Študent se v prvem letniku najpogosteje sreča s površinami 2. reda. Naloge na to temo se sprva morda zdijo preproste, a ko preučujete višjo matematiko in se poglabljate v znanstveno plat, se lahko končno nehate orientirati v dogajanju. Da se to ne bi zgodilo, je treba ne le zapomniti, ampak razumeti, kako se dobi ta ali ona površina, kako spreminjanje koeficientov vpliva nanjo in njeno lokacijo glede na prvotni koordinatni sistem ter kako najti nov sistem. (tisto, pri katerem njegovo središče sovpada z izhodiščnimi koordinatami, os simetrije pa je vzporedna z eno od koordinatnih osi). Začnimo od začetka.
Definicija
GMT se imenuje površina 2. reda, katere koordinate izpolnjujejo splošno enačbo naslednje oblike:
F(x, y, z)=0.
Jasno je, da mora vsaka točka, ki pripada površini, imeti tri koordinate v neki določeni bazi. Čeprav se lahko v nekaterih primerih lokus točk degenerira, na primer v ravnino. Pomeni le, da je ena od koordinat konstantna in enaka nič v celotnem območju sprejemljivih vrednosti.
Popolna naslikana oblika zgoraj omenjene enakosti izgleda takole:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – nekatere konstante, x, y, z – spremenljivke, ki ustrezajo afinim koordinatam neke točke. V tem primeru vsaj eden od konstantnih faktorjev ne sme biti enak nič, to pomeni, da nobena točka ne bo ustrezala enačbi.
V veliki večini primerov so številni številčni faktorji še vedno enako enaki nič, enačba pa je močno poenostavljena. V praksi ugotoviti, ali točka pripada ploskvi, ni težko (dovolj je, da v enačbo nadomestimo njene koordinate in preverimo, ali je istovetnost opažena). Ključna točka pri takem delu je, da slednje spravimo v kanonično obliko.
Zgoraj napisana enačba definira vse (vse navedene spodaj) površine 2. reda. Spodaj bomo upoštevali primere.
Vrste površin 2. reda
Enačbe površin 2. reda se razlikujejo le v vrednostih koeficientov Anm. S splošnega vidika je za določene vrednosti konstant mogoče dobiti različne površine, razvrščene na naslednji način:
- Cilindri.
- Eliptični tip.
- Hiperbolični tip.
- konični tip.
- Parabolični tip.
- Letala.
Vsaka od naštetih vrst ima naravno in imaginarno obliko: v namišljeni obliki se lokus realnih točk bodisi izrodi v enostavnejšo figuro ali pa je popolnoma odsoten.
Cilindri
To je najpreprostejši tip, saj relativno zapletena krivulja leži le na dnu in deluje kot vodilo. Generatorji so ravne črte, pravokotne na ravnino, v kateri leži osnova.
Graf prikazuje krožni cilinder, poseben primer eliptičnega valja. V ravnini XY bo njegova projekcija elipsa (v našem primeru krog) - vodilo, v XZ pa pravokotnik - saj so generatorji vzporedni z osjo Z. Če želite to dobiti iz splošne enačbe, potrebujete da koeficientom dodelite naslednje vrednosti:
Namesto običajnih simbolov x, y, z, x s serijsko številko - ni pomembno.
Pravzaprav so 1/a2in ostale konstante, navedene tukaj, enaki koeficienti, navedeni v splošni enačbi, vendar jih je običajno zapisati v tej obliki - to je kanonična predstavitev. Nadalje bo uporabljen samo tak zapis.
Tako je definiran hiperbolični cilinder. Shema je enaka - hiperbola bo vodilo.
y2=2px
Parabolični cilinder je definiran nekoliko drugače: njegova kanonična oblika vključuje koeficient p, imenovan parameter. Pravzaprav je koeficient enak q=2p, vendar je običajno, da ga razdelimo na dva predstavljena faktorja.
Obstaja še ena vrsta cilindra: imaginarni. Takemu cilindru ne pripada nobena prava točka. Opisana je z enačboeliptični cilinder, vendar je namesto enote -1.
