Kaj je aritmetika? Kdaj je človeštvo začelo uporabljati številke in delati z njimi? Kam segajo korenine takšnih vsakdanjih pojmov, kot so števila, ulomki, odštevanje, seštevanje in množenje, ki jih je človek naredil neločljiv del svojega življenja in svetovnega pogleda? Starogrški umi so občudovali znanosti, kot so matematika, aritmetika in geometrija, kot najlepše simfonije človeške logike.
Morda aritmetika ni tako globoka kot druge vede, a kaj bi se zgodilo z njimi, če bi človek pozabil na osnovno tabelo množenja? Logično razmišljanje, ki je bilo za nas običajno, z uporabo številk, ulomkov in drugih orodij, ljudem ni bilo lahko in je bilo dolgo časa nedostopno našim prednikom. Pravzaprav pred razvojem aritmetike nobeno področje človeškega znanja ni bilo resnično znanstveno.
Aritmetika je abeceda matematike
Aritmetika je znanost o številih, s katero se vsak začne seznanjati s fascinantnim svetom matematike. Kot je dejal M. V. Lomonosov, je aritmetika vrata učenja, ki nam odpirajo pot do svetovnega znanja. Ampak on ima pravAli je znanje o svetu mogoče ločiti od znanja številk in črk, matematike in govora? Morda v starih časih, vendar ne v sodobnem svetu, kjer hiter razvoj znanosti in tehnologije narekuje svoje zakone.
Beseda "aritmetika" (grško "arithmos") grškega izvora pomeni "število". Proučuje številke in vse, kar je z njimi povezano. To je svet števil: različne operacije s številkami, številska pravila, reševanje problemov, povezanih z množenjem, odštevanjem itd.
Na splošno velja, da je aritmetika začetni korak matematike in trdna podlaga za njene kompleksnejše odseke, kot so algebra, matematična analiza, višja matematika itd.
Glavni predmet aritmetike
Osnova aritmetike je celo število, katerega lastnosti in vzorci se upoštevajo v višji aritmetiki ali teoriji števil. Pravzaprav je moč celotne zgradbe – matematike – odvisna od tega, kako pravilen je pristop pri obravnavanju tako majhnega bloka kot naravnega števila.
Zato je na vprašanje, kaj je aritmetika, mogoče odgovoriti preprosto: to je znanost o številih. Ja, o običajnih sedmih, devetih in vsej tej raznoliki skupnosti. In tako kot ne morete pisati dobre ali celo najbolj povprečne poezije brez osnovne abecede, ne morete rešiti niti osnovnega problema brez aritmetike. Zato so vse vede napredovale šele po razvoju aritmetike in matematike, prej pa so bile le skupek predpostavk.
Aritmetika je fantomska znanost
Kaj je aritmetika - naravoslovje ali fantom? Pravzaprav, kot so trdili starogrški filozofi, v resnici ne obstajajo niti številke niti številke. To je le fantom, ki nastane v človekovem razmišljanju ob upoštevanju okolja z njegovimi procesi. Dejansko, kaj je številka? Nikjer naokoli ne vidimo česa takega, kar bi lahko imenovali številka, prej pa je število način človeškega uma, da preučuje svet. Ali pa gre morda za preučevanje nas samih od znotraj? Filozofi se o tem prepirajo že več stoletij zapored, zato se ne zavezujemo, da bi dali izčrpen odgovor. Tako ali drugače se je aritmetika uspela tako trdno uveljaviti, da v sodobnem svetu nikogar ne moremo šteti za družbeno prilagojenega, ne da bi poznal njene osnove.
Kako se je pojavilo naravno število
Seveda je glavni predmet, s katerim aritmetika deluje, naravno število, kot so 1, 2, 3, 4, …, 152 … itd. Aritmetika naravnih števil je rezultat štetja običajnih predmetov, kot so krave na travniku. Kljub temu definicija "veliko" ali "malo" ljudem nekoč ni več ustrezala in morali so izumiti naprednejše tehnike štetja.
Toda pravi preboj se je zgodil, ko je človeška misel dosegla točko, da je mogoče označiti 2 kilograma, 2 opeki in 2 dela z enako številko "dva". Dejstvo je, da se morate abstrahirati od oblik, lastnosti in pomena predmetov, nato pa lahko s temi predmeti izvedete nekatera dejanja v obliki naravnih števil. Tako se je rodila aritmetika števil, kinadalje razvijali in širili ter zavzemali vedno večje položaje v življenju družbe.
Taki poglobljeni koncepti števila, kot so nič in negativno število, ulomki, oznake števil s številkami in na druge načine, imajo bogato in zanimivo zgodovino razvoja.
Aritmetični in praktični Egipčani
Dva najstarejša človeška spremljevalca pri raziskovanju sveta okoli nas in reševanju vsakdanjih problemov sta aritmetika in geometrija.
