Izračun prostornine prostorskih figur je ena izmed pomembnih nalog stereometrije. V tem članku bomo obravnavali vprašanje določanja prostornine takšnega poliedra, kot je piramida, in podali tudi formulo za prostornino pravilne šesterokotne piramide.
šesterokotna piramida
Najprej poglejmo, kakšna je številka, o kateri bomo razpravljali v članku.
Imamo poljuben šesterokotnik, katerega stranice niso nujno enake. Predpostavimo tudi, da smo izbrali točko v prostoru, ki ni v ravnini šesterokotnika. Če povežemo vse vogale slednjega z izbrano točko, dobimo piramido. Dve različni piramidi s šesterokotno osnovo sta prikazani na spodnji sliki.
Vidimo, da je lik poleg šesterokotnika sestavljen iz šestih trikotnikov, katerih povezovalna točka se imenuje vrh. Razlika med upodobljenimi piramidami je v tem, da višina h desne od njih ne seka šesterokotne osnove v njenem geometrijskem središču in višina leve figure padeprav v tistem središču. Zahvaljujoč temu merilu se je leva piramida imenovala ravna, desna pa poševna.
Ker osnovo leve figure na sliki tvori šesterokotnik z enakimi stranicami in koti, se imenuje pravilna. Nadalje v članku bomo govorili samo o tej piramidi.
Prostornina šesterokotne piramide
Za izračun prostornine poljubne piramide velja naslednja formula:
V=1/3hSo
Tukaj je h dolžina višine figure, So je površina njene osnove. Uporabimo ta izraz za določitev prostornine pravilne šesterokotne piramide.
Ker obravnavana številka temelji na enakostraničnem šesterokotniku, lahko za izračun njegove površine uporabite naslednji splošni izraz za n-kotnik:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Tukaj je n celo število, ki je enako številu stranic (kotov) mnogokotnika, a je dolžina njegove stranice, kotangensna funkcija se izračuna z uporabo ustreznih tabel.
Z uporabo izraza za n=6 dobimo:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Zdaj je treba ta izraz nadomestiti s splošno formulo za prostornino V:
V6=S6h=√3/2ha2
Tako je za izračun prostornine obravnavane piramide potrebno poznati njena dva linearna parametra: dolžino stranice osnove in višino figure.
Primer reševanja problemov
Pokažimo, kako lahko dobljeni izraz za V6 uporabimo za rešitev naslednjega problema.
Znano je, da je prostornina pravilne šesterokotne piramide 100 cm3. Določiti je treba stran osnove in višino figure, če je znano, da sta med seboj povezani z naslednjo enakostjo:
a=2h
Ker sta v formulo za prostornino vključena samo a in h, je mogoče kateri koli od teh parametrov nadomestiti vanjo, izraženo z drugimi. Na primer, nadomestite a, dobimo:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Če želite najti vrednost višine figure, morate iz volumna vzeti koren tretje stopnje, ki ustreza dimenziji dolžine. Nadomestimo vrednost prostornine V6 piramide iz izjave problema, dobimo višino:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Ker je stran osnove v skladu s pogojem problema dvakrat večja od najdene vrednosti, dobimo zanjo vrednost:
a=2v=23, 0676=6, 1352 cm
Prostornino šesterokotne piramide je mogoče najti ne samo preko višine figure in vrednosti stranice njene osnove. Za izračun je dovolj, da poznate dva različna linearna parametra piramide, na primer apotemo in dolžino stranskega roba.
