Planimetrija je veja geometrije, ki preučuje lastnosti ravninskih figur. Ti vključujejo ne le dobro znane trikotnike, kvadrate, pravokotnike, temveč tudi ravne črte in kote. V planimetriji obstajajo tudi koncepti koti v krogu: osrednji in vpisani. Toda kaj pomenijo?
Kakšen je osrednji kot?
Če želite razumeti, kaj je osrednji kot, morate definirati krog. Krog je zbirka vseh točk, enako oddaljenih od dane točke (središče kroga).
Zelo pomembno je, da ga ločimo od kroga. Ne smemo pozabiti, da je krog zaprta črta, krog pa je del ravnine, ki jo omejuje. V krog je mogoče vpisati mnogokotnik ali kot.
Osrednji kot je kot, katerega vrh sovpada s središčem kroga in katerega stranice sekajo krog v dveh točkah. Lok, ki ga kot omejuje s presečišči, se imenuje lok, na katerem sloni dani kot.
Upoštevajte primer 1.
Na sliki je kot AOB osrednji, ker sta oglišče kota in središče kroga ena točka O. Sloni na loku AB, ki ne vsebuje točke C.
Kako se vpisani kot razlikuje od osrednjega?
Vendar pa poleg osrednjih obstajajo tudi vpisani koti. Kakšna je njihova razlika? Tako kot osrednji kot, vpisan v krog, počiva na določenem loku. Toda njegovo vrh ne sovpada s središčem kroga, ampak leži na njem.
Vzemimo naslednji primer.
Kot ACB se imenuje kot, vpisan v krog s središčem v točki O. Točka C pripada krogu, torej leži na njem. Kot počiva na loku AB.
Kakšen je osrednji kot
Za uspešno obvladovanje težav v geometriji ni dovolj, da znamo razlikovati med vpisanim in osrednjim kotom. Praviloma morate za njihovo reševanje natančno vedeti, kako najti osrednji kot v krogu, in znati izračunati njegovo vrednost v stopinjah.
Torej, osrednji kot je enak stopinjski meri loka, na katerem sloni.
Na sliki kot AOB leži na loku AB, ki je enak 66°. Torej je kot AOB enak 66°.
Tako so osrednji koti, ki temeljijo na enakih lokih, enaki.
Na sliki je lok DC enak loku AB. Torej je kot AOB enak kotu DOC.
Kako najti vpisani kot
Morda se zdi, da je kot, vpisan v krog, enak osrednjemu kotu,ki se opira na isti lok. Vendar je to huda napaka. Pravzaprav, tudi če samo pogledate risbo in primerjate te kote med seboj, lahko vidite, da bodo njihove stopnje stopnje imele različne vrednosti. Kakšen je torej kot, vpisan v krog?
Stopninska mera vpisanega kota je polovica loka, na katerem sloni, ali polovica osrednjega kota, če se zanašata na isti lok.
Upoštevajmo primer. Kot ACB temelji na loku, enakem 66°.
Torej kot DIA=66°: 2=33°
Razmislimo o nekaterih posledicah tega izreka.
- Vpisani koti, če temeljijo na istem loku, tetivi ali enakih lokih, so enaki.
- Če vpisani koti temeljijo na isti tetivi, vendar njihova oglišča ležijo na nasprotnih straneh le-te, je vsota stopinjskih mer takih kotov 180°, saj v tem primeru oba kota temeljita na lokih, skupna stopinjska mera je 360° (cel krog), 360°: 2=180°
- Če vpisani kot temelji na premeru danega kroga, je njegova stopinska mera 90°, saj premer vleče lok enak 180°, 180°: 2=90°
- Če osrednji in vpisani kot v krogu temeljita na istem loku ali tetivi, je vpisani kot enak polovici osrednjega.
Kje je mogoče najti težave na to temo? Njihove vrste in rešitve
Ker so krog in njegove lastnosti eden najpomembnejših odsekov geometrije, zlasti planimetrija, sta vpisani in osrednji kot v krogu tema, ki je obsežna in podrobnaštudiral po šolskem učnem načrtu. Naloge, namenjene njihovim lastnostim, najdemo v glavnem državnem izpitu (OGE) in enotnem državnem izpitu (USE). Praviloma bi morali za reševanje teh problemov najti kote na krogu v stopinjah.
