Simbolna logika je veja znanosti, ki preučuje pravilne oblike sklepanja. Ima temeljno vlogo v filozofiji, matematiki in računalništvo. Tako kot filozofija in matematika ima logika starodavne korenine. Najstarejše razprave o naravi pravilnega sklepanja so bile napisane pred več kot 2000 leti. Nekateri najbolj znani filozofi antične Grčije so pisali o naravi zadrževanja pred več kot 2300 leti. Starodavni kitajski misleci so približno v istem času pisali o logičnih paradoksih. Čeprav njene korenine segajo daleč nazaj, je logika še vedno živahno področje študija.
Matematična simbolična logika
Treba je znati tudi razumeti in sklepati, zato je bila posebna pozornost posvečena logičnim zaključkom, ko ni bilo posebne opreme za analizo in diagnosticiranje različnih področij življenja. Sodobna simbolna logika je nastala iz dela Aristotela (384-322 pr.n.št.), velikega grškega filozofa in enega najvplivnejših mislecev vseh časov. Nadaljnji uspehi so biliGrški stoiški filozof Krisip, ki je razvil temelje tega, kar danes imenujemo propozicijska logika.
Matematična ali simbolna logika se je aktivno razvijala šele v 19. stoletju. Pojavila so se dela Boolea, de Morgana, Schroederja, v katerih so znanstveniki algebrizirali Aristotelove nauke in tako tvorili osnovo za propozicijski račun. Sledilo je delo Fregeja in Preecea, v katerem so bili uvedeni koncepti spremenljivk in kvantifikatorjev, ki so se začeli uporabljati v logiki. Tako je nastal izračun predikatov - izjav o subjektu.
Logika je implicirala dokaz nespornih dejstev, ko ni bilo neposredne potrditve resnice. Logični izrazi naj bi sogovornika prepričali o resničnosti.
Logične formule so bile zgrajene na principu matematičnega dokaza. Tako so sogovornike prepričali o natančnosti in zanesljivosti.
Vendar so bile vse oblike argumentov zapisane z besedami. Ni bilo formalnih mehanizmov, ki bi ustvarili logični dedukcijski račun. Ljudje so začeli dvomiti, ali se znanstvenik skriva za matematičnimi izračuni in za njimi skriva absurdnost svojih ugibanj, saj lahko vsak svoje argumente predstavi v drugačno korist.
Rojstvo smiselnosti: trdna logika v matematiki kot dokaz resnice
Proti koncu 18. stoletja se je kot znanost pojavila matematična oziroma simbolna logika, ki je vključevala proces preučevanja pravilnosti sklepov. Imeli naj bi logičen konec in povezavo. Toda kako je bilo dokazatiali utemeljiti podatke raziskave?
Veliki nemški filozof in matematik Gottfried Leibniz je bil eden prvih, ki je spoznal potrebo po formalizaciji logičnih argumentov. Leibnizove sanje so bile: ustvariti univerzalni formalni jezik znanosti, ki bi vse filozofske spore zreduciral na preprost izračun in preoblikoval sklepanje v takih razpravah v tem jeziku. Matematična ali simbolna logika se je pojavila v obliki formul, ki so olajšale naloge in rešitve v filozofskih vprašanjih. Ja, in to področje znanosti je postalo pomembnejše, saj je potem nesmiselno filozofsko klepetanje postalo dno, na katerem se opira matematika sama!
V našem času je tradicionalna logika simbolična aristotelovska, ki je preprosta in nezahtevna. V 19. stoletju se je znanost soočila s paradoksom množic, ki je povzročil nedoslednosti v tistih zelo slavnih rešitvah Aristotelovih logičnih zaporedij. Ta problem je bilo treba rešiti, saj v znanosti ne more biti niti površinskih napak.
