Številski sistemi - kaj je to? Tudi ne da bi poznali odgovor na to vprašanje, vsak od nas nehote uporablja številske sisteme v svojem življenju in tega ne sumi. Tako je, množina! Se pravi, ne ena, ampak več. Preden podamo primere nepozicijskih številskih sistemov, poglejmo to vprašanje, pogovorimo se tudi o pozicijskih sistemih.
Potreben je račun
Ljudje so že od antičnih časov imeli potrebo po štetju, torej intuitivno so spoznali, da morajo nekako izraziti kvantitativno vizijo stvari in dogodkov. Možgani so predlagali, da je treba za štetje uporabiti predmete. Prsti so bili vedno najbolj priročni in to je razumljivo, saj so vedno na voljo (z redkimi izjemami).
Tako so morali starodavni predstavniki človeške rase upogniti prste v dobesednem pomenu - da bi na primer označili število ubitih mamutov. Takšni elementi računa še niso imeli imen, ampak le vizualno sliko, primerjavo.
Sodobni pozicijski številski sistemi
Številčni sistem je metoda (način) predstavljanja kvantitativnih vrednosti in količin z uporabo določenih znakov (simbolov ali črk).
Preden navedemo primere nepozicijskih številskih sistemov, je treba razumeti, kaj je pri štetju pozicijsko in nepozicijsko. Obstaja veliko pozicijskih številskih sistemov. Zdaj se uporabljajo na različnih področjih znanja: binarni (vključuje samo dva pomembna elementa: 0 in 1), šestnajstiški (število znakov - 6), osmiški (znakov - 8), dvanajstiški (dvanajst znakov), šestnajstiški (vključuje šestnajst znakov). znaki). Poleg tega se vsaka vrstica znakov v sistemih začne od nič. Sodobne računalniške tehnologije temeljijo na uporabi binarnih kod - binarnega pozicijskega številskega sistema.
Decimalni številski sistem
Pozicionalnost je prisotnost pomembnih pozicij v različni meri, na katerih se nahajajo znaki števila. To je najbolje dokazati na primeru decimskega številskega sistema. Navsezadnje smo ga navajeni uporabljati že od otroštva. V tem sistemu je deset znakov: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vzemite številko 327. Ima tri znake: 3, 2, 7. Vsak od njih se nahaja v lasten položaj (mesto). Sedem zavzame položaj, rezerviran za posamezne vrednosti (enote), dve - desetice in tri - stotine. Ker je številka trimestna, so v njej samo trije položaji.
Na podlagi zgornjega, totrimestno decimalno število lahko opišemo takole: tristo, dve desetici in sedem enot. Poleg tega se pomembnost (pomembnost) pozicij šteje od leve proti desni, od šibke pozicije (ena) do močnejšega (stotine).
V decimalnem pozicijskem številskem sistemu se počutimo zelo udobno. Na rokah imamo deset prstov, enako na nogah. Pet plus pet - tako si, zahvaljujoč prstom, zlahka predstavljamo ducat iz otroštva. Zato se otroci zlahka naučijo tabele za množenje za pet in deset. In prav tako se je tako enostavno naučiti šteti bankovce, ki so najpogosteje večkratniki (torej deljeni brez preostanka) s pet in deset.
Drugi pozicijski številski sistemi
Na presenečenje mnogih je treba povedati, da so naši možgani ne le v sistemu decimalnega štetja navajeni delati nekatere izračune. Do zdaj je človeštvo uporabljalo šest in dvanajstiške številske sisteme. To pomeni, da je v takem sistemu samo šest znakov (v šestnajstiškem): 0, 1, 2, 3, 4, 5. V dvanajstiškem jih je dvanajst: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kjer A - označuje število 10, B - število 11 (ker mora biti znak ena).
Sodite sami. Čas štejemo v šestih, kajne? Ena ura je šestdeset minut (šest desetic), en dan je štiriindvajset ur (dvakrat dvanajst), leto je dvanajst mesecev in tako naprej … Vsi časovni intervali se zlahka prilegajo šestim in dvanajstiškim nizom. A tega smo tako navajeni, da pri štetju časa niti ne pomislimo na to.
Nepozicijski številski sistemi. enojni
Treba je definirati, kaj je - nepozicijski številski sistem. To je takšen znakovni sistem, v katerem za znake števila ni pozicij oziroma načelo »branja« številke ni odvisno od položaja. Ima tudi svoja pravila za pisanje ali računanje.
Navedimo primere nepozicijskih številskih sistemov. Vrnimo se v antiko. Ljudje so potrebovali račun in so prišli do najpreprostejšega izuma - vozlov. Nepozicijski številski sistem je nodularen. En kos (vreča riža, bik, kozolec itd.) je bil preštet, na primer pri nakupu ali prodaji, in zavezan vozel na vrvici.
Posledično je bilo na vrvi narejenih toliko vozlov, kolikor je bilo kupljenih vreč riža (na primer). Lahko pa so tudi zareze na leseni palici, na kamniti plošči itd. Takšen številski sistem je postal znan kot nodularni. Ima drugo ime - enolično ali samsko ("uno" v latinščini pomeni "ena").
