Bertrandov paradoks je problem v klasični interpretaciji teorije verjetnosti. Joseph ga je predstavil v svojem delu Calcul des probabilités (1889) kot primer, da verjetnosti ni mogoče natančno definirati, če mehanizem ali metoda ustvari naključno spremenljivko.
Izjava o težavi
Bertrandov paradoks je naslednji.
Najprej upoštevajte enakostranični trikotnik, vpisan v krog. V tem primeru je premer izbran naključno. Kolikšna je verjetnost, da je daljša od stranice trikotnika?
Bertrand je podal tri argumente, od katerih se zdi, da so vsi pravilni, vendar dajejo različne rezultate.
Metoda naključne končne točke
Izbrati morate dve mesti v krogu in narisati lok, ki ju povezuje. Za izračun se upošteva Bertrandov paradoks verjetnosti. Predstavljati si je treba, da je trikotnik zasukan tako, da njegovo vrh sovpada z eno od končnih točk tetive. Vredno plačatiUpoštevajte, da če je drugi del na loku med dvema mestoma, je krog daljši od stranice trikotnika. Dolžina loka je ena tretjina kroga, zato je verjetnost, da je naključna tetiva daljša, 1/3.
Način izbire
Izbrati je treba polmer kroga in točko na njem. Po tem morate skozi to mesto zgraditi tetivo, pravokotno na premer. Za izračun obravnavanega paradoksa Bertranda teorije verjetnosti si moramo predstavljati, da je trikotnik zasukan tako, da je stranica pravokotna na polmer. Tetiva je daljša od kraka, če je izbrana točka bližje središču kroga. In v tem primeru stranica trikotnika prepolovi polmer. Zato je verjetnost, da je tetiva daljša od stranice vpisane figure, 1/2.
Naključni akordi
Metoda srednje točke. Treba je izbrati mesto na krogu in ustvariti akord z dano sredino. Os je daljša od roba vpisanega trikotnika, če je izbrana lokacija znotraj koncentričnega kroga polmera 1/2. Površina manjšega kroga je ena četrtina večje figure. Zato je verjetnost naključne tetive daljša od stranice vpisanega trikotnika in je enaka 1/4.
Kot je predstavljeno zgoraj, se izbirne metode razlikujejo po teži, ki jo dajejo določenim akordom, ki so premeri. Pri 1. metodi je mogoče vsako tetivo izbrati na točno en način, ne glede na to, ali gre za premer ali ne.
Pri metodi 2 lahko vsako ravno črto izberete na dva načina. Medtem ko bo izbran kateri koli drug akordsamo ena od možnosti.
Pri metodi 3 ima vsaka izbira srednje točke en parameter. Razen središča kroga, ki je središče vseh premerov. Tem težavam se je mogoče izogniti tako, da "naročite" vsa vprašanja, da izključite parametre, ne da bi to vplivalo na posledično verjetnosti.
Izbrane metode je mogoče vizualizirati tudi na naslednji način. Tetiva, ki ni premer, je enolično identificirana po svoji sredini. Vsaka od treh zgoraj predstavljenih izbirnih metod ustvari drugačno porazdelitev sredine. In možnosti 1 in 2 zagotavljata dve različni neenakomerni particiji, medtem ko metoda 3 zagotavlja enotno porazdelitev.
Klasični paradoks reševanja Bertrandovega problema je odvisen od metode, s katero je akord izbran "naključno". Izkazalo se je, da ima problem dobro definirano rešitev, če je vnaprej določena metoda naključnega izbora. To je zato, ker ima vsaka posamezna metoda svojo porazdelitev akordov. Tri odločitve, ki jih je prikazal Bertrand, ustrezajo različnim načinom izbire in zaradi pomanjkanja dodatnih informacij ni razloga za prednost enega pred drugim. V skladu s tem navedeni problem nima ene same rešitve.
Primer, kako narediti splošni odgovor edinstven, je določiti, da so končni točki tetive enakomerno razporejeni med 0 in c, kjer je c obseg kroga. Ta porazdelitev je enaka kot v Bertrandovem prvem argumentu in posledična edinstvena verjetnost bo 1/3.
