Pitagorov izrek: kvadrat hipotenuze je enak vsoti krakov na kvadrat

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Vsak učenec ve, da je kvadrat hipotenuze vedno enak vsoti katete, od katerih je vsaka na kvadrat. Ta izjava se imenuje Pitagorejev izrek. Je eden najbolj znanih izrekov v trigonometriji in matematiki nasploh. Razmislite o tem podrobneje.

Pojem pravokotnega trikotnika

Preden nadaljujemo z obravnavo Pitagorovega izreka, v katerem je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadriranih krakov, moramo razmisliti o pojmu in lastnostih pravokotnega trikotnika, za katerega velja izrek velja.

Trikotnik je ravna figura s tremi koti in tremi stranicami. Pravokotni trikotnik, kot pove njegovo ime, ima en pravi kot, to je, da je ta kot 90o.

Iz splošnih lastnosti za vse trikotnike je znano, da je vsota vseh treh kotov te figure 180^o, kar pomeni, da je za pravokoten trikotnik vsota dva kota, ki nista prava, je 180^o -90^o=90^o. Zadnje dejstvo pomeni, da bo vsak kot v pravokotnem trikotniku, ki ni pravi kot, vedno manjši od 90^o.

Stranica, ki leži nasproti pravega kota, se imenuje hipotenuza. Drugi dve strani sta kraki trikotnika, lahko sta med seboj enaki ali pa se razlikujeta. Iz trigonometrije je znano, da večji kot je kot, proti kateremu leži stranica v trikotniku, večja je dolžina te strani. To pomeni, da bo hipotenuza v pravokotnem trikotniku (leži nasproti kota 90^o) vedno večja od katere koli katete (leži nasproti kotov < 90^o).

Matematični zapis Pitagorovega izreka

Ta izrek pravi, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti krakov, od katerih je vsaka prej na kvadrat. Če želite to formulacijo zapisati matematično, razmislite o pravokotnem trikotniku, v katerem so stranice a, b in c dva kraka oziroma hipotenuza. V tem primeru lahko izrek, ki je naveden kot kvadrat hipotenuze, enak vsoti kvadratov katete, predstavimo z naslednjo formulo: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Od tu lahko dobimo druge formule, pomembne za prakso: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) in c=√(a}2 ^{+ b}2^).).

Upoštevajte, da je v primeru pravokotnega enakostraničnega trikotnika, to je a=b, formulacija: kvadrat hipotenuze je enak vsoti katete, od katerih je vsakna kvadrat, matematično zapisano kot: c²=a² + b²=2a ^{2, kar pomeni enakost: c=a√2.}

Zgodovinsko ozadje

Pitagorejev izrek, ki pravi, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti katete, od katerih je vsaka kvadratna, je bil znan že dolgo preden je slavni grški filozof posvetil pozornost. Številni papirusi starega Egipta, pa tudi glinene tablice Babilonov potrjujejo, da so ta ljudstva uporabljala opaženo lastnost stranic pravokotnega trikotnika. Na primer, ena prvih egiptovskih piramid, Khafrejeva piramida, katere gradnja sega v 26. stoletje pred našim štetjem (2000 let pred Pitagorovim življenjem), je bila zgrajena na podlagi poznavanja razmerja stranic v pravokotnem trikotniku 3x4x5.

Zakaj je potem izrek zdaj poimenovan po Grku? Odgovor je preprost: Pitagora je prvi, ki je matematično dokazal ta izrek. Ohranjeni babilonski in egipčanski spisi le omenjajo njegovo uporabo, vendar ne nudijo nobenega matematičnega dokaza.

Meni je, da je Pitagora obravnavani izrek dokazal z uporabo lastnosti podobnih trikotnikov, ki jih je dobil tako, da je v pravokotnem trikotniku narisal višino iz kota 90o do hipotenuza.

Primer uporabe Pitagorovega izreka

Upoštevajte preprost problem: določiti je treba dolžino nagnjenega stopnišča L, če je znano, da ima višino H=3metrov, razdalja od stene, ob katero se lestev nasloni, pa je P=2,5 metra.

V tem primeru sta H in P kraka, L pa hipotenuza. Ker je dolžina hipotenuze enaka vsoti kvadratov katete, dobimo: L²=H² + P 2^{, od koder je L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metrov ali 3 metre in 90,5 cm.}