Eliptični tip
Elipsoid se lahko raztegne vzdolž ene od osi (vzdolž katere je odvisno od vrednosti konstant a, b, c, navedenih zgoraj; očitno je, da bo večji koeficient ustrezal večji osi).
Obstaja tudi namišljeni elipsoid - pod pogojem, da je vsota koordinat, pomnožena s koeficienti -1:
hiperboloidi
Ko se v eni od konstant pojavi minus, se enačba elipsoida spremeni v enačbo enolistnega hiperboloida. Razumeti je treba, da ni treba, da se ta minus nahaja pred koordinato x3! Določa le, katera od osi bo os vrtenja hiperboloida (ali vzporedna z njo, saj se v kvadratu pojavijo dodatni izrazi (na primer (x-2)2) središče figure se premakne, zato se površina premika vzporedno s koordinatnimi osmi). To velja za vse površine 2. reda.
Poleg tega morate razumeti, da so enačbe predstavljene v kanonski obliki in jih je mogoče spreminjati s spreminjanjem konstant (z ohranjenim predznakom!); medtem ko bo njihova oblika (hiperboloid, stožec itd.) ostala enaka.
Ta enačba je že podana z dvolistnim hiperboloidom.
konična površina
V enačbi stožca ni enote - enakost nič.
Samo omejena stožčasta površina se imenuje stožec. Spodnja slika prikazuje, da bosta na grafikonu pravzaprav dva tako imenovana stožca.
Pomembna opomba: v vseh obravnavanih kanoničnih enačbah so konstante privzeto pozitivne. V nasprotnem primeru lahko znak vpliva na končni grafikon.
Koordinatne ravnine postanejo ravnine simetrije stožca, središče simetrije se nahaja na izhodišču.
V namišljeni enačbi stožca so samo plusi; ima v lasti eno samo resnično točko.
paraboloidi
Površine 2. reda v vesolju imajo lahko različne oblike tudi s podobnimi enačbami. Na primer, obstajata dve vrsti paraboloidov.
x2/a2+y2/b2=2z
Eliptični paraboloid, ko je os Z pravokotna na risbo, bo projiciran v elipso.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperbolični paraboloid: odseki z ravninami, vzporednimi z ZY, bodo ustvarili parabole, odseki z ravninami, vzporednimi z XY, pa bodo ustvarili hiperbole.
sekajoče ravnine
Obstajajo primeri, ko se površine 2. reda degenerirajo v ravnino. Ta letala je mogoče razporediti na različne načine.
Najprej razmislite o sekajočih se ravninah:
x2/a2-y2/b2=0
Ta sprememba kanonične enačbe povzroči samo dve sekajoči se ravnini (namišljeno!); vse realne točke so na osi koordinate, ki manjka v enačbi (v kanonični - osi Z).
Vzporedne ravnine
y2=a2
Ko obstaja samo ena koordinata, se površine 2. reda degenerirajo v par vzporednih ravnin. Ne pozabite, da lahko katera koli druga spremenljivka nadomesti Y; potem se dobijo ravnine, vzporedne z drugimi osemi.
y2=−a2
V tem primeru postanejo namišljeni.
Sovpadajoče ravnine
y2=0
S tako preprosto enačbo se par ravnin izrodi v eno - sovpadata.
Ne pozabite, da v primeru tridimenzionalne osnove zgornja enačba ne definira premice y=0! Manjkata drugi dve spremenljivki, a to samo pomeni, da je njuna vrednost konstantna in enaka nič.
zgradba
Ena izmed najtežjih nalog za študenta je izdelava površin 2. reda. Še težje je premikanje iz enega koordinatnega sistema v drugega glede na kote krivulje glede na osi in zamik središča. Ponovimo, kako dosledno določiti prihodnji pogled na risbo z analitikonačin.
Če želite zgraditi površino 2. reda, potrebujete:
- pripelji enačbo v kanonično obliko;
- določite vrsto preučevane površine;
- konstruiraj na podlagi vrednosti koeficientov.