Ta paradoks Bertranda Russella in druge edinstvenosti klasikeinterpretacije možnosti upravičujejo strožje formulacije. Vključno s frekvenco verjetnosti in subjektivistično Bayesovo teorijo.
Kaj je osnova Bertrandovega paradoksa
V svojem članku iz leta 1973 "Dobro postavljeni problem" je Edwin Jaynes ponudil svojo edinstveno rešitev. Opozoril je, da Bertrandov paradoks temelji na predpostavki, ki temelji na načelu "maksimalne nevednosti". To pomeni, da ne smete uporabljati nobenih informacij, ki niso navedene v izjavi o težavi. Jaynes je poudaril, da Bertrandov problem ne določa položaja ali velikosti kroga. In trdil, da mora zato vsaka dokončna in objektivna odločitev biti "indiferentna" glede velikosti in položaja.
Za ilustracijo
Ob predpostavki, da so vsi akordi naključno postavljeni na 2-centimetrski krog, morate zdaj vanj metati slamice od daleč.
Potem morate vzeti še en krog z manjšim premerom (na primer 1 centimeter), ki se prilega večji figuri. Potem mora biti razporeditev akordov na tem manjšem krogu enaka kot na največjem. Če se tudi druga številka premika znotraj prve, se verjetnost načeloma ne bi smela spremeniti. Zelo enostavno je videti, da se bo pri metodi 3 zgodila naslednja sprememba: porazdelitev akordov na majhnem rdečem krogu bo kvalitativno drugačna od porazdelitve na velikem krogu.
Enako se zgodi za metodo 1. Čeprav je v grafičnem pogledu težje videti.
2. metoda je edinaki se izkaže za invariantno lestvico in prevod.
Zdi se, da je metoda številka 3 preprosto razširljiva.
1. metoda ni nobeno.
Vendar Janes ni zlahka uporabljala invariant, da bi sprejela ali zavrnila te metode. To bi pustilo možnost, da obstaja še ena neopisana metoda, ki bi ustrezala njenim vidikom razumnega pomena. Jaynes je uporabil integralne enačbe, ki opisujejo invariance. Za neposredno določitev porazdelitve verjetnosti. V njegovem problemu imajo integralne enačbe res edinstveno rešitev, in prav to je bila zgoraj imenovana druga metoda naključnega polmera.
V članku iz leta 2015 Alon Drory trdi, da lahko Jaynesovo načelo prinese tudi dve drugi Bertrandovi rešitvi. Avtor zagotavlja, da matematična implementacija zgornjih lastnosti invariantnosti ni edinstvena, ampak je odvisna od osnovnega postopka naključnega izbora, za katerega se oseba odloči. Pokaže, da je vsako od treh Bertrandovih rešitev mogoče dobiti z uporabo rotacijske, skalirne in translacijske invariance. Hkrati s sklepom, da je Jaynesovo načelo prav tako predmet interpretacije kot sam način brezbrižnosti.
fizični poskusi
Metoda 2 je edina rešitev, ki izpolnjuje transformacijske invariante, ki so prisotne v specifičnih fizioloških konceptih, kot sta statistična mehanika in struktura plina. Tudi v predlaganemJanesov poskus metanja slam iz majhnega kroga.
Vendar pa je mogoče oblikovati druge praktične poskuse, ki zagotavljajo odgovore po drugih metodah. Če želite na primer priti do rešitve prve metode naključne končne točke, lahko na sredino območja pritrdite števec. In naj rezultati dveh neodvisnih vrtljajev poudarijo končna mesta akorda. Da bi prišli do rešitve tretje metode, lahko na primer prekrijemo krog z melaso in označimo prvo točko, na kateri muha pristane, kot srednjo tetivo. Več kontemplatorjev je izdelalo študije, da bi prišli do različnih zaključkov in empirično potrdilo rezultate.
