Letalo v vesolju. Lokacija letal v vesolju

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Ravnina je geometrijski objekt, katerega lastnosti se uporabljajo pri gradnji projekcij točk in črt ter pri izračunu razdalj in diedrskih kotov med elementi tridimenzionalnih figur. V tem članku razmislimo, katere enačbe je mogoče uporabiti za preučevanje lokacije ravnin v prostoru.

Definicija letala

Vsakdo si intuitivno predstavlja, o katerem predmetu bo govora. Z geometrijskega vidika je ravnina zbirka točk, med katerimi morajo biti vsi vektorji pravokotni na en vektor. Na primer, če je v prostoru m različnih točk, potem je mogoče iz njih narediti m(m-1) / 2 različnih vektorjev, ki povezujejo točke v parih. Če so vsi vektorji pravokotni na eno smer, potem je to zadosten pogoj, da vse točke m pripadajo isti ravnini.

Splošna enačba

V prostorski geometriji je ravnina opisana z enačbami, ki na splošno vsebujejo tri neznane koordinate, ki ustrezajo osi x, y in z. Zadobimo splošno enačbo v ravninskih koordinatah v prostoru, predpostavimo, da obstajata vektor n¯(A; B; C) in točka M(x₀; y₀; z_{0). Z uporabo teh dveh objektov je mogoče ravnino enolično definirati.}

Dejansko, predpostavimo, da obstaja neka druga točka P(x; y; z), katere koordinate niso znane. V skladu z zgornjo definicijo mora biti vektor MP¯ pravokoten na n¯, to pomeni, da je skalarni produkt zanje enak nič. Nato lahko zapišemo naslednji izraz:

(n¯MP¯)=0 ali

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Če odpremo oklepaje in uvedemo nov koeficient D, dobimo izraz:

Ax + By + Cz + D=0, kjer je D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ta izraz se imenuje splošna enačba za ravnino. Pomembno si je zapomniti, da koeficienti pred x, y in z tvorijo koordinate vektorja n¯(A; B; C), pravokotnega na ravnino. Sovpada z normalnim in je vodilo za letalo. Za določitev splošne enačbe ni pomembno, kam je ta vektor usmerjen. To pomeni, da bodo ravnine, zgrajene na vektorjih n¯ in -n¯, enake.

Zgornja slika prikazuje ravnino, vektor, ki je normalen nanjo, in črto, pravokotno na ravnino.

Segmenti, odrezani z ravnino na osi in ustrezna enačba

Splošna enačba omogoča uporabo preprostih matematičnih operacij za določitev, vv katerih točkah bo ravnina sekala koordinatne osi. Te podatke je pomembno poznati, da imamo predstavo o položaju letala v prostoru, pa tudi, ko ga upodabljamo na risbah.

Za določitev imenovanih presečišč se uporablja enačba v segmentih. Imenuje se tako, ker izrecno vsebuje vrednosti dolžin segmentov, odrezanih z ravnino na koordinatnih osih, pri štetju od točke (0; 0; 0). Dobimo to enačbo.

Napišite splošni izraz za ravnino, kot sledi:

Ax + By + Cz=-D

Levi in desni del je mogoče deliti z -D, ne da bi pri tem kršili enakost. Imamo:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ali

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Začrtaj imenovalce vsakega izraza z novim simbolom, dobimo:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, potem

x/p + y/q + z/r=1

To je enačba, omenjena zgoraj v segmentih. Iz tega sledi, da vrednost imenovalca vsakega člena označuje koordinato presečišča z ustrezno osjo ravnine. Na primer, seka y-os v točki (0; q; 0). To je enostavno razumeti, če v enačbo nadomestite koordinate nič x in z.

Upoštevajte, da če v enačbi v segmentih ni spremenljivke, to pomeni, da ravnina ne seka ustrezne osi. Na primer glede na izraz:

x/p + y/q=1

To pomeni, da bo ravnina odrezala segmenta p in q na osi x in y, vendar bo vzporedna z osjo z.

Sklep o obnašanju letala obodsotnost neke spremenljivke v njeni enačbi velja tudi za izraz splošnega tipa, kot je prikazano na spodnji sliki.

Vektorska parametrična enačba

Obstaja tretja vrsta enačbe, ki omogoča opis ravnine v prostoru. Imenuje se parametrični vektor, ker ga podajata dva vektorja, ki ležita v ravnini, in dva parametra, ki lahko sprejmeta poljubne neodvisne vrednosti. Pokažimo, kako je mogoče dobiti to enačbo.