Meni je, da zgodovina aritmetike izvira iz starodavnega vzhoda: v Indiji, Egiptu, Babilonu in na Kitajskem. Tako je papirus Rinda egipčanskega izvora (imenovan tako, ker je pripadal istoimenskemu lastniku), ki sega v 20. stoletje. BC poleg drugih dragocenih podatkov vsebuje razširitev enega ulomka v vsoto ulomkov z različnimi imenovalci in števcem enakim ena.
Na primer: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Toda kaj je smisel tako zapletene razgradnje? Dejstvo je, da egipčanski pristop ni prenašal abstraktnih misli o številkah, nasprotno, izračuni so bili narejeni samo za praktične namene. To pomeni, da se bo Egipčan ukvarjal z izračuni, samo zato, da bi na primer zgradil grobnico. Treba je bilo izračunati dolžino roba konstrukcije, kar je človeka prisililo, da je sedel za papirusom. Kot lahko vidite, je bil egipčanski napredek v izračunih bolj posledica množične gradnje kot pa ljubezni do znanosti.
Zato izračunov, ki jih najdemo na papirusih, ne moremo imenovati refleksije na temo ulomkov. Najverjetneje je to praktična priprava, ki je pomagala v prihodnosti.reševanje nalog z ulomki. Stari Egipčani, ki niso poznali tabel množenja, so delali precej dolge izračune, razčlenjene na številne podnaloge. Morda je to ena od teh podnalog. Preprosto je videti, da so izračuni s takšnimi obdelovanci zelo naporni in neobetavni. Morda iz tega razloga ne vidimo velikega prispevka Starega Egipta k razvoju matematike.
Stara Grčija in filozofska aritmetika
Številno znanje o starodavnem vzhodu so uspešno obvladali stari Grki, slavni ljubitelji abstraktnih, abstraktnih in filozofskih razmišljanj. Nič manj jih ni zanimala praksa, vendar je težko najti najboljše teoretike in mislece. To je koristilo znanosti, saj se je nemogoče poglobiti v aritmetiko, ne da bi jo ločili od realnosti. Seveda lahko pomnožite 10 krav in 100 litrov mleka, vendar ne boste prišli daleč.
Globoko misleči Grki so pustili pomemben pečat v zgodovini in njihovi spisi so prišli do nas:
- Evklid in elementi.
- Pythagoras.
- Arhimed.
- Eratosthen.
- Zeno.
- Anaxagoras.
In seveda so bili Grki, ki so vse spremenili v filozofijo, predvsem pa nasledniki Pitagorovega dela, tako navdušeni nad številkami, da so jih imeli za skrivnost harmonije sveta. Številke so proučevane in raziskane do te mere, da so nekaterim od njih in njihovim parom pripisane posebne lastnosti. Na primer:
- Popolna števila so tista, ki so enaka vsoti vseh njihovih deliteljev, razen števila samega (6=1+2+3).
- Prijazne številke so tiste številke, od katerih je enaje enak vsoti vseh deliteljev drugega in obratno (pitagorejci so poznali samo en tak par: 220 in 284).
Grki, ki so verjeli, da je treba znanost ljubiti in ne biti z njo zaradi dobička, so dosegli velik uspeh z raziskovanjem, igranjem in seštevanjem številk. Treba je opozoriti, da vse njihove raziskave niso bile široko uporabljene, nekatere so ostale le "za lepoto".
vzhodni misleci srednjega veka
Podobno v srednjem veku aritmetika dolguje svoj razvoj vzhodnim sodobnikom. Indijanci so nam dali številke, ki jih aktivno uporabljamo, kot je koncept "nič", in pozicijsko različico računa, ki je poznana sodobnemu dojemanju. Od Al-Kashija, ki je deloval v Samarkandu v 15. stoletju, smo podedovali decimalne ulomke, brez katerih si težko predstavljamo sodobno aritmetiko.
Na več načinov je evropsko seznanitev z dosežki vzhoda postalo mogoče zahvaljujoč delu italijanskega znanstvenika Leonarda Fibonaccija, ki je napisal delo "Knjiga o abakusu", ki je predstavil vzhodne inovacije. Postal je temelj razvoja algebre in aritmetike, raziskovalnih in znanstvenih dejavnosti v Evropi.
ruska aritmetika
In končno se je aritmetika, ki je našla svoje mesto in se ukoreninila v Evropi, začela širiti v ruske dežele. Prva ruska aritmetika je izšla leta 1703 - bila je knjiga o aritmetiki Leontija Magnitskega. Dolgo časa je ostal edini učbenik matematike. Vsebuje začetne trenutke algebre in geometrije. Številke, uporabljene v primerih prvega aritmetičnega učbenika v Rusiji, so arabske. Čeprav so bile arabske številke vidne že prej, na gravurah iz 17. stoletja.
