Da bi si bralec lažje predstavljal, kaj je hiperboloid – tridimenzionalni objekt – morate najprej upoštevati istoimensko ukrivljeno hiperbolo, ki se prilega dvodimenzionalnemu prostoru.
Hiperbola ima dve osi: realno, ki na tej sliki sovpada z osjo abscise, in imaginarno z osjo y. Če miselno začnete obračati enačbo hiperbole okoli njene namišljene osi, bo površina, ki jo "vidi" krivulja, enolistni hiperboloid.
Če pa začnemo na ta način vrteti hiperbolo okoli njene realne osi, bo vsaka od dveh "polovic" krivulje tvorila svojo ločeno površino in skupaj se bo imenovala dvo- hiperboloid s ploščami.
Dobljeni z vrtenjem ustrezne ravninske krivulje se imenujejo hiperboloidi vrtenja. Imajo parametre v vseh smereh, pravokotnih na os vrtenja,ki pripada zasukani krivulji. Na splošno temu ni tako.
hiperboloidna enačba
Na splošno lahko površino definiramo z naslednjimi enačbami v kartezičnih koordinatah (x, y, z):
V primeru hiperboloida vrtenja je njegova simetrija glede na os, okoli katere se vrti, izražena z enakostjo koeficientov a=b.
hiperboloidne značilnosti
Ima trik. Vemo, da imajo krivulje na ravnini žarišča - v primeru hiperbole je na primer modul razlike v razdaljah od poljubne točke na hiperboli do enega žarišča, drugega pa je po definiciji konstanten, pravzaprav fokusa. točke.
Pri premikanju v tridimenzionalni prostor se definicija praktično ne spremeni: žarišča sta spet dve točki, razlika v razdaljah od njih do poljubne točke, ki pripada hiperboloidni površini, pa je konstantna. Kot vidite, se je iz sprememb za vse možne točke pojavila le tretja koordinata, ker so zdaj postavljene v prostor. Na splošno je definiranje fokusa enakovredno identifikaciji vrste krivulje ali površine: če govorimo o tem, kako se točke površine nahajajo glede na žarišča, dejansko odgovorimo na vprašanje, kaj je hiperboloid in kako izgleda.
Vredno je zapomniti, da ima hiperbola asimptote - ravne črte, h katerim se njene veje nagibajo v neskončnost. Če pri konstruiranju hiperboloida vrtenja miselno zavrtimo asimptote skupaj s hiperbolo, potem dobimo poleg hiperboloida še stožec, imenovan asimptotični. Asimptotični stožec jeza enolistne in dvolistne hiperboloide.
Druga pomembna značilnost, ki jo ima samo hiperboloid z enim listom, so pravokotni generatorji. Kot pove že ime, so to črte in v celoti ležijo na določeni površini. Skozi vsako točko enolistnega hiperboloida gresta dva pravokotna generatorja. Pripadajo dvema družinama vrstic, ki sta opisani z naslednjimi sistemi enačb:
Tako je hiperboloid z enim listom lahko v celoti sestavljen iz neskončnega števila ravnih črt dveh družin, pri čemer se bo vsaka vrstica ene od njih sekala z vsemi črtami druge. Površine, ki ustrezajo takšnim lastnostim, se imenujejo ravne; lahko jih zgradimo z vrtenjem ene ravne črte. Definicija z medsebojno razporeditvijo linij (premočrtnih generatorjev) v prostoru lahko služi tudi kot nedvoumna oznaka, kaj je hiperboloid.
Zanimive lastnosti hiperboloida
Krivulje drugega reda in njihove ustrezne vrtilne površine imajo vsaka zanimive optične lastnosti, povezane z žarišči. V primeru hiperboloida je to formulirano na naslednji način: če se žarek izstreli iz enega žarišča, potem, ko se odbije od najbližje "stene", bo ubral takšno smer, kot da bi prišel iz drugega žarišča.
Hiperboloidi v življenju
Najverjetneje se je večina bralcev začela seznanjati z analitično geometrijo in površinami drugega reda iz znanstvenofantastičnega romana Alekseja Tolstoja"Hiperboloidni inženir Garin". Vendar pisec sam bodisi ni dobro vedel, kaj je hiperboloid, ali pa je žrtvoval natančnost zavoljo umetnosti: opisani izum je po fizikalnih lastnostih prej paraboloid, ki zbere vse žarke v enem žarišču (medtem ko optične lastnosti hiperboloida so povezane s sipanjem žarkov).
V arhitekturi so zelo priljubljene tako imenovane hiperboloidne strukture: to so strukture, ki so v obliki enolistnega hiperboloida ali hiperboličnega paraboloida. Dejstvo je, da imajo le te vrtilne površine drugega reda pravokotne generatorje: tako je ukrivljeno strukturo mogoče zgraditi samo iz ravnih nosilcev. Prednosti takšnih konstrukcij so v sposobnosti, da prenesejo velike obremenitve, na primer vetra: hiperboloidna oblika se uporablja pri gradnji visokih struktur, na primer televizijskih stolpov.