Formalnost Lewisa Carrolla - simbolna logika in njeni koraki transformacije
Formalna logika je zdaj predmet, ki je vključen v tečaj. Vendar pa svoj videz dolguje simbolnemu, tistemu, ki je bil prvotno ustvarjen. Simbolna logika je metoda predstavljanja logičnih izrazov z uporabo simbolov in spremenljivk in ne z običajnim jezikom. To odpravlja dvoumnost, ki spremlja običajne jezike, kot je ruščina, in olajša stvari.
Obstaja veliko sistemov simbolne logike, kot so:
- Klasični predlog.
- Logika prvega naročila.
- Modal.
Simbolna logika, kot jo razume Lewis Carroll, bi morala navesti resnične in napačne trditve v zastavljenem vprašanju. Vsak ima lahko ločene znake ali izključuje uporabo določenih znakov. Tukaj je nekaj primerov izjav, ki zaprejo logično verigo sklepov:
- Vsi ljudje, ki so mi enaki, so bitja, ki obstajajo.
- Vsi junaki, ki so enaki Batmanu, so bitja, ki obstajajo.
- Torej (ker naju z Batmanom nikoli ni bilo videti na istem mestu), so vsi ljudje enaki meni junaki, enaki Batmanu.
To ni veljavna oblika silogizma, vendar je enaka struktura kot naslednja:
- Vsi psi so sesalci.
- Vse mačke so sesalci.
- Zato so vsi psi mačke.
Očitno mora biti, da zgornja simbolna oblika v logiki ni veljavna. Vendar je v logiki pravičnost opredeljena s tem izrazom: če bi bila premisa resnična, bi bil sklep resničen. To očitno ne drži. Enako bo veljalo za primer junaka, ki ima enako obliko. Veljavnost velja samo za deduktivne argumente, ki naj bi z gotovostjo dokazali svoj zaključek, saj deduktivni argument ne more biti veljaven. Ti "popravki" se uporabljajo tudi v statistiki, kadar je posledica podatkovne napake, in sodobna simbolna logika kot jeformalnost poenostavljenih podatkov pomaga pri mnogih od teh zadev.
Indukcija v sodobni logiki
Induktivni argument je namenjen le dokazovanju njegovega zaključka z veliko verjetnostjo ali zavrnitvijo. Induktivni argumenti so močni ali šibki.
Kot induktivni argument je primer superjunaka Batmana preprosto šibek. Dvomljivo je, da Batman obstaja, zato je ena od trditev z veliko verjetnostjo že napačna. Čeprav ga še nikoli niste videli na istem mestu kot nekoga drugega, je smešno ta izraz jemati kot dokaz. Če želite razumeti bistvo logike, si predstavljajte:
- Nikoli vas niso videli na istem mestu kot domačina iz Gvineje.
- Neverjetno je, da ste vi in gvinejski človek ista oseba.
- Sedaj si predstavljajte, da se z Afričanom še nikoli nista srečala na istem mestu. Ni verjetno, da sta ti in Afričan ista oseba. Toda Gvinejca in Afričana sta se križala, tako da ne moreš biti oboje hkrati. Dokaz, da ste Afričan ali Gvinejski, se je znatno zmanjšal.
S tega vidika sama ideja simbolične logike ne pomeni apriornega odnosa do matematike. Vse, kar je potrebno za prepoznavanje logike kot simbola, je obsežna uporaba simbolov za predstavljanje logičnih operacij.
Carrollova logična teorija: zapletenost ali minimalizem v matematični filozofiji
Carroll se je naučil nekaj nenavadnih načinovzaradi česar je moral reševati precej težke probleme, s katerimi se soočajo njegovi kolegi. To mu je preprečilo bistven napredek zaradi kompleksnosti logičnega zapisa in sistemov, ki jih je prejel kot rezultat svojega dela. Raison d'être Carrollove simbolne logike je problem eliminacije. Kako najti sklep, ki ga je treba potegniti iz niza premis glede razmerja med danimi izrazi? Odprava "srednjih izrazov".
