Tako neverjeten in znan kvadrat. Je simetrična glede na središče in osi, narisane vzdolž diagonal in skozi središča stranic. In iskati površino kvadrata ali njegovo prostornino sploh ni težko. Še posebej, če je dolžina njegove stranice znana.
Nekaj besed o figuri in njenih lastnostih
Prvi dve lastnosti sta povezani z definicijo. Vse strani figure so med seboj enake. Konec koncev je kvadrat pravilen štirikotnik. Poleg tega mora imeti vse strani enake in koti imajo enako vrednost, in sicer 90 stopinj. To je druga lastnost.
Tretja je povezana z dolžino diagonal. Izkazalo se je tudi, da sta med seboj enaka. Poleg tega se sekajo pod pravimi koti in na središčih.
Formula, ki uporablja samo stransko dolžino
Najprej o zapisu. Za dolžino stranice je običajno izbrati črko "a". Nato se kvadratna površina izračuna po formuli: S=a2.
Lahko ga dobimo iz tistega, ki je znan po pravokotniku. V njej se pomnožita dolžina in širina. Za kvadrat sta ta dva elementa enaka. Zato v formuliprikaže se kvadrat te ene vrednosti.
Formula, v kateri je prikazana dolžina diagonale
To je hipotenuza v trikotniku, katerega kraki so stranice figure. Zato lahko uporabite formulo Pitagorejskega izreka in izpeljete enakost, v kateri je stran izražena skozi diagonalo.
Po tako preprostih transformacijah dobimo, da se kvadratna površina skozi diagonalo izračuna po naslednji formuli:
S=d2 / 2. Tukaj črka d označuje diagonalo kvadrata.
Formula za obod
V takšni situaciji je treba stran izraziti skozi obod in jo nadomestiti s formulo površine. Ker ima slika štiri enake stranice, bo treba obseg deliti s 4. To bo vrednost stranice, ki jo lahko nato nadomestimo z začetno in izračunamo površino kvadrata.
Splošna formula izgleda takole: S=(Р/4)2.
Problemi za izračune
1. Obstaja kvadrat. Vsota njegovih dveh stranic je 12 cm. Izračunaj površino kvadrata in njegov obseg.
Odločitev. Ker je podana vsota dveh strani, moramo najti dolžino ene. Ker sta enaka, je treba znano število le deliti z dvema. To pomeni, da je stranica te številke 6 cm.
Potem se njegov obseg in površina enostavno izračunata z uporabo zgornjih formul. Prva je 24 cm, druga pa 36 cm2.
Odgovori. Obseg kvadrata je 24 cm, njegova površina pa 36 cm2.
2. Poiščite površino kvadrata z obsegom 32 mm.
Odločitev. Dovolj je le, da nadomestimo vrednost oboda v zgoraj napisano formulo. Čeprav lahko najprej ugotovite stran kvadrata in šele nato njegovo površino.
V obeh primerih bodo dejanja najprej vključevala deljenje in nato stopnjevanje. Preprosti izračuni vodijo do dejstva, da je površina predstavljenega kvadrata 64 mm2.
Odgovori. Želeno območje je 64 mm2.
3. Stran kvadrata je 4 dm. Velikosti pravokotnika: 2 in 6 dm. Katera od obeh številk ima večjo površino? Koliko?
Odločitev. Naj bo stran kvadrata označena s črko a1, potem sta dolžina in širina pravokotnika a2 in 2 . Za določitev površine kvadrata naj bi vrednost a1 kvadrirala, vrednost pravokotnika pa je treba pomnožiti z a2in 2 . Preprosto je.
Izkazalo se je, da je površina kvadrata 16 dm2, pravokotnik pa 12 dm2. Očitno je prva številka večja od druge. To je kljub dejstvu, da sta enaka, torej da imata enak obseg. Če želite preveriti, lahko preštejete obsege. Na kvadratu je treba stran pomnožiti s 4, dobite 16 dm. Dodajte stranice pravokotnika in pomnožite z 2. To bo isto število.
V nalogi morate odgovoriti tudi, koliko se območja razlikujejo. Če želite to narediti, od večjega odštejte manjše število. Izkazalo se je, da je razlika 4 dm2.
Odgovori. Površine so 16 dm2 in 12 dm2. Kvadrat ima 4 dm več2.
Dokazna težava
Pogoj. Na kraku enakokrakega pravokotnega trikotnika je zgrajen kvadrat. Njeni hipotenuzi je zgrajena nadmorska višina, na kateri je zgrajen še en kvadrat. Dokaži, da je površina prvega dvakrat večja od drugega.
Odločitev. Naj uvedemo notacijo. Naj bo krak enak a, višina, potegnjena hipotenuzi, pa je x. Površina prvega kvadrata je S1, drugega kvadrata je S2.
Površino kvadrata, zgrajenega na nogi, je enostavno izračunati. Izkazalo se je, da je enako a2. Z drugo vrednostjo stvari niso tako preproste.
Najprej morate ugotoviti dolžino hipotenuze. Za to je uporabna formula Pitagorejskega izreka. Preproste transformacije vodijo do tega izraza: a√2.
Ker je višina enakokrakega trikotnika, narisana na osnovo, tudi mediana in višina, deli veliki trikotnik na dva enaka enakokraka pravokotna trikotnika. Zato je višina polovica hipotenuze. Se pravi, x \u003d (a √ 2) / 2. Od tu je enostavno najti območje S2. Izkazalo se je, da je enako a2/2.
Očitno se zabeležene vrednosti razlikujejo natančno za faktor dva. In drugi je veliko manj. Kot je potrebno dokazati.
Nenavadna uganka - tangram
Narejen je iz kvadrata. Po določenih pravilih ga je treba razrezati v različne oblike. Skupno število delov mora biti 7.
Pravila predvidevajo, da bodo med igro uporabljeni vsi nastali deli. Od tega morate narediti druge geometrijske oblike. na primerpravokotnik, trapez ali paralelogram.
A še bolj zanimivo je, ko se kosi spremenijo v silhuete živali ali predmetov. Poleg tega se izkaže, da je površina vseh izpeljanih številk enaka površini začetnega kvadrata.
