Zmožnost določanja prostornine prostorskih figur je pomembna za reševanje geometrijskih in praktičnih problemov. Ena od teh figur je prizma. V članku bomo razmislili, kaj je to in pokazali, kako izračunati prostornino nagnjene prizme.
Kaj pomeni prizma v geometriji?
To je pravilen polieder (polieder), ki ga tvorita dve enaki bazi, ki se nahajata v vzporednih ravninah, in več paralelogramov, ki povezujejo označene baze.
Osnove prizme so lahko poljubni mnogokotniki, kot so trikotnik, štirikotnik, sedemkotnik itd. Poleg tega število vogalov (stranic) mnogokotnika določa ime figure.
Vsaka prizma z n-kotnikom (n je število stranic) je sestavljena iz n+2 ploskve, 2 × n oglišč in 3 × n robov. Iz podanih številk je razvidno, da število elementov prizme ustreza Eulerjevemu izreku:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Spodnja slika prikazuje, kako izgledajo trikotne in štirikotne prizme iz stekla.
Vrste figur. Nagnjena prizma
Zgoraj je bilo že rečeno, da je ime prizme določeno s številom stranic mnogokotnika na dnu. Vendar pa obstajajo druge značilnosti v njegovi strukturi, ki določajo lastnosti figure. Torej, če so vsi paralelogrami, ki tvorijo stransko površino prizme, predstavljeni s pravokotniki ali kvadrati, se takšna slika imenuje ravna črta. Za ravno prizmo je razdalja med osnovami enaka dolžini stranskega roba katerega koli pravokotnika.
Če so nekatere ali vse stranice paralelogrami, potem govorimo o nagnjeni prizmi. Njegova višina bo že manjša od dolžine stranskega rebra.
Drugo merilo, po katerem so obravnavane figure razvrščene, so dolžine stranic in koti mnogokotnika na dnu. Če sta med seboj enaka, bo poligon pravilen. Ravna figura z pravilnim mnogokotnikom na osnovah se imenuje pravilna. Z njim je priročno delati pri določanju površine in prostornine. Nagnjena prizma v tem pogledu predstavlja nekaj težav.
Spodnja slika prikazuje dve prizmi s kvadratno osnovo. Kot 90° kaže temeljno razliko med ravno in poševno prizmo.
Formula za določanje prostornine figure
Del prostora, omejen s ploskvami prizme, se imenuje njen volumen. Za obravnavane številke katere koli vrste je mogoče to vrednost določiti z naslednjo formulo:
V=h × So
Tukaj simbol h označuje višino prizme,ki je merilo razdalje med dvema bazama. Simbol So- en osnovni kvadrat.
Osnovno območje je enostavno najti. Glede na dejstvo, ali je mnogokotnik pravilen ali ne, in če poznamo število njegovih stranic, bi morali uporabiti ustrezno formulo in dobiti So. Na primer, za običajen n-kotnik z dolžino stranice a bo površina:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Zdaj pojdimo na višino h. Za ravno prizmo določanje višine ni težko, za poševno prizmo pa to ni lahka naloga. Rešimo ga lahko z različnimi geometrijskimi metodami, začenši z določenimi začetnimi pogoji. Vendar pa obstaja univerzalen način za določitev višine figure. Naj ga na kratko opišemo.
Ideja je najti razdaljo od točke v prostoru do ravnine. Predpostavimo, da je ravnina podana z enačbo:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Takrat bo letalo oddaljeno:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Če so koordinatne osi razporejene tako, da točka (0; 0; 0) leži v ravnini spodnje osnove prizme, potem lahko enačbo za osnovno ravnino zapišemo takole:
z=0
To pomeni, da bo formula za višino zapisanatorej:
h=z1
Za določitev višine figure je dovolj najti z-koordinato katere koli točke zgornje baze.
Primer reševanja problemov
Spodnja slika prikazuje štirikotno prizmo. Osnova nagnjene prizme je kvadrat s stranico 10 cm Njegovo prostornino je treba izračunati, če je znano, da je dolžina stranskega roba 15 cm, ostri kot čelnega paralelograma pa 70 °.
Ker je višina h figure tudi višina paralelograma, uporabljamo formule za določitev njegove površine, da najdemo h. Označimo stranice paralelograma na naslednji način:
a=10 cm;
b=15 cm
Potem lahko napišete naslednje formule za določitev površine Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Od kod dobimo:
h=b × sin (α)
Tukaj je α ostri kot paralelograma. Ker je osnova kvadrat, bo formula za prostornino nagnjene prizme imela obliko:
V=a2 × b × sin (α)
Podatke iz pogoja nadomestimo v formulo in dobimo odgovor: V ≈ 1410 cm3.