Zadnji dogodki
V svojem članku iz leta 2007 "Bertrandov paradoks in načelo brezbrižnosti" Nicholas Shackel trdi, da več kot stoletje pozneje problem še vedno ostaja nerešen. Nadalje ovrže načelo brezbrižnosti. Poleg tega Darrell R. Robottom v svojem prispevku iz leta 2013 "Ponovni paradoks Bertranda Russella: zakaj vse rešitve niso praktične" pokaže, da vse predlagane odločitve nimajo nič opraviti z njegovim lastnim vprašanjem. Tako se je izkazalo, da bo paradoks veliko težje rešiti, kot se je prej mislilo.
Shackel poudarja, da so doslej številni znanstveniki in ljudje, ki so daleč od znanosti, poskušali razrešiti Bertrandov paradoks. Še vedno se premaga s pomočjo dveh različnih pristopov.
Tisti, pri katerih je bila upoštevana razlika med neekvivalentnimi težavami, in tistimi, pri katerih je bil problem vedno pravilen. Shackel v svojih knjigah citira LouisaMarinoff (kot tipičen eksponent strategije diferenciacije) in Edwin Jaynes (kot avtor dobro premišljene teorije).
Vendar v svojem nedavnem delu Reševanje kompleksnega problema Diederik Aerts in Massimiliano Sassoli de Bianchi menita, da je za rešitev Bertrandovega paradoksa treba premise iskati v mešani strategiji. Po mnenju teh avtorjev je prvi korak odpraviti težavo z jasnim navedbo narave subjekta, ki je naključno razvrščen. In šele potem, ko je to storjeno, se lahko vsaka težava šteje za pravilno. Tako misli Janes.
Za rešitev je torej mogoče uporabiti načelo največje nevednosti. V ta namen, in ker problem ne določa, kako naj bi izbran akord, se načelo ne uporablja na ravni različnih možnosti, ampak na veliko globlji.
Izbor delov
Ta del problema zahteva izračun metapovprečja za vse možne načine, ki ga avtorji imenujejo univerzalna sredina. Za spopadanje s tem uporabljajo metodo diskretizacije. Navdihnjen s tem, kar se dela pri definiranju zakona verjetnosti v procesih Wiener. Njihov rezultat je skladen s številčnim rezultatom Jaynesa, čeprav se njihov dobro postavljeni problem razlikuje od prvotnega avtorjevega.
V ekonomiji in trgovini Bertrandov paradoks, poimenovan po svojem ustvarjalcu Josephu Bertrandu, opisuje situacijo, v kateri dva igralca (podjetja) dosežeta Nashevo ravnotežje. Ko obe podjetji določita ceno, ki je enaka mejnim stroškom(MS).
Bertrandov paradoks temelji na premisi. Leži v tem, da je v modelih, kot je konkurenca Cournot, povečanje števila podjetij povezano s konvergenco cen z mejnimi stroški. V teh alternativnih modelih je Bertrandov paradoks v oligopolu majhnega števila podjetij, ki zaslužijo pozitivne dobičke z zaračunavanjem cen nad stroški.
Za začetek je vredno predpostaviti, da dve podjetji A in B prodajata homogen izdelek, od katerih ima vsaka enake stroške proizvodnje in distribucije. Iz tega sledi, da kupci izberejo izdelek izključno na podlagi cene. To pomeni, da je povpraševanje cenovno neskončno elastično. Niti A niti B ne bosta postavila višje cene od ostalih, ker bi to povzročilo zrušitev celotnega Bertrandovega paradoksa. Eden od udeležencev na trgu bo popustil svojemu konkurentu. Če določijo enako ceno, si bodo podjetja delila dobiček.
Po drugi strani, če katero koli podjetje celo nekoliko zniža svojo ceno, bo dobilo celoten trg in znatno višji donos. Ker A in B to vesta, bosta vsak poskušala nelojalno znižati konkurenta, dokler se izdelek ne proda za nič gospodarskega dobička.
Zadnje delo je pokazalo, da lahko obstaja dodatno ravnotežje v paradoksu Bertrandove mešane strategije s pozitivnimi gospodarskimi dobički, če je vsota monopola neskončna. V primeru končnega dobička se je pokazalo, da je pozitiven porast pri cenovni konkurenci nemogoč v mešanih ravnotežjih in celo v splošnejšem primerukorelacijski sistemi.