Knjiga sama je okrašena s podobami Arhimeda in Pitagore, na prvem listu pa podoba aritmetike v obliki ženske. Ona sedi na prestolu, pod njo je v hebrejščini napisana beseda, ki označuje božje ime, na stopnicah, ki vodijo do prestola, pa so vpisane besede "deljenje", "množenje", "seštevanje" itd. resnice ki zdaj veljajo za običajne.
600-stranski učbenik zajema tako osnove, kot so tabele seštevanja in množenja ter aplikacije za navigacijske znanosti.
Ni presenetljivo, da je avtor za svojo knjigo izbral podobe grških mislecev, saj je tudi sam bil očaran nad lepoto aritmetike, rekoč: "Aritmetika je števec, tam je umetnost poštena, nezavidljiva …". Ta pristop k aritmetiki je povsem upravičen, saj se prav njegova razširjena uvedba lahko šteje za začetek hitrega razvoja znanstvene misli v Rusiji in splošne izobrazbe.
Neprosti praštevili
Prosto število je naravno število, ki ima samo 2 pozitivna delitelja: 1 in samo sebe. Vse druge številke, razen 1, se imenujejo sestavljene. Primeri praštevil: 2, 3, 5, 7, 11 in vsa druga, ki nimajo delitelja razen 1 in samega sebe.
Številka 1 je na posebnem računu - obstaja dogovor, da se ne sme obravnavati niti za preprosto niti za sestavljeno. Na prvi pogled preprosto, preprosto število v sebi skriva številne nerešene skrivnosti.
Evklidov izrek pravi, da obstaja neskončno število praštevil, Eratosten pa je izumil posebno aritmetično "sito", ki izloči neprasta števila, tako da ostanejo le preprosta.
Njegovo bistvo je podčrtati prvo neprečrtano številko, nato pa prečrtati tiste, ki so večkratne. Ta postopek večkrat ponovimo - in dobimo tabelo praštevil.
Osnovni aritmetični izrek
Med opažanji o praštevilih je treba na poseben način omeniti temeljni aritmetični izrek.
Temeljni izrek aritmetike pravi, da je katero koli celo število, večje od 1, bodisi praštevilo ali pa ga je mogoče razstaviti v zmnožek praštevil do vrstnega reda faktorjev in na edinstven način.
Glavni aritmetični izrek se je izkazal za precej okornega in razumevanje ni več videti kot najpreprostejše osnove.
Na prvi pogled so praštevila elementarni pojem, vendar niso. Tudi fizika je nekoč smatrala atom za elementarnega, dokler v njem ni našla celotnega vesolja. Čudovita zgodba matematika Dona Tzagirja "Prvih petdeset milijonov praštevil" je posvečena prostim številkam.
Od "treh jabolk" do deduktivnih zakonov
Kar resnično lahko imenujemo okrepljen temelj vse znanosti, so zakoni aritmetike. Tudi v otroštvu se vsi soočajo z aritmetiko, preučujejo število nog in rok punčk,število kock, jabolk itd. Tako študiramo aritmetiko, ki nato preide v bolj zapletena pravila.
Vse življenje nas seznanja s pravili aritmetike, ki so za navadnega človeka postala najbolj uporabna od vseh, kar daje znanost. Študij številk je »aritmetika-baby«, ki človeka v zgodnjem otroštvu uvaja v svet številk v obliki številk.
Višja aritmetika je deduktivna znanost, ki preučuje zakone aritmetike. Večino jih poznamo, čeprav morda ne poznamo njihovega natančnega besedila.
Zakon seštevanja in množenja
Dve poljubni naravni števili a in b se lahko izrazita kot vsota a+b, ki bo tudi naravno število. Za seštevanje veljajo naslednji zakoni:
- komutativno, ki pravi, da se vsota ne spremeni zaradi prerazporeditve izrazov, ali a+b=b+a.
- Asociativno, ki pravi, da vsota ni odvisna od načina, kako so izrazi razvrščeni po mestih, ali a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Pravila aritmetike, kot je seštevanje, so med najbolj osnovnimi, vendar jih uporabljajo vse znanosti, da ne omenjam vsakdanjega življenja.
Dve poljubni naravni števili a in b lahko izrazimo kot produkt ab ali ab, ki je tudi naravno število. Za izdelek veljajo enaki komutativni in asociativni zakoni kot za seštevanje:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Zanima meda obstaja zakon, ki združuje seštevanje in množenje, imenovan tudi distribucijski ali distributivni zakon:
a(b+c)=ab+ac
Ta zakon nas dejansko uči delati z oklepaji tako, da jih razširimo, tako da lahko delamo z bolj zapletenimi formulami. To so zakoni, ki nas bodo vodili skozi bizaren in zapleten svet algebre.