Koti, ki temeljijo na istem loku
Ta vrsta problema je morda ena najlažjih, saj morate za njeno reševanje poznati le dve preprosti lastnosti: če sta oba kota vpisana in naslanjata na isto tetivo, sta enaka, če je eden od njih osrednji, potem je ustrezni vpisani kot enak njegovi polovici. Vendar pa je treba pri njihovem reševanju biti izjemno previden: včasih je to lastnost težko opaziti in študentje pri reševanju tako preprostih problemov pridejo v slepo ulico. Razmislite o primeru.
Problem 1
Dan krog s središčem v točki O. Kot AOB je 54°. Poiščite stopinjsko mero kota DIA.
Ta naloga je rešena v enem koraku. Edino, kar potrebujete, da hitro najdete odgovor, je opaziti, da je lok, na katerem sta oba vogala, skupen. Če to vidite, lahko uporabite že znano lastnost. Kot ACB je polovica kota AOB. Torej
1) AOB=54°: 2=27°.
Odgovor: 54°.
Koti, ki temeljijo na različnih lokih istega kroga
Včasih velikost loka, na katerem leži zahtevani kot, ni neposredno določena v pogojih težave. Če ga želite izračunati, morate analizirati velikost teh kotov in jih primerjati z znanimi lastnostmi kroga.
Problem 2
V krogu s središčem na O, kot AOCje 120°, kot AOB pa 30°. Poišči kotiček VI.
Za začetek je vredno povedati, da je to težavo mogoče rešiti z uporabo lastnosti enakokrakih trikotnikov, vendar bo to zahtevalo več matematičnih operacij. Zato bomo tukaj analizirali rešitev z uporabo lastnosti osrednjega in vpisanega kota v krogu.
Torej, kot AOC počiva na loku AC in je osrednji, kar pomeni, da je lok AC enak kotu AOC.
AC=120°
Na enak način kot AOB počiva na loku AB.
AB=30°.
Če poznaš to in stopnjo stopnje celotnega kroga (360°), lahko zlahka najdeš velikost loka BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vozgališče kota CAB, točka A, leži na krogu. Zato je kot CAB vpisan in enak polovici loka CB.
Kot CAB=210°: 2=110°
Odgovor: 110°
Težave na podlagi razmerij loka
Nekateri problemi sploh ne vsebujejo podatkov o kotih, zato jih je treba iskati samo na podlagi znanih izrekov in lastnosti kroga.
Problem 1
Poišči kot, vpisan v krog, ki ga podpira tetiva, ki je enaka polmeru danega kroga.
Če miselno narišete črte, ki povezujejo konce segmenta s središčem kroga, dobite trikotnik. Ko ga pregledate, lahko vidite, da so te črte polmeri kroga, kar pomeni, da so vse strani trikotnika enake. Vemo, da so vsi koti enakostraničnega trikotnikaso enaki 60°. Torej je lok AB, ki vsebuje vrh trikotnika, enak 60°. Od tu najdemo lok AB, na katerem temelji želeni kot.
AB=360° - 60°=300°
Kot ABC=300°: 2=150°
Odgovor: 150°
Problem 2
V krogu s središčem v točki O sta loka povezana kot 3:7. Poiščite manjši vpisani kot.
Za rešitev en del označimo z X, potem je en lok enak 3X, drugi pa 7X. Če vemo, da je stopinjska mera kroga 360°, lahko napišemo enačbo.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Glede na pogoj morate najti manjši kot. Očitno je, da če je vrednost kota neposredno sorazmerna z lokom, na katerem počiva, potem zahtevani (manjši) kot ustreza loku, ki je enak 3X.
Torej je manjši kot (36°3): 2=108°: 2=54°
Odgovor: 54°
Problem 3
V krogu s središčem v točki O je kot AOB 60° in dolžina manjšega loka 50. Izračunaj dolžino večjega loka.
Da bi izračunali dolžino večjega loka, morate narediti razmerje – kako se manjši lok nanaša na večjega. Za to izračunamo velikost obeh lokov v stopinjah. Manjši lok je enak kotu, ki leži na njem. Njena stopinjska mera je 60°. Večji lok je enak razliki med stopinjsko mero kroga (ne glede na druge podatke je enak 360°) in manjšim lokom.
Veliki lok je 360° - 60°=300°.
Ker je 300°: 60°=5, je večji lok 5-krat manjši.
Veliki lok=505=250
Odgovor: 250
Torej, seveda so še drugipristopi k reševanju podobnih problemov, vendar vsi nekako temeljijo na lastnostih osrednjih in vpisanih kotov, trikotnikov in krogov. Če jih želite uspešno rešiti, morate natančno preučiti risbo in jo primerjati s podatki o problemu ter znati uporabiti svoje teoretično znanje v praksi.