Postane očitno, da ta številčni sistem ni pozicijski. Konec koncev, o kakšnih pozicijah lahko govorimo, ko je (pozicija) samo ena! Nenavadno je, da se v nekaterih delih Zemlje še vedno uporablja unarni nepozicijski številski sistem.
Nepozicijski številski sistemi vključujejo tudi:
- rimščina (črke se uporabljajo za pisanje številk - latinični znaki);
- staroegipčanski (podobno kot rimski so bili uporabljeni tudi simboli);
- abecedno (uporabljene so bile črke abecede);
- babilonski (klinopis - uporablja se neposredno inobrnjen "klin");
- grščina (imenovana tudi abecedno).
rimski številčni sistem
Starodavno rimsko cesarstvo, pa tudi njegova znanost, je bila zelo napredna. Rimljani so svetu dali številne uporabne izume znanosti in umetnosti, vključno z njihovim sistemom štetja. Pred dvesto leti so bile rimske številke uporabljene za označevanje zneskov v poslovnih dokumentih (s tem so se izognili ponarejanju).
Rimsko številčenje je primer nepozicijskega številskega sistema, zdaj ga poznamo. Tudi rimski sistem se aktivno uporablja, vendar ne za matematične izračune, temveč za ozko usmerjena dejanja. Na primer, s pomočjo rimskih številk je v knjižnih publikacijah običajno označevati zgodovinske datume, stoletja, število zvezkov, razdelkov in poglavij. Rimski znaki se pogosto uporabljajo za okrasitev številčnic. In tudi rimsko številčenje je primer nepozicijskega številskega sistema.
Rimljani so številke označevali z latinskimi črkami. Poleg tega so številke zapisali po določenih pravilih. V rimskem številčnem sistemu je seznam ključnih simbolov, s pomočjo katerih so bile zapisane vse številke brez izjeme.
| Število (decimalno) | rimska številka (črka latinske abecede) |
| 1 | jaz |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Pravila za sestavljanje številk
Zahtevano število smo dobili tako, da smo dodali znake (latinske črke) in izračunali njihovo vsoto. Razmislimo, kako so znaki simbolično zapisani v rimskem sistemu in kako jih je treba »brati«. Naštejmo glavne zakonitosti tvorbe števil v rimskem nepozicijskem številskem sistemu.
- Številka štiri - IV, je sestavljena iz dveh znakov (I, V - ena in pet). Dobimo ga tako, da manjši predznak odštejemo od večjega, če je levo. Ko se na desni nahaja manjši znak, morate dodati, potem dobite številko šest - VI.
- Potrebno je dodati dva enaka znaka drug poleg drugega. Na primer: SS je 200 (C je 100) ali XX je 20.
- Če je prvi znak števila manjši od drugega, je lahko tretji znak v tej vrstici znak, katerega vrednost je celo manjša od prvega. Da se izognete zmedi, tukaj je primer: CDX - 410 (v decimalni obliki).
- Nekatera velika števila je mogoče predstaviti na različne načine, kar je ena od slabosti rimskega sistema štetja. Tukaj je nekaj primerov: MVM (rimsko)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimalno) ali MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. In to še ni vse.
Aritmetični triki
Nepozicijski številski sistem je včasih zapleten niz pravil za tvorbo števil, njihovo obdelavo (dejanja na njih). Aritmetične operacije v nepozicijskih številskih sistemih niso enostavneza sodobne ljudi. Starim rimskim matematikom ne zavidamo!
Primer seštevanja. Poskusimo dodati dve številki: XIX + XXVI=XXXV, ta naloga se izvede v dveh korakih:
- Najprej - vzemite in dodajte manjše ulomke števil: IX + VI=XV (I za V in I pred X se "uničim" drug drugega).
- Druga - dodajte velike ulomke dveh števil: X + XX=XXX.
Odštevanje je nekoliko bolj zapleteno. Število, ki ga je treba zmanjšati, je treba razdeliti na njegove sestavne elemente, nato pa podvojene znake zmanjšati v številu, ki ga je treba zmanjšati in odšteti. Odštejte 263 od 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Množenje rimskih številk. Mimogrede, treba je omeniti, da Rimljani niso imeli znakov računskih operacij, ampak so jih preprosto označevali z besedami.
Število večkratnikov je bilo treba pomnožiti z vsakim posameznim simbolom množitelja, kar je povzročilo več izdelkov, ki jih je bilo treba dodati. Tako se polinomi množijo.
Glede na deljenje je bil ta proces v rimskem številčnem sistemu in ostaja najtežji. Tu so uporabljali starorimski abakus. Za delo z njim so bili ljudje posebej usposobljeni (in vsakemu ni uspelo obvladati takšne znanosti).
O slabostih nepozicijskih sistemov
Kot že omenjeno, imajo nepozicijski številski sistemi svoje pomanjkljivosti, nevšečnosti pri uporabi. Unary je dovolj preprost za preprosto štetje, za aritmetiko in zapletene izračune pa nedovolj dobro.
V rimščini ni enotnih pravil za tvorbo velikih števil in nastane zmeda, prav tako pa je v njem zelo težko delati izračune. Prav tako je bilo največje število, ki so ga stari Rimljani lahko zapisali s svojo metodo, 100.000.