Zakon aritmetičnega reda
Zakon reda uporablja človeška logika vsak dan, pri čemer primerja ure in šteje bankovce. In kljub temu ga je treba formalizirati v obliki posebnih formulacij.
Če imamo dve naravni števili a in b, so možne naslednje možnosti:
- a je enako b ali a=b;
- a je manjše od b ali a < b;
- a je večje od b ali a > b.
Od treh možnosti je lahko samo ena pravična. Osnovni zakon, ki ureja vrstni red, pravi: če a < b in b < c, potem a< c.
Obstajajo tudi zakoni, ki se nanašajo na vrstni red množenja in seštevanja: če je a< b, potem je a + c < b+c in ac< bc.
Zakoni aritmetike nas učijo delati s številkami, znaki in oklepaji ter vse spremenijo v harmonično simfonijo številk.
Pozicijski in nepozicijski račun
Lahko rečemo, da so številke matematični jezik, od katerega je veliko odvisno od priročnosti. Obstaja veliko številskih sistemov, ki se, tako kot abecede različnih jezikov, med seboj razlikujejo.
Razmislimo o številskih sistemih z vidika vpliva položaja na kvantitativno vrednostštevilke v tem položaju. Tako je na primer rimski sistem nepozicijski, kjer je vsako število kodirano z določenim naborom posebnih znakov: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Te so enake številkam 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. V takem sistemu število ne spremeni svoje kvantitativne definicije glede na to, v katerem položaju je: prvo, drugo itd. Če želite dobiti druge številke, morate dodati osnovne. Na primer:
- DCC=700.
- CCM=800.
Številčni sistem, ki nam je bolj poznan z arabskimi številkami, je pozicijski. V takem sistemu številka števila določa število števk, na primer trimestne številke: 333, 567 itd. Teža katere koli števke je odvisna od položaja, v katerem se nahaja ta ali ona številka, na primer število 8 na drugem mestu ima vrednost 80. To je značilno za decimalni sistem, obstajajo tudi drugi pozicijski sistemi, npr., binarno.
Binarna aritmetika
Poznamo decimalni sistem, ki ga sestavljajo enomestna in večmestna števila. Številka na levi strani večmestne številke je desetkrat pomembnejša od tiste na desni. Torej, navajeni smo brati 2, 17, 467 itd. Razdelek, imenovan "binarna aritmetika", ima popolnoma drugačno logiko in pristop. To ni presenetljivo, saj binarna aritmetika ni bila ustvarjena za človeško logiko, ampak za računalniško logiko. Če je aritmetika števil izvirala iz štetja predmetov, ki je bilo nadalje abstrahirano od lastnosti predmeta na "golo" aritmetiko, potem to pri računalniku ne bo delovalo. Da bi lahko delilis svojim znanjem o računalniku je moral človek izumiti tak model računa.
Binarna aritmetika deluje z binarno abecedo, ki je sestavljena samo iz 0 in 1. Uporaba te abecede se imenuje binarni sistem.
Razlika med binarno in decimalno aritmetiko je v tem, da pomen položaja na levi ni več 10, ampak 2-krat. Binarna števila so v obliki 111, 1001 itd. Kako razumeti taka števila? Torej, upoštevajte številko 1100:
- Prva številka na levi je 18=8, če se spomnimo, da četrto številko, kar pomeni, da jo je treba pomnožiti z 2, dobimo položaj 8.
- Druga številka 14=4 (položaj 4).
- Tretja številka 02=0 (položaj 2).
- Četrta številka 01=0 (položaj 1).
- Torej je naša številka 1100=8+4+0+0=12.
To pomeni, da se pri premikanju na novo številko na levi njegov pomen v binarnem sistemu pomnoži z 2, v decimalnem pa z 10. Tak sistem ima en minus: preveliko je povečanje števke, ki so potrebne za pisanje številk. Primere predstavljanja decimalnih števil kot binarnih številk najdete v naslednji tabeli.
Spodaj so prikazana decimalna števila v binarni obliki.
Uporabljata se tudi oktalni in šestnajstiški sistem.
Ta skrivnostna aritmetika
Kaj je aritmetika, "dvakrat dva" ali neraziskane skrivnosti števil? Kot lahko vidite, se lahko aritmetika na prvi pogled zdi preprosta, vendar je njena neočitna lahkotnost zavajajoča. Preučujejo jo lahko tudi otroci skupaj s teto sovo izrisanka "Aritmetika-dojenček" in se lahko potopite v globoko znanstveno raziskovanje skoraj filozofskega reda. V zgodovini je prešla od štetja predmetov do čaščenja lepote številk. Zagotovo je znano le eno: z vzpostavitvijo osnovnih aritmetičnih postulatov se lahko vsa znanost zanese na njeno močno ramo.