Predpostavimo, da obstaja nekaj znanih vektorjev u ¯(a₁; b₁; c₁) in v¯(a₂; b₂; c₂). Če niso vzporedni, jih je mogoče uporabiti za nastavitev določene ravnine tako, da pritrdite začetek enega od teh vektorjev na znano točko M(x₀; y₀; z_{0). Če lahko poljubni vektor MP¯ predstavimo kot kombinacijo linearnih vektorjev u¯ in v¯, potem to pomeni, da točka P(x; y; z) pripada isti ravnini kot u¯, v¯. Tako lahko zapišemo enakost:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ali če to enakost zapišemo v smislu koordinat, dobimo:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Predstavljena enakost je parametrična vektorska enačba za ravnino. ATvektorski prostor na ravnini u¯ in v¯ imenujemo generatorja.

Naprej bo pri reševanju problema prikazano, kako je mogoče to enačbo zmanjšati na splošno obliko za ravnino.

Kot med ravninama v prostoru

Intuitivno se lahko ravnine v 3D prostoru sekajo ali ne. V prvem primeru je zanimivo najti kot med njima. Izračun tega kota je težji od kota med črtami, saj govorimo o diedralnem geometrijskem objektu. Na pomoč pa priskoči že omenjeni vodilni vektor za letalo.

Geometrijsko je ugotovljeno, da je kot diedra med dvema sekajočima ravninama natančno enak kotu med njunima vodilnima vektorjema. Označimo te vektorje kot n₁¯(a₁; b₁; c_{1) in n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2 _{). Kosinus kota med njima se določi iz skalarnega produkta. To pomeni, da je sam kot v prostoru med ravninama mogoče izračunati po formuli:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Tukaj se z modulom v imenovalcu zavrže vrednost topega kota (med sekajočimi se ravninama je vedno manjši ali enak 90o).

V koordinatni obliki lahko ta izraz prepišemo na naslednji način:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

ravnine pravokotne in vzporedne

Če se ravnini sekata in je diedrski kot, ki ga tvorita, 90o, bosta pravokotni. Primer takšnih ravnin je pravokotna prizma ali kocka. Te figure tvori šest ravnin. Na vsakem vrhu poimenovanih figur so tri ravnine, pravokotne druga na drugo.

Da bi ugotovili, ali so obravnavane ravnine pravokotne, je dovolj, da izračunamo skalarni produkt njihovih normalnih vektorjev. Zadosten pogoj za pravokotnost v prostoru ravnin je ničelna vrednost tega produkta.

Vzporednice se imenujejo nesekajoče se ravnine. Včasih se tudi reče, da se vzporedne ravnine sekajo v neskončnosti. Pogoj vzporednosti v prostoru ravnin sovpada s tem pogojem za vektorja smeri n₁¯ in n_{2¯. Preverite lahko na dva načina:}

Izračunajte kosinus diedralnega kota (cos(φ)) z uporabo skalarnega produkta. Če sta ravnini vzporedni, bo vrednost 1.

Poskusite predstaviti en vektor skozi drugega tako, da pomnožite z neko številko, t.j. n₁¯=kn_{2¯. Če je to mogoče, potem so ustrezne ravninevzporedno.}

Slika prikazuje dve vzporedni ravnini.

Sedaj navedemo primere reševanja dveh zanimivih problemov z uporabo pridobljenega matematičnega znanja.

Kako dobiti splošno obliko iz vektorske enačbe?

To je parametrični vektorski izraz za ravnino. Za lažje razumevanje poteka operacij in uporabljenih matematičnih trikov si oglejte poseben primer:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Razširite ta izraz in izrazite neznane parametre:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Potem:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Če odpremo oklepaje v zadnjem izrazu, dobimo:

z=2x-2 + 3y - 6 ali

2x + 3y - z - 8=0

Pridobili smo splošno obliko enačbe za ravnino, določeno v izjavi problema v vektorski obliki

Kako zgraditi letalo skozi tri točke?

Možno je narisati eno ravnino skozi tri točke, če te točke ne pripadajo eni sami ravni črti. Algoritem za rešitev te težave je sestavljen iz naslednjega zaporedja dejanj:

poiščite koordinate dveh vektorjev tako, da povežete znane točke v parih;
izračunajte njihov navzkrižni produkt in dobite vektor, normalen na ravnino;
napišite splošno enačbo z uporabo najdenega vektorja inkatera koli od treh točk.

Vzemimo konkreten primer. Podane točke: