzgonske ali arhimedove sile. Deluje na vsako telo, ne glede na obliko in material, iz katerega so izdelani. Arhimedovo moč je mogoče določiti s formulo:
FA=ρlgVl
Tukaj sta ρl in Vl gostota tekočine in njen volumen, ki ga premakne telo. Pomembno je, da tega volumna ne zamenjate z volumnom telesa. Ujemali se bodo le, če je telo popolnoma potopljeno v tekočino. Za kakršno koli delno potopitev je Vl vedno manjša od V telesa.
Vzgojna sila FA se imenuje, ker je usmerjena navpično navzgor, torej nasprotna smeri gravitacije. Različne smeri vektorjev sil vodijo do tega, da je teža telesa v kateri koli tekočini manjša kot v zraku. Po pravici povedano ugotavljamo, da v zraku na vsa telesa vpliva tudi vzgonska sila, ki pa je zanemarljiva v primerjavi z Arhimedovo silo v vodi (800-krat manj).
Razlika v masi teles v tekočini in v zraku se uporablja za določanje gostote trdnih in tekočih snovi. Ta metoda se imenuje hidrostatično tehtanje. Po legendi jo je prvi uporabil Arhimed za določitev gostote kovine, iz katere je bila krona izdelana.
Uporabite zgornjo formulo za določitev sile vzgona, ki deluje na medeninasti cilinder.
Problem izračunavanja Arhimedove sile, ki deluje na medeninasti cilinder
Znano je, da ima medeninasti cilinder višino 20 cm in premer 10 cm. Kakšna bo Arhimedova sila,ki bo začel delovati nanj, če cilinder vržemo v destilirano vodo.
Če želite določiti silo vzgona na medeninastem cilindru, najprej poglejte gostoto medenine v tabeli. Enako je 8600 kg/m3 (to je povprečna vrednost njegove gostote). Ker je ta vrednost večja od gostote vode (1000 kg/m3), bo predmet potonil.
Za določitev Arhimedove sile je dovolj, da poiščete prostornino valja in nato uporabite zgornjo formulo za FA. Imamo:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
V formulo smo nadomestili vrednost polmera 5 cm, saj je dvakrat manjša od podane v pogoju problema premera.
Za silo vzgona dobimo:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Tu smo pretvorili volumen V v m3.
Tako bo na medeninasti cilinder znanih dimenzij, potopljen v vodo, delovala sila navzgor 15,4 N.
