Trikotna piramida in formule za določanje njene površine

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Piramida je geometrijska prostorska figura, katere značilnosti se preučujejo v srednji šoli pri predmetu geometrije trdnih snovi. V tem članku bomo obravnavali trikotno piramido, njene vrste, pa tudi formule za izračun njene površine.

O kateri piramidi govorimo?

Trikotna piramida je figura, ki jo lahko dobimo tako, da povežemo vsa oglišča poljubnega trikotnika z eno samo točko, ki ne leži v ravnini tega trikotnika. Po tej definiciji naj bi obravnavana piramida sestavljena iz začetnega trikotnika, ki se imenuje osnova figure, in treh stranskih trikotnikov, ki imajo eno skupno stran z osnovo in so med seboj povezani v točki. Slednji se imenuje vrh piramide.

Zgornja slika prikazuje poljubno trikotno piramido.

Obravnavana številka je lahko poševna ali ravna. V slednjem primeru mora pravokotnica, spuščena z vrha piramide na njeno osnovo, sekati v geometrijskem središču. geometrijsko središče katerega kolitrikotnik je presečišče njegovih median. Geometrijsko središče sovpada s središčem mase figure v fiziki.

Če pravilen (enakostranični) trikotnik leži na dnu ravne piramide, se imenuje pravilen trikotnik. V pravilni piramidi so vse stranice enake druga drugi in so enakostranični trikotniki.

Če je višina pravilne piramide taka, da njeni stranski trikotniki postanejo enakostranični, se imenuje tetraeder. V tetraedru so vse štiri ploskve enake druga drugi, zato lahko vsako od njih štejemo za bazo.

Piramidni elementi

Ti elementi vključujejo obraze ali stranice figure, njene robove, oglišča, višino in apoteme.

Kot je prikazano, so vse stranice trikotne piramide trikotniki. Njihovo število je 4 (3 stranske in ena na dnu).

Točki so presečišča treh trikotnih stranic. Ni težko uganiti, da jih je za obravnavano piramido 4 (3 pripadajo dnu in 1 vrhu piramide).

Robove lahko definiramo kot premice, ki sekajo dve trikotni strani, ali kot črte, ki povezujejo vsaki dve točki. Število robov ustreza dvakratnemu številu osnovnih vozlišč, to pomeni, da je za trikotno piramido 6 (3 robovi pripadajo bazi, 3 robovi pa tvorijo stranske ploskve).

Višina, kot je navedeno zgoraj, je dolžina navpičnice, potegnjene od vrha piramide do njene osnove. Če iz tega oglišča potegnemo višine na vsako stran trikotne osnove,potem se bodo imenovali apotemi (ali apotemi). Tako ima trikotna piramida eno višino in tri apoteme. Slednji so med seboj enaki za pravilno piramido.

Osnova piramide in njeno območje

Ker je osnova obravnavane figure na splošno trikotnik, je za izračun njegove površine dovolj najti njegovo višino h_o in dolžino stranice osnove a, na katero se spusti. Formula za površino S_o osnove je:

S_o=1/2h_oa

Če je trikotnik osnove enakostranični, se površina osnove trikotne piramide izračuna z naslednjo formulo:

S_o=√3/4a²

To pomeni, da je površina S_o enolično določena z dolžino stranice a trikotne osnove.

Stranica in skupna površina figure

Pred obravnavanjem površine trikotne piramide je koristno prikazati njen razvoj. Na spodnji sliki je.

Površina tega zamaha, ki ga tvorijo štirje trikotniki, je skupna površina piramide. Eden od trikotnikov ustreza osnovi, katere formula za obravnavano vrednost je bila zapisana zgoraj. Tri stranske trikotne ploskve skupaj tvorijo stransko območje figure. Zato je za določitev te vrednosti dovolj, da za vsakega od njih uporabite zgornjo formulo za poljuben trikotnik in nato dodate tri rezultate.

Če je piramida pravilna, potem izračunbočna površina je olajšana, saj so vse stranske ploskve enake enakostranične trikotnike. Označimo h_bdolžino apotema, nato pa površino stranske površine S_b lahko določimo na naslednji način:

S_b=3/2ah_b

Ta formula izhaja iz splošnega izraza za površino trikotnika. Število 3 se je pojavilo v števcih zaradi dejstva, da ima piramida tri stranske ploskve.

Apotema h_b v pravilni piramidi se lahko izračuna, če je znana višina figure h. Z uporabo Pitagorovega izreka dobimo:

h_b=√(h²+ a²/12)

Očitno je skupna površina S površine figure enaka vsoti njenih stranskih in osnovnih površin:

S=S_o+ S_b

Za običajno piramido, ki nadomesti vse znane vrednosti, dobimo formulo:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Površina trikotne piramide je odvisna samo od dolžine stranice njene osnove in od višine.

Primer težave

Veno je, da je stranski rob trikotne piramide 7 cm, stranica osnove pa 5 cm. Če veste, da je piramida, morate najti površino figure. je redno.

Uporabite splošno enakost:

S=S_o+ S_b

Območje S_oje enako:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Za določitev bočne površine morate najti apotemo. Ni težko pokazati, da je skozi dolžino stranskega roba a_b določena s formulo:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Potem je območje S_b:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Skupna površina piramide je:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Upoštevajte, da pri reševanju težave pri izračunih nismo uporabili vrednosti višine piramide.