Spodaj so vse obravnavane vrste:
Za konsolidacijo opišimo podrobno en primer te vrste nalog.
Primeri
Predpostavimo, da obstaja enačba:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60 let+144=0
Popeljimo ga v kanonično obliko. Izpostavimo polne kvadrate, torej razporedimo razpoložljive izraze tako, da so razširitev kvadrata vsote ali razlike. Na primer: če (a+1)2=a2+2a+1, potem a2+2a +1=(a+1)2. Izvedli bomo drugo operacijo. V tem primeru ni treba odpirati oklepajev, saj bo to samo zapletlo izračune, ampak je treba odstraniti skupni faktor 6 (v oklepaju s polnim kvadratom Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Spremenljivka z se v tem primeru pojavi samo enkrat - zaenkrat jo lahko pustite pri miru.
Na tej stopnji analiziramo enačbo: pred vsemi neznankami je znak plus; ko se deli s šest, ostane ena. Zato imamo enačbo, ki definira elipsoid.
Upoštevajte, da je bilo 144 faktorizirano v 150-6, nato pa je bilo -6 premaknjeno v desno. Zakaj je bilo treba narediti tako? Očitno je največji delilec v tem primeru -6, tako da po deljenju z njimena je levo na desni, je treba "odložiti" natanko 6 od 144 (na dejstvo, da bi moral biti nekdo na desni, kaže prisotnost prostega izraza - konstanta, ki ni pomnožena z neznano).
Vse delite s šest in dobite kanonično enačbo elipsoida:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
V prej uporabljeni klasifikaciji površin 2. reda se upošteva poseben primer, ko je središče figure v izhodišču koordinat. V tem primeru je pomaknjen.
Predpostavljamo, da je vsak oklepaj z neznankami nova spremenljivka. To je: a=x-1, b=y+5, c=z. V novih koordinatah središče elipsoida sovpada s točko (0, 0, 0), torej a=b=c=0, od koder: x=1, y=-5, z=0. V začetnih koordinatah središče figure leži v točki (1, -5, 0).
Elipsoid dobimo iz dveh elips: prve v ravnini XY in druge v ravnini XZ (ali YZ - ni pomembno). Koeficienti, s katerimi se delijo spremenljivke, so v kanonski enačbi kvadratni. Zato bi bilo v zgornjem primeru pravilneje deliti s korenom dva, ena in korenom treh.
Mala os prve elipse, vzporedna z osjo Y, je dve. Glavna os, vzporedna z osjo x, sta dva korena iz dveh. Mala os druge elipse, vzporedna z osjo Y, ostane enaka - enaka je dvema. In glavna os, vzporedna z osjo Z, je enaka dvema korenima treh.
S pomočjo podatkov, pridobljenih iz prvotne enačbe s pretvorbo v kanonično obliko, lahko narišemo elipsoid.
Povzetek
Zajeto v tem člankutema je precej obsežna, a pravzaprav, kot lahko vidite, ni preveč zapletena. Njegov razvoj se pravzaprav konča v trenutku, ko si zapomnite imena in enačbe površin (in seveda, kako izgledajo). V zgornjem primeru smo podrobno razpravljali o vsakem koraku, vendar je za približevanje enačbe v kanonično obliko potrebno minimalno znanje višje matematike in študentu ne bi smelo povzročati težav.
Analiza prihodnjega urnika obstoječe enakosti je že težja naloga. Toda za njegovo uspešno rešitev je dovolj razumeti, kako so zgrajene ustrezne krivulje drugega reda - elipse, parabole in druge.
Primeri degeneracije - še enostavnejši razdelek. Zaradi odsotnosti nekaterih spremenljivk niso poenostavljeni le izračuni, kot smo že omenili, ampak tudi sama konstrukcija.
Takoj, ko boste lahko samozavestno poimenovali vse vrste površin, spreminjajte konstante in spreminjajte graf v eno ali drugo obliko - tema bo obvladana.
Uspeh pri študiju!