Pravzaprav je Bertrandov paradoks v ekonomiji v praksi redko viden, saj se pravi izdelki skoraj vedno razlikujejo na drug način kot cena (na primer preplačilo za oznako). Podjetja imajo omejitve glede svoje zmožnosti proizvodnje in distribucije. Zato imata dve podjetji le redko enake stroške.
Bertrandov rezultat je paradoksalen, ker če se število podjetij poveča z enega na dve, cena pade iz monopolne v konkurenčno in ostane na isti ravni kot število podjetij, ki se nato poveča. To ni zelo realistično, saj v resnici trgi z malo podjetji s tržno močjo običajno zaračunavajo cene nad mejnimi stroški. Empirična analiza kaže, da večina panog z dvema konkurentoma ustvarja pozitivne dobičke.
V sodobnem svetu znanstveniki poskušajo najti rešitve paradoksa, ki so bolj skladne s Cournotovim modelom konkurence. Kjer dve podjetji na trgu ustvarjata pozitivne dobičke, ki so nekje med popolno konkurenco in ravnijo monopola.
Nekaj razlogov, zakaj Bertrandov paradoks ni neposredno povezan z ekonomijo:
- Omejitve zmogljivosti. Včasih podjetja nimajo dovolj zmogljivosti, da bi zadovoljila vse povpraševanje. To točko je prvi izpostavil Francis Edgeworth in je povzročila model Bertrand-Edgeworth.
- Cele cene. Cene nad MC so izključene, ker lahko eno podjetje naključno nelojalno zniža drugo.majhna količina. Če so cene diskretne (na primer, morajo imeti cele vrednosti), mora eno podjetje nelojalno znižati drugo za vsaj en rubelj. To pomeni, da je vrednost male valute nad MC. Če drugo podjetje zanj postavi višjo ceno, jo lahko drugo podjetje zniža in zavzame celoten trg, je Bertrandov paradoks ravno v tem. To ji ne bo prineslo dobička. To podjetje bo raje delilo prodajo 50/50 z drugim podjetjem in prejelo povsem pozitiven prihodek.
- Diferenciacija izdelkov. Če se izdelki različnih podjetij med seboj razlikujejo, potem potrošniki morda ne bodo povsem prešli na izdelke z nižjo ceno.
- Dinamično tekmovanje. Ponavljajoča se interakcija ali ponavljajoča se cenovna konkurenca lahko privede do ravnotežja vrednosti.
- Več artiklov za višji znesek. To izhaja iz ponavljajoče se interakcije. Če eno podjetje postavi svojo ceno nekoliko višjo, bo še vedno dobilo približno enako število nakupov, vendar več dobička na kos. Zato bo drugo podjetje povečalo svoj pribitek itd. (Samo pri ponovitvah, sicer gre dinamika v drugo smer).
Oligopoly
Če se dve podjetji lahko dogovorita o ceni, je v njunem dolgoročnem interesu, da ohranijo dogovor: prihodek od zmanjšanja vrednosti je manjši od dvakratnega prihodka od skladnosti s pogodbo in traja le, dokler drugo podjetje ne zmanjša svoje lastne cene.
Teorijaverjetnosti (tako kot ostala matematika) je pravzaprav nedavni izum. In razvoj ni šel gladko. Prve poskuse formalizacije računa verjetnosti je naredil markiz de Laplace, ki je predlagal, da bi koncept opredelili kot razmerje med številom dogodkov, ki vodijo do izida.
To je seveda smiselno le, če je število vseh možnih dogodkov končno. Poleg tega so vsi dogodki enako verjetni.
Tako se je takrat zdelo, da ti koncepti nimajo trdne podlage. Poskusi razširitve definicije na primer neskončnega števila dogodkov so privedli do še večjih težav. Bertrandov paradoks je eno takšnih odkritij, zaradi katerega so matematiki previdni glede celotnega koncepta verjetnosti.