Za rešitev tega osrednjega problema logike so sredi devetnajstega stoletja izumili simbolne, diagramske, celo mehanske naprave. Vendar pa Carrollove metode za obdelavo takšnih »logičnih zaporedij« (kot jih je poimenoval) niso vedno dale prave rešitve. Kasneje je filozof objavil dva članka o hipotezah, ki se odražata v reviji Mind: Logični paradoks (1894) in Kaj je želva rekla Ahilu (1895).
O teh dokumentih so široko razpravljali logiki devetnajstega in dvajsetega stoletja (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine itd.). Prvi članek se pogosto navaja kot dobra ilustracija paradoksov materialnih implikacij, medtem ko drugi vodi do tega, kar je znano kot paradoks sklepanja.
Enostavnost simbolov v logiki
Simbolni jezik logike je nadomestek za dolge dvoumne stavke. Priročno, saj lahko v ruščini rečeš isto o različnih okoliščinah, kar bo povzročilo zmedo, v matematiki pa bodo simboli nadomestili identiteto vsakega pomena.
- Prvič, kratkost je pomembna za učinkovitost. Simbolna logika ne more brez znakov in oznak, sicer bi ostala le filozofska, brez pravice do pravega pomena.
- Drugič, simboli olajšajo videnje in oblikovanje logičnih resnic. Točki 1 in 2 spodbujata "algebraično" manipulacijo logičnih formul.
- Tretjič, ko logika izraža logične resnice, simbolna formulacija spodbuja preučevanje strukture logike. To je povezano s prejšnjo točko. Tako je simbolna logika primerna za matematično študijo logike, ki je veja predmeta matematične logike.
- Četrtič, pri ponavljanju odgovora je uporaba simbolov pomoč pri preprečevanju nejasnosti (npr. več pomenov) običajnega jezika. Prav tako pomaga zagotoviti, da je pomen edinstven.
Nazadnje, simbolni jezik logike omogoča predikatni račun, ki ga je uvedel Frege. Z leti je bil simbolni zapis samega predikatnega računa izpopolnjen in učinkovitejši, saj je dober zapis pomemben v matematiki in logiki.
Aristotelova ontologija antike
Znanstveniki so se začeli zanimati za delo misleca, ko so v svojih interpretacijah začeli uporabljati Slininove metode. Knjiga predstavlja teorije klasične in modalne logike. Pomemben del koncepta je bila redukcija na CNF v simbolni logiki formule logike predloga. Okrajšava pomeni konjunkcijo ali disjunkcijo spremenljivk.
Slinin Ya. A. je predlagal, da se kompleksne negacije, ki zahtevajo večkratno redukcijo formul, spremenijo v podformulo. Tako je nekatere vrednosti pretvoril v bolj minimalne in probleme rešil v skrajšani različici. Delo z negacijami je bilo reducirano na de Morganove formule. Zakoni, ki nosijo De Morganovo ime, so par sorodnih izrekov, ki omogočajo pretvorbo stavkov in formul v alternativne in pogosto bolj priročne. Zakoni so naslednji:
- Negacija (ali nedoslednost) disjunkcije je enaka združitvi negacije alternativ – p ali q ni enako p in ne q ali simbolno ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Negacija konjunkcije je enaka disjunkciji negacije prvotnih konjunktov, torej ni (p in q) ni enako ne p ali ne q, ali simbolično ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Zahvaljujoč tem začetnim podatkom so mnogi matematiki začeli uporabljati formule za reševanje kompleksnih logičnih problemov. Mnogi ljudje vedo, da obstaja tečaj predavanj, kjer se preučuje območje presečišča funkcij. In matrična interpretacija temelji tudi na logičnih formulah. Kaj je bistvo logike v algebraični povezavi? To je raven linearna funkcija, ko lahko znanost o številkah in filozofijo postavite na isto skledo kot »brezdušno« in nedonosno področje sklepanja. Čeprav je E. Kant mislil drugače, saj je matematik in filozof. Opozoril je, da filozofija ni nič, dokler se ne dokaže nasprotno. In dokazi morajo biti znanstveno utemeljeni. In tako se je zgodilo, da je filozofija začela imeti pomen zahvaljujočujemanje z resnično naravo številk in izračunov.
Uporaba logike v znanosti in materialnem svetu realnosti
Filozofi običajno ne uporabljajo znanosti o logičnem sklepanju le za kakšen ambiciozen projekt po diplomi (običajno z visoko stopnjo specializacije, kot je dodajanje k družboslovju, psihologiji ali etični kategorizaciji). Paradoksalno je, da je filozofska znanost »rodila« metodo izračunavanja resnice in neresnice, a je sami filozofi ne uporabljajo. Za koga so torej ustvarjeni in preoblikovani tako jasni matematični silogizmi?
- Programerji in inženirji so uporabljali simbolno logiko (ki se ne razlikuje tako od izvirnika) za implementacijo računalniških programov in celo za oblikovanje plošč.
- V primeru računalnikov je logika postala dovolj zapletena za obvladovanje številnih klicev funkcij, pa tudi za napredovanje matematike in reševanje matematičnih problemov. Velik del temelji na poznavanju matematičnega reševanja problemov in verjetnosti v kombinaciji z logičnimi pravili izločanja, razširitve in reducibilnosti.
- Računalniških jezikov ni mogoče zlahka razumeti, da logično delujejo v mejah znanja matematike in celo opravljajo posebne funkcije. Velik del računalniškega jezika je verjetno patentiran ali ga razumejo samo računalniki. Programerji zdaj pogosto pustijo računalnikom, da izvajajo logične naloge in jih rešujejo.
V okviru takšnih predpogojev mnogi znanstveniki predvidevajo ustvarjanje naprednega materiala ne zaradi znanosti, ampak zaenostavnost uporabe medijev in tehnologije. Morda bo kmalu logika prodrla v sfere ekonomije, poslovanja in celo "dvoobraznega" kvanta, ki se obnaša kot atom in kot val.
Kvantna logika v sodobni praksi matematične analize
Kvantna logika (QL) je bila razvita kot poskus izgradnje propozicijske strukture, ki bi omogočala opisovanje zanimivih dogodkov v kvantni mehaniki (QM). QL je nadomestil logično strukturo, ki ni bila dovolj za predstavljanje atomskega področja, čeprav je primerna za diskurz klasične fizike.
Matematična struktura propozicionalnega jezika o klasičnih sistemih je niz moči, delno urejenih z inkluzivno množico, s parom operacij, ki predstavljajo unijo in disjunkciju.
Ta algebra je skladna z diskurzom tako klasičnih kot relativističnih pojavov, vendar je nezdružljiva v teoriji, ki prepoveduje, na primer, dajanje hkratnih vrednosti resnice. Predlog ustanovnih očetov QL je bil ustvarjen za zamenjavo Boolove strukture klasične logike s šibkejšo strukturo, ki bi oslabila distribucijske lastnosti konjunkcije in disjunkcije.
Slabitev uveljavljenega simbolnega prodora: ali je resnica res potrebna v matematiki kot eksaktni znanosti
Med svojim razvojem se je kvantna logika začela nanašati ne le na tradicionalna, temveč tudi na več področij sodobnih raziskav, ki so poskušale razumeti mehaniko z logičnega vidika. Večkratenkvantne pristope za uvedbo različnih strategij in problemov, obravnavanih v literaturi kvantne mehanike. Kadar koli je to mogoče, se odstranijo nepotrebne formule, da se zagotovi intuitivno razumevanje konceptov pred pridobitvijo ali uvedbo povezane matematike.
Večno vprašanje pri interpretaciji kvantne mehanike je, ali so na voljo v osnovi klasične razlage za kvantno mehanske pojave. Kvantna logika je igrala veliko vlogo pri oblikovanju in izpopolnjevanju te razprave, zlasti pa nam je omogočila, da smo dokaj natančni glede tega, kaj mislimo s klasično razlago. Zdaj je mogoče z natančnostjo ugotoviti, katere teorije se lahko štejejo za zanesljive in katere so logični zaključek matematičnih sodb.
